Theorem hashfz1 11035

Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9481	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
2		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
3	1, 2	frec2uzf1od 10658	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
4		f1ocnv 5593	. . . . 5 ⊢ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω)
5		f1of 5580	. . . . 5 ⊢ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)⟶ω)
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)⟶ω)
7		elnn0uz 9784	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9	6, 8	ffvelcdmd 5779	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ∈ ω)
10	2	frecfzennn 10678	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ≈ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁))
11	10	ensymd 6952	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ≈ (1...𝑁))
12		hashennn 11032	. . 3 ⊢ (((◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ∈ ω ∧ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ≈ (1...𝑁)) → (♯‘(1...𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)))
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)))
14		oveq1 6020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 1) = (𝑦 + 1))
15	14	cbvmptv 4183	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1))
16		freceq1 6553	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)
18	17	fveq1i 5636	. . . 4 ⊢ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁))
19		f1ocnvfv2 5914	. . . 4 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
20	18, 19	eqtr3id 2276	. . 3 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
21	3, 8, 20	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
22	13, 21	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ωcom 4686  ^◡ccnv 4722  ⟶wf 5320  –1-1-onto→wf1o 5323  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  freccfrec 6551   ≈ cen 6902  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745  ...cfz 10233  ♯chash 11027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-ihash 11028

This theorem is referenced by:  fz1eqb  11042  isfinite4im  11044  fihasheq0  11045  hashsng  11050  fseq1hash  11054  hashfz  11075  nnf1o  11927  summodclem2a  11932  summodc  11934  zsumdc  11935  fsum3  11938  mertenslemi1  12086  prodmodclem3  12126  prodmodclem2a  12127  zproddc  12130  fprodseq  12134  phicl2  12776  phibnd  12779  hashdvds  12783  phiprmpw  12784  eulerth  12795  pcfac  12913  4sqlem11  12964  gausslemma2dlem6  15786  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  lgsquadlem3  15798