Theorem sincos4thpi 15382

Description: The sine and cosine of π / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos4thpi	⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Proof of Theorem sincos4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 9266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		ax-1cn 8033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2halves 9281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
5		sincosq1eq 15381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1) → (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
6	1, 1, 4, 5	mp3an 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))
7	6	oveq2i 5967	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
8	7	oveq2i 5967	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
9		2cn 9122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		pire 15328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
11	10	recni 8099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
12		2ap0 9144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
13	2, 9, 11, 9, 12, 12	divmuldivapi 8860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = ((1 · π) / (2 · 2))
14	11	mullidi 8090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
15		2t2e4 9206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	oveq12i 5968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · π) / (2 · 2)) = (π / 4)
17	13, 16	eqtri 2227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = (π / 4)
18	17	fveq2i 5591	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (sin‘(π / 4))
19	18, 18	oveq12i 5968	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
20	19	oveq2i 5967	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
21	9, 12	recidapi 8831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
22	21	oveq1i 5966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
23		2re 9121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	10, 23, 12	redivclapi 8867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
25	24	recni 8099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
26	9, 1, 25	mulassi 8096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (2 · ((1 / 2) · (π / 2)))
27	25	mullidi 8090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
28	22, 26, 27	3eqtr3i 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((1 / 2) · (π / 2))) = (π / 2)
29	28	fveq2i 5591	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (sin‘(π / 2))
30	1, 25	mulcli 8092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ
31		sin2t 12130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
33		sinhalfpi 15338	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
34	29, 32, 33	3eqtr3i 2235	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))) = 1
35	8, 20, 34	3eqtr3i 2235	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = 1
36	35	fveq2i 5591	. . . . 5 ⊢ (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = (√‘1)
37		4re 9128	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
38		4ap0 9150	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 # 0
39	10, 37, 38	redivclapi 8867	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
40		resincl 12101	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ → (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ
42	41, 41	remulcli 8101	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) ∈ ℝ
43		0le2 9141	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
44	41	msqge0i 8705	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
45	23, 42, 43, 44	sqrtmulii 11515	. . . . 5 ⊢ (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
46		sqrt1 11427	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
47	36, 45, 46	3eqtr3ri 2236	. . . 4 ⊢ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
48	42	sqrtcli 11501	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ)
49	44, 48	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ
50	49	recni 8099	. . . . 5 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ
51		sqrt2re 12555	. . . . . . 7 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
52	51	recni 8099	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
53		2pos 9142	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
54	23, 53	sqrtgt0ii 11512	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (√‘2)
55	51, 54	gt0ap0ii 8716	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) # 0
56	52, 55	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) # 0)
57		divmulap2 8764	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ ∧ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) # 0)) → ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))))
58	2, 50, 56, 57	mp3an 1350	. . . 4 ⊢ ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))))
59	47, 58	mpbir 146	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
60		0re 8087	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		pipos 15330	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
62		4pos 9148	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
63	10, 37, 61, 62	divgt0ii 9007	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 4)
64		1re 8086	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		pigt2lt4 15326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
66	65	simpri 113	. . . . . . . . . 10 ⊢ π < 4
67	10, 37, 37, 62	ltdiv1ii 9017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π < 4 ↔ (π / 4) < (4 / 4))
68	66, 67	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 4) < (4 / 4)
69	37	recni 8099	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
70	69, 38	dividapi 8833	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 4) = 1
71	68, 70	breqtri 4075	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) < 1
72	39, 64, 71	ltleii 8190	. . . . . . 7 ⊢ (π / 4) ≤ 1
73		0xr 8134	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
74		elioc2 10073	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1)))
75	73, 64, 74	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1))
76	39, 63, 72, 75	mpbir3an 1182	. . . . . 6 ⊢ (π / 4) ∈ (0(,]1)
77		sin01gt0 12143	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(π / 4)))
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin‘(π / 4))
79	60, 41, 78	ltleii 8190	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin‘(π / 4))
80	41	sqrtmsqi 11503	. . . 4 ⊢ (0 ≤ (sin‘(π / 4)) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4)))
81	79, 80	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4))
82	59, 81	eqtr2i 2228	. 2 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
83	59, 81	eqtri 2227	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) = (sin‘(π / 4))
84	17	fveq2i 5591	. . . 4 ⊢ (cos‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘(π / 4))
85	6, 18, 84	3eqtr3i 2235	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (cos‘(π / 4))
86	83, 85	eqtr2i 2228	. 2 ⊢ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
87	82, 86	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4050  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  ℂcc 7938  ℝcr 7939  0cc0 7940  1c1 7941   + caddc 7943   · cmul 7945  ℝ^*cxr 8121   < clt 8122   ≤ cle 8123   # cap 8669   / cdiv 8760  2c2 9102  4c4 9104  (,]cioc 10026  √csqrt 11377  sincsin 12025  cosccos 12026  πcpi 12028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059  ax-caucvg 8060  ax-pre-suploc 8061  ax-addf 8062  ax-mulf 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-disj 4027  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-isom 5288  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-of 6170  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-irdg 6468  df-frec 6489  df-1o 6514  df-oadd 6518  df-er 6632  df-map 6749  df-pm 6750  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-sup 7100  df-inf 7101  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-5 9113  df-6 9114  df-7 9115  df-8 9116  df-9 9117  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-xneg 9909  df-xadd 9910  df-ioo 10029  df-ioc 10030  df-ico 10031  df-icc 10032  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-seqfrec 10610  df-exp 10701  df-fac 10888  df-bc 10910  df-ihash 10938  df-shft 11196  df-cj 11223  df-re 11224  df-im 11225  df-rsqrt 11379  df-abs 11380  df-clim 11660  df-sumdc 11735  df-ef 12029  df-sin 12031  df-cos 12032  df-pi 12034  df-rest 13143  df-topgen 13162  df-psmet 14375  df-xmet 14376  df-met 14377  df-bl 14378  df-mopn 14379  df-top 14540  df-topon 14553  df-bases 14585  df-ntr 14638  df-cn 14730  df-cnp 14731  df-tx 14795  df-cncf 15113  df-limced 15198  df-dvap 15199

This theorem is referenced by:  tan4thpi  15383