Theorem sinq34lt0t 15855

Description: The sine of a number strictly between π and 2 · π is negative. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinq34lt0t	⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (sin‘𝐴) < 0)

Proof of Theorem sinq34lt0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10293	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		picn 15811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
3	2	addlidi 8459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + π) = π
4	3	eqcomi 2242	. . . . . . . . 9 ⊢ π = (0 + π)
5	2	2timesi 9413	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) = (π + π)
6	4, 5	oveq12i 6087	. . . . . . . 8 ⊢ (π(,)(2 · π)) = ((0 + π)(,)(π + π))
7	6	eleq2i 2305	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) ↔ 𝐴 ∈ ((0 + π)(,)(π + π)))
8		pire 15810	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
9		0re 8316	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		iooshf 10333	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ)) → ((𝐴 − π) ∈ (0(,)π) ↔ 𝐴 ∈ ((0 + π)(,)(π + π))))
11	9, 8, 10	mpanr12 443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 − π) ∈ (0(,)π) ↔ 𝐴 ∈ ((0 + π)(,)(π + π))))
12	8, 11	mpan2 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − π) ∈ (0(,)π) ↔ 𝐴 ∈ ((0 + π)(,)(π + π))))
13	7, 12	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 − π) ∈ (0(,)π)))
14	1, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 − π) ∈ (0(,)π)))
15	14	ibi 176	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (𝐴 − π) ∈ (0(,)π))
16		sinq12gt0 15854	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 − π)))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → 0 < (sin‘(𝐴 − π)))
18	1	recnd 8344	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		sinmpi 15839	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
21	17, 20	breqtrd 4151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → 0 < -(sin‘𝐴))
22	1	resincld 12468	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
23	22	lt0neg1d 8833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ 0 < -(sin‘𝐴)))
24	21, 23	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (sin‘𝐴) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169   + caddc 8172   · cmul 8174   < clt 8350   − cmin 8487  -cneg 8488  2c2 9334  (,)cioo 10269  sincsin 12389  πcpi 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-pre-suploc 8290  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-pm 6915  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ioo 10273  df-ioc 10274  df-ico 10275  df-icc 10276  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396  df-pi 12398  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  cosq23lt0  15857