Theorem cbvmptv 4085

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2312	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2312	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4084	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ↦ cmpt 4050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-mpt 4052

This theorem is referenced by:  fnmptfvd  5600  frecsuc  6386  xpmapen  6828  omp1eom  7072  fodjuomni  7125  fodjumkv  7136  nninfwlporlemd  7148  nninfwlpor  7150  nninfwlpoim  7154  caucvgsrlembnd  7763  negiso  8871  infrenegsupex  9553  frec2uzsucd  10357  frecuzrdgdom  10374  frecuzrdgfun  10376  frecuzrdgsuct  10380  0tonninf  10395  1tonninf  10396  seq3f1oleml  10459  seq3f1o  10460  hashfz1  10717  xrnegiso  11225  infxrnegsupex  11226  climcvg1n  11313  summodc  11346  zsumdc  11347  fsum3  11350  fsumadd  11369  prodmodc  11541  zproddc  11542  fprodseq  11546  phimullem  12179  eulerthlemh  12185  eulerthlemth  12186  ennnfonelemnn0  12377  ennnfonelemr  12378  ctinfom  12383  cdivcncfap  13381  expcncf  13386  2sqlem1  13744  bj-charfunbi  13846  subctctexmid  14034  nninfsellemqall  14048  nninfomni  14052  nninffeq  14053  exmidsbthrlem  14054  exmidsbthr  14055  isomninn  14063  iswomninn  14082  ismkvnn  14085