ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzsucd GIF version

Theorem frec2uzsucd 10125
Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 10123) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzsucd (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzsucd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2z 9044 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 + 1) ∈ ℤ)
2 oveq1 5747 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 1) = (𝑧 + 1))
3 eqid 2115 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
42, 3fvmptg 5463 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) = (𝑧 + 1))
51, 4mpdan 415 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) = (𝑧 + 1))
65, 1eqeltrd 2192 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ)
76rgen 2460 . . . 4 𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ
8 frec2uz.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
9 frec2uzzd.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ω)
10 frecsuc 6270 . . . 4 ((∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
117, 8, 9, 10mp3an2i 1303 . . 3 (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
12 frec2uz.2 . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
1312fveq1i 5388 . . 3 (𝐺‘suc 𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴)
1412fveq1i 5388 . . . 4 (𝐺𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)
1514fveq2i 5390 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺𝐴)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴))
1611, 13, 153eqtr4g 2173 . 2 (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺𝐴)))
178, 12, 9frec2uzzd 10124 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
18 oveq1 5747 . . . 4 (𝑧 = (𝐺𝐴) → (𝑧 + 1) = ((𝐺𝐴) + 1))
192cbvmptv 3992 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1))
2018, 19, 1fvmpt3 5466 . . 3 ((𝐺𝐴) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺𝐴)) = ((𝐺𝐴) + 1))
2117, 20syl 14 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺𝐴)) = ((𝐺𝐴) + 1))
2216, 21eqtrd 2148 1 (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  cmpt 3957  suc csuc 4255  ωcom 4472  cfv 5091  (class class class)co 5740  freccfrec 6253  1c1 7585   + caddc 7587  cz 9008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-recs 6168  df-frec 6254  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009
This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  10126  frec2uzltd  10127  frec2uzrand  10129  frec2uzrdg  10133  frecuzrdgsuc  10138  frecuzrdgg  10140  frecfzennn  10150  1tonninf  10164  omgadd  10499  ennnfonelemkh  11831  ennnfonelemhf1o  11832  ennnfonelemnn0  11841  isomninnlem  13059
  Copyright terms: Public domain W3C validator