Theorem frec2uzsucd 10821

Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 10819) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzsucd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzsucd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 + 1) ∈ ℤ)
2		oveq1 6086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 1) = (𝑧 + 1))
3		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
4	2, 3	fvmptg 5778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) = (𝑧 + 1))
5	1, 4	mpdan 425	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) = (𝑧 + 1))
6	5, 1	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ)
7	6	rgen 2603	. . . 4 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ
8		frec2uz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
9		frec2uzzd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
10		frecsuc 6672	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
11	7, 8, 9, 10	mp3an2i 1383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
12		frec2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
13	12	fveq1i 5694	. . 3 ⊢ (𝐺‘suc 𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴)
14	12	fveq1i 5694	. . . 4 ⊢ (𝐺‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)
15	14	fveq2i 5696	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴))
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2296	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)))
17	8, 12, 9	frec2uzzd 10820	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
18		oveq1 6086	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝐴) → (𝑧 + 1) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
19	2	cbvmptv 4225	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1))
20	18, 19, 1	fvmpt3 5781	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
21	17, 20	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
22	16, 21	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ↦ cmpt 4190  suc csuc 4508  ωcom 4735  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  freccfrec 6655  1c1 8174   + caddc 8176  ℤcz 9627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-recs 6570  df-frec 6656  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628

This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  10822  frec2uzltd  10823  frec2uzrand  10825  frec2uzrdg  10829  frecuzrdgsuc  10834  frecuzrdgg  10836  frecfzennn  10846  1tonninf  10861  omgadd  11225  ennnfonelemkh  13286  ennnfonelemhf1o  13287  ennnfonelemnn0  13296  012of  17006  2o01f  17007  isomninnlem  17053  iswomninnlem  17073  ismkvnnlem  17076