Theorem ismkvnn 16657

Description: The predicate of being Markov stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ismkvnn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 0)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥

Proof of Theorem ismkvnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6024	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 + 1) = (𝑥 + 1))
2	1	cbvmptv 4185	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
3		freceq1 6557	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) → frec((𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ frec((𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
5	4	ismkvnnlem 16656	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {cpr 3670   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  freccfrec 6555   ↑_𝑚 cmap 6816  Markovcmarkov 7349  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-map 6818  df-markov 7350  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  neapmkv  16672