Theorem cbvmptv 4185

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2374	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2374	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4184	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ↦ cmpt 4150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-opab 4151  df-mpt 4152

This theorem is referenced by:  fnmptfvd  5751  frecsuc  6573  pw2f1odclem  7020  xpmapen  7036  omp1eom  7294  fodjuomni  7348  fodjumkv  7359  nninfwlporlemd  7371  nninfwlpor  7373  nninfwlpoim  7378  nninfinfwlpo  7379  caucvgsrlembnd  8021  negiso  9135  infrenegsupex  9828  frec2uzsucd  10664  frecuzrdgdom  10681  frecuzrdgfun  10683  frecuzrdgsuct  10687  0tonninf  10703  1tonninf  10704  seq3f1oleml  10779  seq3f1o  10780  hashfz1  11046  xrnegiso  11827  infxrnegsupex  11828  climcvg1n  11915  summodc  11949  zsumdc  11950  fsum3  11953  fsumadd  11972  prodmodc  12144  zproddc  12145  fprodseq  12149  phimullem  12802  eulerthlemh  12808  eulerthlemth  12809  ennnfonelemnn0  13048  ennnfonelemr  13049  ctinfom  13054  grplactcnv  13690  expcn  15299  cdivcncfap  15334  expcncf  15339  ivthdich  15383  plyadd  15481  plymul  15482  plyco  15489  plycjlemc  15490  plycj  15491  dvply2g  15496  lgseisenlem3  15807  2sqlem1  15849  bj-charfunbi  16432  subctctexmid  16627  nninfsellemqall  16643  nninfomni  16647  nninffeq  16648  exmidsbthrlem  16652  exmidsbthr  16653  isomninn  16661  iswomninn  16680  ismkvnn  16683