Theorem frec2uzsucd 9957

Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 9955) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzsucd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzsucd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 8884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 + 1) ∈ ℤ)
2		oveq1 5697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 1) = (𝑧 + 1))
3		eqid 2095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
4	2, 3	fvmptg 5415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) = (𝑧 + 1))
5	1, 4	mpdan 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) = (𝑧 + 1))
6	5, 1	eqeltrd 2171	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ)
7	6	rgen 2439	. . . 4 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ
8		frec2uz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
9		frec2uzzd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
10		frecsuc 6210	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
11	7, 8, 9, 10	mp3an2i 1285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
12		frec2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
13	12	fveq1i 5341	. . 3 ⊢ (𝐺‘suc 𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴)
14	12	fveq1i 5341	. . . 4 ⊢ (𝐺‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)
15	14	fveq2i 5343	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴))
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2152	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)))
17	8, 12, 9	frec2uzzd 9956	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
18		oveq1 5697	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝐴) → (𝑧 + 1) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
19	2	cbvmptv 3956	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1))
20	18, 19, 1	fvmpt3 5418	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
21	17, 20	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
22	16, 21	eqtrd 2127	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ∀wral 2370   ↦ cmpt 3921  suc csuc 4216  ωcom 4433  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  freccfrec 6193  1c1 7448   + caddc 7450  ℤcz 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-recs 6108  df-frec 6194  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849

This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  9958  frec2uzltd  9959  frec2uzrand  9961  frec2uzrdg  9965  frecuzrdgsuc  9970  frecuzrdgg  9972  frecfzennn  9982  1tonninf  9995  omgadd  10341