Theorem cbvmptv 4099

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2319	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2319	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4098	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ↦ cmpt 4064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-opab 4065  df-mpt 4066

This theorem is referenced by:  fnmptfvd  5620  frecsuc  6407  xpmapen  6849  omp1eom  7093  fodjuomni  7146  fodjumkv  7157  nninfwlporlemd  7169  nninfwlpor  7171  nninfwlpoim  7175  caucvgsrlembnd  7799  negiso  8911  infrenegsupex  9593  frec2uzsucd  10400  frecuzrdgdom  10417  frecuzrdgfun  10419  frecuzrdgsuct  10423  0tonninf  10438  1tonninf  10439  seq3f1oleml  10502  seq3f1o  10503  hashfz1  10762  xrnegiso  11269  infxrnegsupex  11270  climcvg1n  11357  summodc  11390  zsumdc  11391  fsum3  11394  fsumadd  11413  prodmodc  11585  zproddc  11586  fprodseq  11590  phimullem  12224  eulerthlemh  12230  eulerthlemth  12231  ennnfonelemnn0  12422  ennnfonelemr  12423  ctinfom  12428  grplactcnv  12971  cdivcncfap  14057  expcncf  14062  2sqlem1  14431  bj-charfunbi  14533  subctctexmid  14720  nninfsellemqall  14734  nninfomni  14738  nninffeq  14739  exmidsbthrlem  14740  exmidsbthr  14741  isomninn  14749  iswomninn  14768  ismkvnn  14771