Theorem cbvmptv 4211

Description: Rule to change the bound variable in a maps-to function, using implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvmptv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvmptv	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvmptv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2386	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2386	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvmptv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4210	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ↦ cmpt 4176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-opab 4177  df-mpt 4178

This theorem is referenced by:  fnmptfvd  5787  frecsuc  6651  pw2f1odclem  7100  xpmapen  7116  omp1eom  7399  fodjuomni  7453  fodjumkv  7464  nninfwlporlemd  7476  nninfwlpor  7478  nninfwlpoim  7483  nninfinfwlpo  7484  caucvgsrlembnd  8132  negiso  9249  infrenegsupex  9947  frec2uzsucd  10790  frecuzrdgdom  10807  frecuzrdgfun  10809  frecuzrdgsuct  10813  0tonninf  10829  1tonninf  10830  seq3f1oleml  10905  seq3f1o  10906  hashfz1  11174  xrnegiso  11976  infxrnegsupex  11977  climcvg1n  12064  summodc  12098  zsumdc  12099  fsum3  12102  fsumadd  12121  prodmodc  12293  zproddc  12294  fprodseq  12298  phimullem  12951  eulerthlemh  12957  eulerthlemth  12958  ballotfilemfval  13177  ballotfilemfc0  13180  ballotfilemfcc  13181  ballotfilemi  13191  ballotfilemsval  13200  ballotfilemsv  13201  ballotfilemsf1o  13205  ballotfilemrval  13209  ballotfilemrinv  13225  ballotfi  13230  ennnfonelemnn0  13261  ennnfonelemr  13262  ctinfom  13267  grplactcnv  13861  expcn  15564  cdivcncfap  15599  expcncf  15604  ivthdich  15648  plyadd  15746  plymul  15747  plyco  15754  plycjlemc  15755  plycj  15756  dvply2g  15761  lgseisenlem3  16075  2sqlem1  16117  bj-charfunbi  16721  subctctexmid  16914  nninfsellemqall  16933  nninfomni  16937  nninffeq  16938  exmidsbthrlem  16942  exmidsbthr  16943  isomninn  16955  iswomninn  16975  ismkvnn  16978