Theorem mplsubgfilemm 14332

Description: Lemma for mplsubgfi 14335. There exists a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfilemm	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑗   𝑈,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑅(𝑗)   𝐼(𝑗)

Proof of Theorem mplsubgfilemm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mplsubg.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psr0 14320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
8		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	psr0cl 14315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (Base‘𝑆))
10	7, 9	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
11		0nn0 9283	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
13	12	fmpttd 5720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0)
14		nn0ex 9274	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
15	14	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
16	15, 2	elmapd 6730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0))
17	13, 16	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
18	7	fveq1d 5563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏))
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏))
20		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	20, 5	grpidcl 13233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
25	4	psrbagfi 14307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
28	24, 27	eleqtrrd 2276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
29		fvconst2g 5779	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏) = (0g‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏) = (0g‘𝑅))
31	19, 30	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅))
32	31	a1d 22	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
33	32	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
34		fveq1 5560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → (𝑎‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘))
35	34	breq1d 4044	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → ((𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘)))
36	35	ralbidv 2497	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘)))
37	36	rspceaimv 2876	. . . 4 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅))) → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
38	17, 33, 37	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
39		mplsubg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
40		mplsubg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
41	39, 1, 8, 5, 40	mplelbascoe 14326	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
42	2, 3, 41	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
43	10, 38, 42	mpbir2and 946	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑈)
44		eleq1 2259	. . 3 ⊢ (𝑗 = (0g‘𝑆) → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ (0g‘𝑆) ∈ 𝑈))
45	44	spcegv 2852	. 2 ⊢ ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈))
46	43, 43, 45	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479  Vcvv 2763  {csn 3623   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095   × cxp 4662  ^◡ccnv 4663   “ cima 4667  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ↑_𝑚 cmap 6716  Fincfn 6808  0cc0 7898   < clt 8080  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268  Basecbs 12705  0_gc0g 12960  Grpcgrp 13204   mPwSer cmps 14295   mPoly cmpl 14296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-1o 6483  df-er 6601  df-map 6718  df-ixp 6767  df-en 6809  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-dec 9477  df-uz 9621  df-fz 10103  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-ip 12800  df-tset 12801  df-ple 12802  df-ds 12804  df-hom 12806  df-cco 12807  df-rest 12945  df-topn 12946  df-0g 12962  df-topgen 12964  df-pt 12965  df-prds 12971  df-pws 12994  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-minusg 13208  df-psr 14297  df-mplcoe 14298

This theorem is referenced by:  mplsubgfi  14335