Theorem mplsubgfilemm 15231

Description: Lemma for mplsubgfi 15234. There exists a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfilemm	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑗   𝑈,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑅(𝑗)   𝐼(𝑗)

Proof of Theorem mplsubgfilemm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mplsubg.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psr0 15205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
8		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	psr0cl 15200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (Base‘𝑆))
10	7, 9	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
11		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12	11, 5	grpidcl 13892	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	3, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	1, 8	psrelbasfun 15190	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) → Fun (0g‘𝑆))
15	10, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (0g‘𝑆))
16		0fi 7194	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
17	16	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
18		0ss 3561	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ dom (0g‘𝑆)
19	18	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ dom (0g‘𝑆))
20		fconstg 5592	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) → ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {(0g‘𝑅)}):(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶{(0g‘𝑅)})
21	13, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {(0g‘𝑅)}):(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶{(0g‘𝑅)})
22	4	psrbagfi 15166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
23	2, 22	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
24	23	xpeq1d 4799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {(0g‘𝑅)}))
25	7, 24	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {(0g‘𝑅)}))
26	25	feq1d 5523	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆):(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶{(0g‘𝑅)} ↔ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {(0g‘𝑅)}):(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶{(0g‘𝑅)}))
27	21, 26	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆):(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶{(0g‘𝑅)})
28	27	fimassd 5554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆) “ (dom (0g‘𝑆) ∖ ∅)) ⊆ {(0g‘𝑅)})
29	10, 13, 15, 17, 19, 28	isfsuppfid 7297	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅))
30		mplsubg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
31		mplsubg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
32	30, 1, 8, 5, 31	mplelbas 15224	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (0g‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅)))
33	10, 29, 32	sylanbrc 421	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑈)
34		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝑗 = (0g‘𝑆) → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ (0g‘𝑆) ∈ 𝑈))
35	34	spcegv 2913	. 2 ⊢ ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈))
36	33, 33, 35	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709   class class class wbr 4131   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775  dom cdm 4776   “ cima 4779  Fun wfun 5374  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  Basecbs 13409  0_gc0g 13668  Grpcgrp 13863   mPwSer cmps 15153   mPoly cmpl 15155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6692  df-er 6812  df-map 6929  df-ixp 6987  df-en 7029  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-dec 9788  df-uz 9937  df-fz 10428  df-struct 13411  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-iress 13417  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-sca 13505  df-vsca 13506  df-ip 13507  df-tset 13508  df-ple 13509  df-ds 13511  df-hom 13513  df-cco 13514  df-rest 13653  df-topn 13654  df-0g 13670  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866  df-minusg 13867  df-prds 14276  df-pws 14309  df-psr 15156  df-mpl 15158

This theorem is used by:  mplsubgfi  15234