Theorem faclbnd2 11003

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq2 10896	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
2		2t2e4 9297	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
3	1, 2	eqtr4i 2255	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
4	3	oveq2i 6028	. . . 4 ⊢ ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2))
5		2cn 9213	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		expp1 10807	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
7	5, 6	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
8	7	oveq1d 6032	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
9	4, 8	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
10		expcl 10818	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
11	5, 10	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
12	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
13		2ap0 9235	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 # 0)
15	11, 12, 12, 12, 14, 14	divmuldivapd 9011	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
16		2div2e1 9275	. . . . 5 ⊢ (2 / 2) = 1
17	16	oveq2i 6028	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) / 2) · 1)
18	11	halfcld 9388	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ∈ ℂ)
19	18	mulridd 8195	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · 1) = ((2↑𝑁) / 2))
20	17, 19	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = ((2↑𝑁) / 2))
21	9, 15, 20	3eqtr2rd 2271	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)))
22		2nn0 9418	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		faclbnd 11002	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
24	22, 23	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
25		2re 9212	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
26		peano2nn0 9441	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27		reexpcl 10817	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29		faccl 10996	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
30	29	nnred 9155	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
31		4re 9219	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
32	1, 31	eqeltri 2304	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
33		4pos 9239	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
34	33, 1	breqtrri 4115	. . . . . 6 ⊢ 0 < (2↑2)
35	32, 34	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))
36		ledivmul 9056	. . . . 5 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
37	35, 36	mp3an3 1362	. . . 4 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
38	28, 30, 37	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
39	24, 38	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁))
40	21, 39	eqbrtrd 4110	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036   < clt 8213   ≤ cle 8214   # cap 8760   / cdiv 8851  2c2 9193  4c4 9195  ℕ₀cn0 9401  ↑cexp 10799  !cfa 10986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987

This theorem is referenced by:  ege2le3  12231