Theorem hashfz1 10798

Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9296	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
2		eqid 2189	. . . . . 6 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
3	1, 2	frec2uzf1od 10439	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
4		f1ocnv 5493	. . . . 5 ⊢ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω)
5		f1of 5480	. . . . 5 ⊢ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)⟶ω)
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):(ℤ≥‘0)⟶ω)
7		elnn0uz 9597	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9	6, 8	ffvelcdmd 5673	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ∈ ω)
10	2	frecfzennn 10459	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ≈ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁))
11	10	ensymd 6810	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ≈ (1...𝑁))
12		hashennn 10795	. . 3 ⊢ (((◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ∈ ω ∧ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁) ≈ (1...𝑁)) → (♯‘(1...𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)))
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)))
14		oveq1 5904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 1) = (𝑦 + 1))
15	14	cbvmptv 4114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1))
16		freceq1 6418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)
18	17	fveq1i 5535	. . . 4 ⊢ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁))
19		f1ocnvfv2 5800	. . . 4 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
20	18, 19	eqtr3id 2236	. . 3 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
21	3, 8, 20	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (frec((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 + 1)), 0)‘(◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑁)) = 𝑁)
22	13, 21	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018   ↦ cmpt 4079  ωcom 4607  ^◡ccnv 4643  ⟶wf 5231  –1-1-onto→wf1o 5234  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  freccfrec 6416   ≈ cen 6765  0cc0 7842  1c1 7843   + caddc 7845  ℕ₀cn0 9207  ℤcz 9284  ℤ_≥cuz 9559  ...cfz 10040  ♯chash 10790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-recs 6331  df-frec 6417  df-1o 6442  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041  df-ihash 10791

This theorem is referenced by:  fz1eqb  10805  isfinite4im  10807  fihasheq0  10808  hashsng  10813  fseq1hash  10816  hashfz  10836  nnf1o  11419  summodclem2a  11424  summodc  11426  zsumdc  11427  fsum3  11430  mertenslemi1  11578  prodmodclem3  11618  prodmodclem2a  11619  zproddc  11622  fprodseq  11626  phicl2  12249  phibnd  12252  hashdvds  12256  phiprmpw  12257  eulerth  12268  pcfac  12385  4sqlem11  12436