Theorem cbvmptv 4229

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4228	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ↦ cmpt 4193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4194  df-mpt 4195

This theorem is used by:  fnmptfvd  5816  frecsuc  6683  pw2f1odclem  7140  xpmapen  7156  omp1eom  7442  fodjuomni  7496  fodjumkv  7507  nninfwlporlemd  7519  nninfwlpor  7521  nninfwlpoim  7526  nninfinfwlpo  7527  caucvgsrlembnd  8175  negiso  9294  infrenegsupex  10010  frec2uzsucd  10859  frecuzrdgdom  10876  frecuzrdgfun  10878  frecuzrdgsuct  10882  0tonninf  10898  1tonninf  10899  seq3f1oleml  10974  seq3f1o  10975  hashfz1  11244  xrnegiso  12053  infxrnegsupex  12054  climcvg1n  12141  summodc  12175  zsumdc  12176  fsum3  12179  fsumadd  12198  prodmodc  12370  zproddc  12371  fprodseq  12375  phimullem  13032  eulerthlemh  13038  eulerthlemth  13039  ballotfilemfval  13287  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemi  13301  ballotfilemsval  13310  ballotfilemsv  13311  ballotfilemsf1o  13315  ballotfilemrval  13319  ballotfilemrinv  13335  ballotfi  13340  ennnfonelemnn0  13371  ennnfonelemr  13372  ctinfom  13377  grplactcnv  13966  expcn  15828  cdivcncfap  15863  expcncf  15868  ivthdich  15912  plyadd  16010  plymul  16011  plyco  16018  plycjlemc  16019  plycj  16020  dvply2g  16025  lgseisenlem3  16429  2sqlem1  16471  bj-charfunbi  17075  subctctexmid  17268  nninfsellemqall  17297  nninfomni  17301  nninffeq  17302  exmidsbthrlem  17306  exmidsbthr  17307  isomninn  17319  iswomninn  17340  ismkvnn  17343