Theorem mplsubgfilemm 15226

Description: Lemma for mplsubgfi 15229. There exists a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfilemm	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑗   𝑈,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑅(𝑗)   𝐼(𝑗)

Proof of Theorem mplsubgfilemm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mplsubg.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psr0 15201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
8		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	psr0cl 15196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (Base‘𝑆))
10	7, 9	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
11		0nn0 9590	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
13	12	fmpttd 5866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0)
14		nn0ex 9581	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
15	14	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
16	15, 2	elmapd 6940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0))
17	13, 16	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
18	7	fveq1d 5700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏))
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏))
20		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	20, 5	grpidcl 13894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
25	4	psrbagfi 15168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
28	24, 27	eleqtrrd 2318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
29		fvconst2g 5932	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏) = (0g‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏) = (0g‘𝑅))
31	19, 30	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅))
32	31	a1d 22	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
33	32	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
34		fveq1 5697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → (𝑎‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘))
35	34	breq1d 4141	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → ((𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘)))
36	35	ralbidv 2550	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘)))
37	36	rspceaimv 2938	. . . 4 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅))) → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
38	17, 33, 37	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
39		mplsubg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
40		mplsubg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
41	39, 1, 8, 5, 40	mplelbascoe 15220	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
42	2, 3, 41	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
43	10, 38, 42	mpbir2and 957	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑈)
44		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝑗 = (0g‘𝑆) → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ (0g‘𝑆) ∈ 𝑈))
45	44	spcegv 2913	. 2 ⊢ ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈))
46	43, 43, 45	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532  Vcvv 2821  {csn 3709   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7027  0cc0 8186   < clt 8367  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  Basecbs 13411  0_gc0g 13670  Grpcgrp 13865   mPwSer cmps 15155   mPoly cmpl 15157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6986  df-en 7028  df-fin 7030  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-fz 10430  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-hom 13515  df-cco 13516  df-rest 13655  df-topn 13656  df-0g 13672  df-topgen 13674  df-pt 13675  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-prds 14278  df-pws 14311  df-psr 15158  df-mplcoe 15160

This theorem is used by:  mplsubgfi  15229