Theorem frec2uzsucd 10336

Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 10334) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzsucd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzsucd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 + 1) ∈ ℤ)
2		oveq1 5849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 1) = (𝑧 + 1))
3		eqid 2165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
4	2, 3	fvmptg 5562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) = (𝑧 + 1))
5	1, 4	mpdan 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) = (𝑧 + 1))
6	5, 1	eqeltrd 2243	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ)
7	6	rgen 2519	. . . 4 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ
8		frec2uz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
9		frec2uzzd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
10		frecsuc 6375	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
11	7, 8, 9, 10	mp3an2i 1332	. . 3 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
12		frec2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
13	12	fveq1i 5487	. . 3 ⊢ (𝐺‘suc 𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴)
14	12	fveq1i 5487	. . . 4 ⊢ (𝐺‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)
15	14	fveq2i 5489	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴))
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)))
17	8, 12, 9	frec2uzzd 10335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
18		oveq1 5849	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝐴) → (𝑧 + 1) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
19	2	cbvmptv 4078	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1))
20	18, 19, 1	fvmpt3 5565	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
21	17, 20	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
22	16, 21	eqtrd 2198	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444   ↦ cmpt 4043  suc csuc 4343  ωcom 4567  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  freccfrec 6358  1c1 7754   + caddc 7756  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  10337  frec2uzltd  10338  frec2uzrand  10340  frec2uzrdg  10344  frecuzrdgsuc  10349  frecuzrdgg  10351  frecfzennn  10361  1tonninf  10375  omgadd  10715  ennnfonelemkh  12345  ennnfonelemhf1o  12346  ennnfonelemnn0  12355  012of  13875  2o01f  13876  isomninnlem  13909  iswomninnlem  13928  ismkvnnlem  13931