Theorem hashfz1 11238

Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9661	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
2		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
3	1, 2	frec2uzf1od 10858	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
4		f1ocnv 5652	. . . . 5 ⊢ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω)
5		f1of 5639	. . . . 5 ⊢ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)⟶ω)
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)⟶ω)
7		elnn0uz 9970	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9	6, 8	ffvelcdmd 5844	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ∈ ω)
10	2	frecfzennn 10878	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ≈ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁))
11	10	ensymd 7070	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ≈ (1...𝑁))
12		hashennn 11235	. . 3 ⊢ (((◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ∈ ω ∧ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ≈ (1...𝑁)) → (♯‘(1...𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)))
13	9, 11, 12	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)))
14		oveq1 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 1) = (𝑦 + 1))
15	14	cbvmptv 4227	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1))
16		freceq1 6663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)
18	17	fveq1i 5696	. . . 4 ⊢ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁))
19		f1ocnvfv2 5984	. . . 4 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
20	18, 19	eqtr3id 2285	. . 3 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
21	3, 8, 20	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
22	13, 21	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ωcom 4737  ^◡ccnv 4773  ⟶wf 5373  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  freccfrec 6661   ≈ cen 7020  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  ...cfz 10422  ♯chash 11230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-ihash 11231

This theorem is used by:  fz1eqb  11245  isfinite4im  11247  fihasheq0  11248  hashsng  11253  fseq1hash  11257  hashfz  11278  sseqn  11295  nnf1o  12162  summodclem2a  12167  summodc  12169  zsumdc  12170  fsum3  12173  mertenslemi1  12321  prodmodclem3  12361  prodmodclem2a  12362  zproddc  12365  fprodseq  12369  phicl2  13015  phibnd  13018  hashdvds  13022  phiprmpw  13023  eulerth  13034  pcfac  13152  4sqlem11  13203  ballotfilem1  13272  ballotfilemfmpn  13286  gzsumgsum1  14237  birthdaylem2  16187  birthdaylem3  16188  bposlem1  16272  gausslemma2dlem6  16352  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  lgsquadlem3  16364