Theorem hashfz1 11044

Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9490	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
2		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
3	1, 2	frec2uzf1od 10667	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
4		f1ocnv 5596	. . . . 5 ⊢ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω)
5		f1of 5583	. . . . 5 ⊢ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)⟶ω)
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)⟶ω)
7		elnn0uz 9793	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9	6, 8	ffvelcdmd 5783	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ∈ ω)
10	2	frecfzennn 10687	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ≈ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁))
11	10	ensymd 6956	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ≈ (1...𝑁))
12		hashennn 11041	. . 3 ⊢ (((◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ∈ ω ∧ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ≈ (1...𝑁)) → (♯‘(1...𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)))
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)))
14		oveq1 6024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 1) = (𝑦 + 1))
15	14	cbvmptv 4185	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1))
16		freceq1 6557	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)
18	17	fveq1i 5640	. . . 4 ⊢ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁))
19		f1ocnvfv2 5918	. . . 4 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
20	18, 19	eqtr3id 2278	. . 3 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
21	3, 8, 20	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
22	13, 21	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ωcom 4688  ^◡ccnv 4724  ⟶wf 5322  –1-1-onto→wf1o 5325  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  freccfrec 6555   ≈ cen 6906  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754  ...cfz 10242  ♯chash 11036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-ihash 11037

This theorem is referenced by:  fz1eqb  11051  isfinite4im  11053  fihasheq0  11054  hashsng  11059  fseq1hash  11063  hashfz  11084  nnf1o  11936  summodclem2a  11941  summodc  11943  zsumdc  11944  fsum3  11947  mertenslemi1  12095  prodmodclem3  12135  prodmodclem2a  12136  zproddc  12139  fprodseq  12143  phicl2  12785  phibnd  12788  hashdvds  12792  phiprmpw  12793  eulerth  12804  pcfac  12922  4sqlem11  12973  gausslemma2dlem6  15795  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  lgsquadlem3  15807  gsumgfsum1  16681