Theorem faclbnd2 10488

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq2 10388	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
2		2t2e4 8874	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
3	1, 2	eqtr4i 2163	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
4	3	oveq2i 5785	. . . 4 ⊢ ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2))
5		2cn 8791	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		expp1 10300	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
7	5, 6	mpan 420	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
8	7	oveq1d 5789	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
9	4, 8	syl5eq 2184	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
10		expcl 10311	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
11	5, 10	mpan 420	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
12	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
13		2ap0 8813	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 # 0)
15	11, 12, 12, 12, 14, 14	divmuldivapd 8592	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
16		2div2e1 8852	. . . . 5 ⊢ (2 / 2) = 1
17	16	oveq2i 5785	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) / 2) · 1)
18	11	halfcld 8964	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ∈ ℂ)
19	18	mulid1d 7783	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · 1) = ((2↑𝑁) / 2))
20	17, 19	syl5eq 2184	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = ((2↑𝑁) / 2))
21	9, 15, 20	3eqtr2rd 2179	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)))
22		2nn0 8994	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		faclbnd 10487	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
24	22, 23	mpan 420	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
25		2re 8790	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
26		peano2nn0 9017	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27		reexpcl 10310	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	sylancr 410	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29		faccl 10481	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
30	29	nnred 8733	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
31		4re 8797	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
32	1, 31	eqeltri 2212	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
33		4pos 8817	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
34	33, 1	breqtrri 3955	. . . . . 6 ⊢ 0 < (2↑2)
35	32, 34	pm3.2i 270	. . . . 5 ⊢ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))
36		ledivmul 8635	. . . . 5 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
37	35, 36	mp3an3 1304	. . . 4 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
38	28, 30, 37	syl2anc 408	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
39	24, 38	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁))
40	21, 39	eqbrtrd 3950	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801   # cap 8343   / cdiv 8432  2c2 8771  4c4 8773  ℕ₀cn0 8977  ↑cexp 10292  !cfa 10471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472

This theorem is referenced by:  ege2le3  11377