Theorem cbvmptv 4190

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2375	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2375	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4189	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ↦ cmpt 4155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-opab 4156  df-mpt 4157

This theorem is referenced by:  fnmptfvd  5760  frecsuc  6616  pw2f1odclem  7063  xpmapen  7079  omp1eom  7337  fodjuomni  7391  fodjumkv  7402  nninfwlporlemd  7414  nninfwlpor  7416  nninfwlpoim  7421  nninfinfwlpo  7422  caucvgsrlembnd  8064  negiso  9178  infrenegsupex  9871  frec2uzsucd  10707  frecuzrdgdom  10724  frecuzrdgfun  10726  frecuzrdgsuct  10730  0tonninf  10746  1tonninf  10747  seq3f1oleml  10822  seq3f1o  10823  hashfz1  11089  xrnegiso  11883  infxrnegsupex  11884  climcvg1n  11971  summodc  12005  zsumdc  12006  fsum3  12009  fsumadd  12028  prodmodc  12200  zproddc  12201  fprodseq  12205  phimullem  12858  eulerthlemh  12864  eulerthlemth  12865  ennnfonelemnn0  13104  ennnfonelemr  13105  ctinfom  13110  grplactcnv  13746  expcn  15360  cdivcncfap  15395  expcncf  15400  ivthdich  15444  plyadd  15542  plymul  15543  plyco  15550  plycjlemc  15551  plycj  15552  dvply2g  15557  lgseisenlem3  15871  2sqlem1  15913  bj-charfunbi  16507  subctctexmid  16702  nninfsellemqall  16721  nninfomni  16725  nninffeq  16726  exmidsbthrlem  16730  exmidsbthr  16731  isomninn  16743  iswomninn  16763  ismkvnn  16766