Theorem cbvmptv 4101

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2319	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2319	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4100	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ↦ cmpt 4066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-opab 4067  df-mpt 4068

This theorem is referenced by:  fnmptfvd  5622  frecsuc  6410  xpmapen  6852  omp1eom  7096  fodjuomni  7149  fodjumkv  7160  nninfwlporlemd  7172  nninfwlpor  7174  nninfwlpoim  7178  caucvgsrlembnd  7802  negiso  8914  infrenegsupex  9596  frec2uzsucd  10403  frecuzrdgdom  10420  frecuzrdgfun  10422  frecuzrdgsuct  10426  0tonninf  10441  1tonninf  10442  seq3f1oleml  10505  seq3f1o  10506  hashfz1  10765  xrnegiso  11272  infxrnegsupex  11273  climcvg1n  11360  summodc  11393  zsumdc  11394  fsum3  11397  fsumadd  11416  prodmodc  11588  zproddc  11589  fprodseq  11593  phimullem  12227  eulerthlemh  12233  eulerthlemth  12234  ennnfonelemnn0  12425  ennnfonelemr  12426  ctinfom  12431  grplactcnv  12977  cdivcncfap  14126  expcncf  14131  2sqlem1  14500  bj-charfunbi  14602  subctctexmid  14789  nninfsellemqall  14803  nninfomni  14807  nninffeq  14808  exmidsbthrlem  14809  exmidsbthr  14810  isomninn  14818  iswomninn  14837  ismkvnn  14840