Theorem mplsubgfilemm 14575

Description: Lemma for mplsubgfi 14578. There exists a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfilemm	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑗   𝑈,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑅(𝑗)   𝐼(𝑗)

Proof of Theorem mplsubgfilemm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mplsubg.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psr0 14563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
8		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	psr0cl 14558	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (Base‘𝑆))
10	7, 9	eqeltrd 2284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
11		0nn0 9345	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
13	12	fmpttd 5758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0)
14		nn0ex 9336	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
15	14	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
16	15, 2	elmapd 6772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0))
17	13, 16	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
18	7	fveq1d 5601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏))
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏))
20		eqid 2207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	20, 5	grpidcl 13476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
25	4	psrbagfi 14550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
28	24, 27	eleqtrrd 2287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
29		fvconst2g 5821	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏) = (0g‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘𝑏) = (0g‘𝑅))
31	19, 30	eqtrd 2240	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅))
32	31	a1d 22	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
33	32	ralrimiva 2581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
34		fveq1 5598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → (𝑎‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘))
35	34	breq1d 4069	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → ((𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘)))
36	35	ralbidv 2508	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘)))
37	36	rspceaimv 2892	. . . 4 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ 0)‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅))) → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
38	17, 33, 37	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
39		mplsubg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
40		mplsubg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
41	39, 1, 8, 5, 40	mplelbascoe 14569	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
42	2, 3, 41	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((0g‘𝑆)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
43	10, 38, 42	mpbir2and 947	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑈)
44		eleq1 2270	. . 3 ⊢ (𝑗 = (0g‘𝑆) → (𝑗 ∈ 𝑈 ↔ (0g‘𝑆) ∈ 𝑈))
45	44	spcegv 2868	. 2 ⊢ ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 → ((0g‘𝑆) ∈ 𝑈 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈))
46	43, 43, 45	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ∃wrex 2487  {crab 2490  Vcvv 2776  {csn 3643   class class class wbr 4059   ↦ cmpt 4121   × cxp 4691  ^◡ccnv 4692   “ cima 4696  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967   ↑_𝑚 cmap 6758  Fincfn 6850  0cc0 7960   < clt 8142  ℕcn 9071  ℕ₀cn0 9330  Basecbs 12947  0_gc0g 13203  Grpcgrp 13447   mPwSer cmps 14538   mPoly cmpl 14539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-1o 6525  df-er 6643  df-map 6760  df-ixp 6809  df-en 6851  df-fin 6853  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-fz 10166  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-tset 13043  df-ple 13044  df-ds 13046  df-hom 13048  df-cco 13049  df-rest 13188  df-topn 13189  df-0g 13205  df-topgen 13207  df-pt 13208  df-prds 13214  df-pws 13237  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-psr 14540  df-mplcoe 14541

This theorem is referenced by:  mplsubgfi  14578