Theorem sincos4thpi 15864

Description: The sine and cosine of π / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos4thpi	⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Proof of Theorem sincos4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 9498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2halves 9513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
5		sincosq1eq 15863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1) → (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
6	1, 1, 4, 5	mp3an 1378	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))
7	6	oveq2i 6086	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
8	7	oveq2i 6086	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
9		2cn 9354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		pire 15810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
11	10	recni 8328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
12		2ap0 9376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
13	2, 9, 11, 9, 12, 12	divmuldivapi 9092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = ((1 · π) / (2 · 2))
14	11	mullidi 8319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
15		2t2e4 9438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	oveq12i 6087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · π) / (2 · 2)) = (π / 4)
17	13, 16	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = (π / 4)
18	17	fveq2i 5693	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (sin‘(π / 4))
19	18, 18	oveq12i 6087	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
20	19	oveq2i 6086	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
21	9, 12	recidapi 9063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
22	21	oveq1i 6085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
23		2re 9353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	10, 23, 12	redivclapi 9099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
25	24	recni 8328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
26	9, 1, 25	mulassi 8325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (2 · ((1 / 2) · (π / 2)))
27	25	mullidi 8319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
28	22, 26, 27	3eqtr3i 2267	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((1 / 2) · (π / 2))) = (π / 2)
29	28	fveq2i 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (sin‘(π / 2))
30	1, 25	mulcli 8321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ
31		sin2t 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
33		sinhalfpi 15820	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
34	29, 32, 33	3eqtr3i 2267	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))) = 1
35	8, 20, 34	3eqtr3i 2267	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = 1
36	35	fveq2i 5693	. . . . 5 ⊢ (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = (√‘1)
37		4re 9360	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
38		4ap0 9382	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 # 0
39	10, 37, 38	redivclapi 9099	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
40		resincl 12465	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ → (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ
42	41, 41	remulcli 8330	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) ∈ ℝ
43		0le2 9373	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
44	41	msqge0i 8935	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
45	23, 42, 43, 44	sqrtmulii 11878	. . . . 5 ⊢ (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
46		sqrt1 11790	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
47	36, 45, 46	3eqtr3ri 2268	. . . 4 ⊢ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
48	42	sqrtcli 11864	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ)
49	44, 48	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ
50	49	recni 8328	. . . . 5 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ
51		sqrt2re 12919	. . . . . . 7 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
52	51	recni 8328	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
53		2pos 9374	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
54	23, 53	sqrtgt0ii 11875	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (√‘2)
55	51, 54	gt0ap0ii 8946	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) # 0
56	52, 55	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) # 0)
57		divmulap2 8996	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ ∧ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) # 0)) → ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))))
58	2, 50, 56, 57	mp3an 1378	. . . 4 ⊢ ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))))
59	47, 58	mpbir 146	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
60		0re 8316	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		pipos 15812	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
62		4pos 9380	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
63	10, 37, 61, 62	divgt0ii 9239	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 4)
64		1re 8315	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		pigt2lt4 15808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
66	65	simpri 113	. . . . . . . . . 10 ⊢ π < 4
67	10, 37, 37, 62	ltdiv1ii 9249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π < 4 ↔ (π / 4) < (4 / 4))
68	66, 67	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 4) < (4 / 4)
69	37	recni 8328	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
70	69, 38	dividapi 9065	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 4) = 1
71	68, 70	breqtri 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) < 1
72	39, 64, 71	ltleii 8418	. . . . . . 7 ⊢ (π / 4) ≤ 1
73		0xr 8362	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
74		elioc2 10317	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1)))
75	73, 64, 74	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1))
76	39, 63, 72, 75	mpbir3an 1210	. . . . . 6 ⊢ (π / 4) ∈ (0(,]1)
77		sin01gt0 12507	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(π / 4)))
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin‘(π / 4))
79	60, 41, 78	ltleii 8418	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin‘(π / 4))
80	41	sqrtmsqi 11866	. . . 4 ⊢ (0 ≤ (sin‘(π / 4)) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4)))
81	79, 80	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4))
82	59, 81	eqtr2i 2260	. 2 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
83	59, 81	eqtri 2259	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) = (sin‘(π / 4))
84	17	fveq2i 5693	. . . 4 ⊢ (cos‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘(π / 4))
85	6, 18, 84	3eqtr3i 2267	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (cos‘(π / 4))
86	83, 85	eqtr2i 2260	. 2 ⊢ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
87	82, 86	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174  ℝ^*cxr 8349   < clt 8350   ≤ cle 8351   # cap 8899   / cdiv 8992  2c2 9334  4c4 9336  (,]cioc 10270  √csqrt 11740  sincsin 12389  cosccos 12390  πcpi 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-pre-suploc 8290  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-pm 6915  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ioo 10273  df-ioc 10274  df-ico 10275  df-icc 10276  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396  df-pi 12398  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  tan4thpi  15865