ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfz1 GIF version

Theorem hashfz1 10040
Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0zd 8672 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
2 eqid 2085 . . . . . 6 frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
31, 2frec2uzf1od 9716 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ‘0))
4 f1ocnv 5217 . . . . 5 (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ‘0) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ‘0)–1-1-onto→ω)
5 f1of 5204 . . . . 5 (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ‘0)–1-1-onto→ω → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ‘0)⟶ω)
63, 4, 53syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ‘0)⟶ω)
7 elnn0uz 8965 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
87biimpi 118 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
96, 8ffvelrnd 5383 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ∈ ω)
102frecfzennn 9736 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ≈ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁))
1110ensymd 6433 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ≈ (1...𝑁))
12 hashennn 10037 . . 3 (((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ∈ ω ∧ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ≈ (1...𝑁)) → (♯‘(1...𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)))
139, 11, 12syl2anc 403 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)))
14 oveq1 5601 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 1) = (𝑦 + 1))
1514cbvmptv 3902 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1))
16 freceq1 6092 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0))
1715, 16ax-mp 7 . . . . 5 frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)
1817fveq1i 5257 . . . 4 (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁))
19 f1ocnvfv2 5500 . . . 4 ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘0)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
2018, 19syl5eqr 2131 . . 3 ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘0)) → (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
213, 8, 20syl2anc 403 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
2213, 21eqtrd 2117 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3814  cmpt 3868  ωcom 4371  ccnv 4403  wf 4968  1-1-ontowf1o 4971  cfv 4972  (class class class)co 5594  freccfrec 6090  cen 6388  0cc0 7271  1c1 7272   + caddc 7274  0cn0 8583  cz 8660  cuz 8928  ...cfz 9333  chash 10032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-recs 6005  df-frec 6091  df-1o 6116  df-er 6225  df-en 6391  df-dom 6392  df-fin 6393  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-fz 9334  df-ihash 10033
This theorem is referenced by:  fz1eqb  10048  isfinite4im  10050  fihasheq0  10051  hashsng  10055  fseq1hash  10058  hashfz  10078  phicl2  10984  phibnd  10987  hashdvds  10991  phiprmpw  10992
  Copyright terms: Public domain W3C validator