Theorem cbvmptv 4227

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4226	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ↦ cmpt 4192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4193  df-mpt 4194

This theorem is used by:  fnmptfvd  5813  frecsuc  6678  pw2f1odclem  7134  xpmapen  7150  omp1eom  7436  fodjuomni  7490  fodjumkv  7501  nninfwlporlemd  7513  nninfwlpor  7515  nninfwlpoim  7520  nninfinfwlpo  7521  caucvgsrlembnd  8169  negiso  9288  infrenegsupex  10004  frec2uzsucd  10852  frecuzrdgdom  10869  frecuzrdgfun  10871  frecuzrdgsuct  10875  0tonninf  10891  1tonninf  10892  seq3f1oleml  10967  seq3f1o  10968  hashfz1  11237  xrnegiso  12046  infxrnegsupex  12047  climcvg1n  12134  summodc  12168  zsumdc  12169  fsum3  12172  fsumadd  12191  prodmodc  12363  zproddc  12364  fprodseq  12368  phimullem  13025  eulerthlemh  13031  eulerthlemth  13032  ballotfilemfval  13280  ballotfilemfc0  13283  ballotfilemfcc  13284  ballotfilemi  13294  ballotfilemsval  13303  ballotfilemsv  13304  ballotfilemsf1o  13308  ballotfilemrval  13312  ballotfilemrinv  13328  ballotfi  13333  ennnfonelemnn0  13364  ennnfonelemr  13365  ctinfom  13370  grplactcnv  13958  expcn  15722  cdivcncfap  15757  expcncf  15762  ivthdich  15806  plyadd  15904  plymul  15905  plyco  15912  plycjlemc  15913  plycj  15914  dvply2g  15919  lgseisenlem3  16313  2sqlem1  16355  bj-charfunbi  16959  subctctexmid  17152  nninfsellemqall  17180  nninfomni  17184  nninffeq  17185  exmidsbthrlem  17189  exmidsbthr  17190  isomninn  17202  iswomninn  17222  ismkvnn  17225