Theorem cbvmptv 4225

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4224	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ↦ cmpt 4190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-opab 4191  df-mpt 4192

This theorem is referenced by:  fnmptfvd  5807  frecsuc  6672  pw2f1odclem  7128  xpmapen  7144  omp1eom  7429  fodjuomni  7483  fodjumkv  7494  nninfwlporlemd  7506  nninfwlpor  7508  nninfwlpoim  7513  nninfinfwlpo  7514  caucvgsrlembnd  8162  negiso  9279  infrenegsupex  9977  frec2uzsucd  10821  frecuzrdgdom  10838  frecuzrdgfun  10840  frecuzrdgsuct  10844  0tonninf  10860  1tonninf  10861  seq3f1oleml  10936  seq3f1o  10937  hashfz1  11205  xrnegiso  12011  infxrnegsupex  12012  climcvg1n  12099  summodc  12133  zsumdc  12134  fsum3  12137  fsumadd  12156  prodmodc  12328  zproddc  12329  fprodseq  12333  phimullem  12986  eulerthlemh  12992  eulerthlemth  12993  ballotfilemfval  13212  ballotfilemfc0  13215  ballotfilemfcc  13216  ballotfilemi  13226  ballotfilemsval  13235  ballotfilemsv  13236  ballotfilemsf1o  13240  ballotfilemrval  13244  ballotfilemrinv  13260  ballotfi  13265  ennnfonelemnn0  13296  ennnfonelemr  13297  ctinfom  13302  grplactcnv  13890  expcn  15653  cdivcncfap  15688  expcncf  15693  ivthdich  15737  plyadd  15835  plymul  15836  plyco  15843  plycjlemc  15844  plycj  15845  dvply2g  15850  lgseisenlem3  16174  2sqlem1  16216  bj-charfunbi  16820  subctctexmid  17013  nninfsellemqall  17032  nninfomni  17036  nninffeq  17037  exmidsbthrlem  17041  exmidsbthr  17042  isomninn  17054  iswomninn  17074  ismkvnn  17077