Theorem decleh 9377

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decle.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decle.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decle.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decleh.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decleh.5	⊢ 𝐶 ≤ 9
decleh.6	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
decleh	⊢ ;𝐴𝐶 ≤ ;𝐵𝐷

Proof of Theorem decleh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decle.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decle.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 9357	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 9146	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℝ
5		decle.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6		decleh.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 9357	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 9146	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℝ
9		decleh.5	. . 3 ⊢ 𝐶 ≤ 9
10		decleh.6	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
11	1, 5, 2, 6, 9, 10	declth 9372	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷
12	4, 8, 11	ltleii 8022	1 ⊢ ;𝐴𝐶 ≤ ;𝐵𝐷

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989   < clt 7954   ≤ cle 7955  9c9 8936  ℕ₀cn0 9135  ;cdc 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-dec 9344

This theorem is referenced by:  declei  9378