Theorem wrdval 11014

Description: Value of the set of words over a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
wrdval	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑙   𝑉,𝑙

Proof of Theorem wrdval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-word 11012	. 2 ⊢ Word 𝑆 = {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆}
2		eliun 3936	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)))
3		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		0zd 9399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
5		nn0z 9407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 𝑙 ∈ ℤ)
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℤ)
7		fzofig 10594	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (0..^𝑙) ∈ Fin)
8	4, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (0..^𝑙) ∈ Fin)
9	3, 8	elmapd 6761	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ↔ 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆))
10	9	rexbidva 2504	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆))
11	2, 10	bitrid 192	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑤 ∈ ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆))
12	11	eqabdv 2335	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) = {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆})
13	1, 12	eqtr4id 2258	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {cab 2192  ∃wrex 2486  ∪ ciun 3932  ⟶wf 5275  (class class class)co 5956   ↑_𝑚 cmap 6747  Fincfn 6839  0cc0 7940  ℕ₀cn0 9310  ℤcz 9387  ..^cfzo 10279  Word cword 11011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-1o 6514  df-er 6632  df-map 6749  df-en 6840  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-word 11012

This theorem is referenced by:  wrdexg  11022