Theorem cbvmptv 4130

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4129	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ↦ cmpt 4095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-opab 4096  df-mpt 4097

This theorem is referenced by:  fnmptfvd  5669  frecsuc  6474  pw2f1odclem  6904  xpmapen  6920  omp1eom  7170  fodjuomni  7224  fodjumkv  7235  nninfwlporlemd  7247  nninfwlpor  7249  nninfwlpoim  7253  caucvgsrlembnd  7885  negiso  8999  infrenegsupex  9685  frec2uzsucd  10510  frecuzrdgdom  10527  frecuzrdgfun  10529  frecuzrdgsuct  10533  0tonninf  10549  1tonninf  10550  seq3f1oleml  10625  seq3f1o  10626  hashfz1  10892  xrnegiso  11444  infxrnegsupex  11445  climcvg1n  11532  summodc  11565  zsumdc  11566  fsum3  11569  fsumadd  11588  prodmodc  11760  zproddc  11761  fprodseq  11765  phimullem  12418  eulerthlemh  12424  eulerthlemth  12425  ennnfonelemnn0  12664  ennnfonelemr  12665  ctinfom  12670  grplactcnv  13304  expcn  14889  cdivcncfap  14924  expcncf  14929  ivthdich  14973  plyadd  15071  plymul  15072  plyco  15079  plycjlemc  15080  plycj  15081  dvply2g  15086  lgseisenlem3  15397  2sqlem1  15439  bj-charfunbi  15541  subctctexmid  15731  nninfsellemqall  15746  nninfomni  15750  nninffeq  15751  exmidsbthrlem  15753  exmidsbthr  15754  isomninn  15762  iswomninn  15781  ismkvnn  15784