Theorem cbvmptv 4227

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4226	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ↦ cmpt 4192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4193  df-mpt 4194

This theorem is used by:  fnmptfvd  5813  frecsuc  6678  pw2f1odclem  7134  xpmapen  7150  omp1eom  7435  fodjuomni  7489  fodjumkv  7500  nninfwlporlemd  7512  nninfwlpor  7514  nninfwlpoim  7519  nninfinfwlpo  7520  caucvgsrlembnd  8168  negiso  9286  infrenegsupex  9996  frec2uzsucd  10840  frecuzrdgdom  10857  frecuzrdgfun  10859  frecuzrdgsuct  10863  0tonninf  10879  1tonninf  10880  seq3f1oleml  10955  seq3f1o  10956  hashfz1  11224  xrnegiso  12030  infxrnegsupex  12031  climcvg1n  12118  summodc  12152  zsumdc  12153  fsum3  12156  fsumadd  12175  prodmodc  12347  zproddc  12348  fprodseq  12352  phimullem  13005  eulerthlemh  13011  eulerthlemth  13012  ballotfilemfval  13231  ballotfilemfc0  13234  ballotfilemfcc  13235  ballotfilemi  13245  ballotfilemsval  13254  ballotfilemsv  13255  ballotfilemsf1o  13259  ballotfilemrval  13263  ballotfilemrinv  13279  ballotfi  13284  ennnfonelemnn0  13315  ennnfonelemr  13316  ctinfom  13321  grplactcnv  13909  expcn  15672  cdivcncfap  15707  expcncf  15712  ivthdich  15756  plyadd  15854  plymul  15855  plyco  15862  plycjlemc  15863  plycj  15864  dvply2g  15869  lgseisenlem3  16203  2sqlem1  16245  bj-charfunbi  16849  subctctexmid  17042  nninfsellemqall  17070  nninfomni  17074  nninffeq  17075  exmidsbthrlem  17079  exmidsbthr  17080  isomninn  17092  iswomninn  17112  ismkvnn  17115