Theorem cbvmptv 4130

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4129	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ↦ cmpt 4095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-opab 4096  df-mpt 4097

This theorem is referenced by:  fnmptfvd  5669  frecsuc  6474  pw2f1odclem  6904  xpmapen  6920  omp1eom  7170  fodjuomni  7224  fodjumkv  7235  nninfwlporlemd  7247  nninfwlpor  7249  nninfwlpoim  7254  nninfinfwlpo  7255  caucvgsrlembnd  7887  negiso  9001  infrenegsupex  9687  frec2uzsucd  10512  frecuzrdgdom  10529  frecuzrdgfun  10531  frecuzrdgsuct  10535  0tonninf  10551  1tonninf  10552  seq3f1oleml  10627  seq3f1o  10628  hashfz1  10894  xrnegiso  11446  infxrnegsupex  11447  climcvg1n  11534  summodc  11567  zsumdc  11568  fsum3  11571  fsumadd  11590  prodmodc  11762  zproddc  11763  fprodseq  11767  phimullem  12420  eulerthlemh  12426  eulerthlemth  12427  ennnfonelemnn0  12666  ennnfonelemr  12667  ctinfom  12672  grplactcnv  13306  expcn  14913  cdivcncfap  14948  expcncf  14953  ivthdich  14997  plyadd  15095  plymul  15096  plyco  15103  plycjlemc  15104  plycj  15105  dvply2g  15110  lgseisenlem3  15421  2sqlem1  15463  bj-charfunbi  15565  subctctexmid  15755  nninfsellemqall  15770  nninfomni  15774  nninffeq  15775  exmidsbthrlem  15779  exmidsbthr  15780  isomninn  15788  iswomninn  15807  ismkvnn  15810