Theorem frec2uzsucd 10623

Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 10621) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzsucd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzsucd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 + 1) ∈ ℤ)
2		oveq1 6008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 1) = (𝑧 + 1))
3		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
4	2, 3	fvmptg 5710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) = (𝑧 + 1))
5	1, 4	mpdan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) = (𝑧 + 1))
6	5, 1	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ)
7	6	rgen 2583	. . . 4 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ
8		frec2uz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
9		frec2uzzd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
10		frecsuc 6553	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
11	7, 8, 9, 10	mp3an2i 1376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
12		frec2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
13	12	fveq1i 5628	. . 3 ⊢ (𝐺‘suc 𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴)
14	12	fveq1i 5628	. . . 4 ⊢ (𝐺‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)
15	14	fveq2i 5630	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴))
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)))
17	8, 12, 9	frec2uzzd 10622	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
18		oveq1 6008	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝐴) → (𝑧 + 1) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
19	2	cbvmptv 4180	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1))
20	18, 19, 1	fvmpt3 5713	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
21	17, 20	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝐴)) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
22	16, 21	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ↦ cmpt 4145  suc csuc 4456  ωcom 4682  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  freccfrec 6536  1c1 8000   + caddc 8002  ℤcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-recs 6451  df-frec 6537  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447

This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  10624  frec2uzltd  10625  frec2uzrand  10627  frec2uzrdg  10631  frecuzrdgsuc  10636  frecuzrdgg  10638  frecfzennn  10648  1tonninf  10663  omgadd  11024  ennnfonelemkh  12983  ennnfonelemhf1o  12984  ennnfonelemnn0  12993  012of  16357  2o01f  16358  isomninnlem  16398  iswomninnlem  16417  ismkvnnlem  16420