Theorem sincos4thpi 13555

Description: The sine and cosine of π / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos4thpi	⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Proof of Theorem sincos4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 9092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2halves 9107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
5		sincosq1eq 13554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1) → (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
6	1, 1, 4, 5	mp3an 1332	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))
7	6	oveq2i 5864	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
8	7	oveq2i 5864	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
9		2cn 8949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		pire 13501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
11	10	recni 7932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
12		2ap0 8971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
13	2, 9, 11, 9, 12, 12	divmuldivapi 8689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = ((1 · π) / (2 · 2))
14	11	mulid2i 7923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
15		2t2e4 9032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	oveq12i 5865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · π) / (2 · 2)) = (π / 4)
17	13, 16	eqtri 2191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = (π / 4)
18	17	fveq2i 5499	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (sin‘(π / 4))
19	18, 18	oveq12i 5865	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
20	19	oveq2i 5864	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
21	9, 12	recidapi 8660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
22	21	oveq1i 5863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
23		2re 8948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	10, 23, 12	redivclapi 8696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
25	24	recni 7932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
26	9, 1, 25	mulassi 7929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (2 · ((1 / 2) · (π / 2)))
27	25	mulid2i 7923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
28	22, 26, 27	3eqtr3i 2199	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((1 / 2) · (π / 2))) = (π / 2)
29	28	fveq2i 5499	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (sin‘(π / 2))
30	1, 25	mulcli 7925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ
31		sin2t 11712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
33		sinhalfpi 13511	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
34	29, 32, 33	3eqtr3i 2199	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))) = 1
35	8, 20, 34	3eqtr3i 2199	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = 1
36	35	fveq2i 5499	. . . . 5 ⊢ (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = (√‘1)
37		4re 8955	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
38		4ap0 8977	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 # 0
39	10, 37, 38	redivclapi 8696	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
40		resincl 11683	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ → (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ
42	41, 41	remulcli 7934	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) ∈ ℝ
43		0le2 8968	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
44	41	msqge0i 8536	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
45	23, 42, 43, 44	sqrtmulii 11098	. . . . 5 ⊢ (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
46		sqrt1 11010	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
47	36, 45, 46	3eqtr3ri 2200	. . . 4 ⊢ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
48	42	sqrtcli 11084	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ)
49	44, 48	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ
50	49	recni 7932	. . . . 5 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ
51		sqrt2re 12117	. . . . . . 7 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
52	51	recni 7932	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
53		2pos 8969	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
54	23, 53	sqrtgt0ii 11095	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (√‘2)
55	51, 54	gt0ap0ii 8547	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) # 0
56	52, 55	pm3.2i 270	. . . . 5 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) # 0)
57		divmulap2 8593	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ ∧ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) # 0)) → ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))))
58	2, 50, 56, 57	mp3an 1332	. . . 4 ⊢ ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))))
59	47, 58	mpbir 145	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
60		0re 7920	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		pipos 13503	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
62		4pos 8975	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
63	10, 37, 61, 62	divgt0ii 8835	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 4)
64		1re 7919	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		pigt2lt4 13499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
66	65	simpri 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ π < 4
67	10, 37, 37, 62	ltdiv1ii 8845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π < 4 ↔ (π / 4) < (4 / 4))
68	66, 67	mpbi 144	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 4) < (4 / 4)
69	37	recni 7932	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
70	69, 38	dividapi 8662	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 4) = 1
71	68, 70	breqtri 4014	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) < 1
72	39, 64, 71	ltleii 8022	. . . . . . 7 ⊢ (π / 4) ≤ 1
73		0xr 7966	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
74		elioc2 9893	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1)))
75	73, 64, 74	mp2an 424	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1))
76	39, 63, 72, 75	mpbir3an 1174	. . . . . 6 ⊢ (π / 4) ∈ (0(,]1)
77		sin01gt0 11724	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(π / 4)))
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin‘(π / 4))
79	60, 41, 78	ltleii 8022	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin‘(π / 4))
80	41	sqrtmsqi 11086	. . . 4 ⊢ (0 ≤ (sin‘(π / 4)) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4)))
81	79, 80	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4))
82	59, 81	eqtr2i 2192	. 2 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
83	59, 81	eqtri 2191	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) = (sin‘(π / 4))
84	17	fveq2i 5499	. . . 4 ⊢ (cos‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘(π / 4))
85	6, 18, 84	3eqtr3i 2199	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (cos‘(π / 4))
86	83, 85	eqtr2i 2192	. 2 ⊢ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
87	82, 86	pm3.2i 270	1 ⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   ≤ cle 7955   # cap 8500   / cdiv 8589  2c2 8929  4c4 8931  (,]cioc 9846  √csqrt 10960  sincsin 11607  cosccos 11608  πcpi 11610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-ioc 9850  df-ico 9851  df-icc 9852  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-sin 11613  df-cos 11614  df-pi 11616  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420

This theorem is referenced by:  tan4thpi  13556