Theorem cbvmptv 4145

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2349	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2349	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4144	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ↦ cmpt 4110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-un 3172  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-opab 4111  df-mpt 4112

This theorem is referenced by:  fnmptfvd  5694  frecsuc  6503  pw2f1odclem  6943  xpmapen  6959  omp1eom  7209  fodjuomni  7263  fodjumkv  7274  nninfwlporlemd  7286  nninfwlpor  7288  nninfwlpoim  7293  nninfinfwlpo  7294  caucvgsrlembnd  7927  negiso  9041  infrenegsupex  9728  frec2uzsucd  10559  frecuzrdgdom  10576  frecuzrdgfun  10578  frecuzrdgsuct  10582  0tonninf  10598  1tonninf  10599  seq3f1oleml  10674  seq3f1o  10675  hashfz1  10941  xrnegiso  11623  infxrnegsupex  11624  climcvg1n  11711  summodc  11744  zsumdc  11745  fsum3  11748  fsumadd  11767  prodmodc  11939  zproddc  11940  fprodseq  11944  phimullem  12597  eulerthlemh  12603  eulerthlemth  12604  ennnfonelemnn0  12843  ennnfonelemr  12844  ctinfom  12849  grplactcnv  13484  expcn  15091  cdivcncfap  15126  expcncf  15131  ivthdich  15175  plyadd  15273  plymul  15274  plyco  15281  plycjlemc  15282  plycj  15283  dvply2g  15288  lgseisenlem3  15599  2sqlem1  15641  bj-charfunbi  15861  subctctexmid  16052  nninfsellemqall  16067  nninfomni  16071  nninffeq  16072  exmidsbthrlem  16076  exmidsbthr  16077  isomninn  16085  iswomninn  16104  ismkvnn  16107