Theorem decleh 9689

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decle.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decle.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decle.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decleh.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decleh.5	⊢ 𝐶 ≤ 9
decleh.6	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
decleh	⊢ ;𝐴𝐶 ≤ ;𝐵𝐷

Proof of Theorem decleh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decle.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decle.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 9669	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 9455	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℝ
5		decle.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6		decleh.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 9669	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 9455	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℝ
9		decleh.5	. . 3 ⊢ 𝐶 ≤ 9
10		decleh.6	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
11	1, 5, 2, 6, 9, 10	declth 9684	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷
12	4, 8, 11	ltleii 8324	1 ⊢ ;𝐴𝐶 ≤ ;𝐵𝐷

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093   < clt 8256   ≤ cle 8257  9c9 9243  ℕ₀cn0 9444  ;cdc 9655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656

This theorem is referenced by:  declei  9690