Theorem mplsubgfilemm 15072

Description: Lemma for mplsubgfi 15075. There exists a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfilemm	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑗   𝑈,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑅(𝑗)   𝐼(𝑗)

Proof of Theorem mplsubgfilemm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mplsubg.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psr0 15060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
8		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	psr0cl 15055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (Base‘𝑆))
10	7, 9	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
11		0nn0 9561	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
13	12	fmpttd 5857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0)
14		nn0ex 9552	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
15	14	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
16	15, 2	elmapd 6930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0))
17	13, 16	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
18	7	fveq1d 5695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏))
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏))
20		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	20, 5	grpidcl 13817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
25	4	psrbagfi 15042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
28	24, 27	eleqtrrd 2318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
29		fvconst2g 5923	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏) = (0g‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏) = (0g‘𝑅))
31	19, 30	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅))
32	31	a1d 22	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
33	32	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
34		fveq1 5692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → (𝑎‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘))
35	34	breq1d 4138	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → ((𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘)))
36	35	ralbidv 2550	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘)))
37	36	rspceaimv 2938	. . . 4 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅))) → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
38	17, 33, 37	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
39		mplsubg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
40		mplsubg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
41	39, 1, 8, 5, 40	mplelbascoe 15066	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
42	2, 3, 41	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
43	10, 38, 42	mpbir2and 957	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑈)
44		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝑗 = (0g‘𝑆) → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ (0g‘𝑆) ∈ 𝑈))
45	44	spcegv 2913	. 2 ⊢ ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈))
46	43, 43, 45	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532  Vcvv 2821  {csn 3708   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190   × cxp 4770  ^◡ccnv 4771   “ cima 4775  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916  Fincfn 7016  0cc0 8173   < clt 8354  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546  Basecbs 13335  0_gc0g 13593  Grpcgrp 13788   mPwSer cmps 15028   mPoly cmpl 15029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-1o 6681  df-er 6801  df-map 6918  df-ixp 6975  df-en 7017  df-fin 7019  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-fz 10395  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-hom 13438  df-cco 13439  df-rest 13578  df-topn 13579  df-0g 13595  df-topgen 13597  df-pt 13598  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-prds 14153  df-pws 14186  df-psr 15030  df-mplcoe 15031

This theorem is referenced by:  mplsubgfi  15075