Theorem decleh 9827

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decle.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decle.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decle.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decleh.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decleh.5	⊢ 𝐶 ≤ 9
decleh.6	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
decleh	⊢ ;𝐴𝐶 ≤ ;𝐵𝐷

Proof of Theorem decleh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decle.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decle.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 9802	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 9585	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℝ
5		decle.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6		decleh.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 9802	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 9585	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℝ
9		decleh.5	. . 3 ⊢ 𝐶 ≤ 9
10		decleh.6	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
11	1, 5, 2, 6, 9, 10	declth 9822	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷
12	4, 8, 11	ltleii 8435	1 ⊢ ;𝐴𝐶 ≤ ;𝐵𝐷

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131   < clt 8366   ≤ cle 8367  9c9 9371  ℕ₀cn0 9574  ;cdc 9788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789

This theorem is used by:  declei  9828