Theorem cbvmptv 4078

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2308	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2308	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4077	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ↦ cmpt 4043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-mpt 4045

This theorem is referenced by:  frecsuc  6375  xpmapen  6816  omp1eom  7060  fodjuomni  7113  fodjumkv  7124  caucvgsrlembnd  7742  negiso  8850  infrenegsupex  9532  frec2uzsucd  10336  frecuzrdgdom  10353  frecuzrdgfun  10355  frecuzrdgsuct  10359  0tonninf  10374  1tonninf  10375  seq3f1oleml  10438  seq3f1o  10439  hashfz1  10696  xrnegiso  11203  infxrnegsupex  11204  climcvg1n  11291  summodc  11324  zsumdc  11325  fsum3  11328  fsumadd  11347  prodmodc  11519  zproddc  11520  fprodseq  11524  phimullem  12157  eulerthlemh  12163  eulerthlemth  12164  ennnfonelemnn0  12355  ennnfonelemr  12356  ctinfom  12361  cdivcncfap  13227  expcncf  13232  2sqlem1  13590  bj-charfunbi  13693  subctctexmid  13881  nninfsellemqall  13895  nninfomni  13899  nninffeq  13900  exmidsbthrlem  13901  exmidsbthr  13902  isomninn  13910  iswomninn  13929  ismkvnn  13932