Theorem sinq34lt0t 15574

Description: The sine of a number strictly between π and 2 · π is negative. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinq34lt0t	⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (sin‘𝐴) < 0)

Proof of Theorem sinq34lt0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		picn 15530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
3	2	addlidi 8322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + π) = π
4	3	eqcomi 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ π = (0 + π)
5	2	2timesi 9273	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) = (π + π)
6	4, 5	oveq12i 6030	. . . . . . . 8 ⊢ (π(,)(2 · π)) = ((0 + π)(,)(π + π))
7	6	eleq2i 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) ↔ 𝐴 ∈ ((0 + π)(,)(π + π)))
8		pire 15529	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
9		0re 8179	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		iooshf 10187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ)) → ((𝐴 − π) ∈ (0(,)π) ↔ 𝐴 ∈ ((0 + π)(,)(π + π))))
11	9, 8, 10	mpanr12 439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 − π) ∈ (0(,)π) ↔ 𝐴 ∈ ((0 + π)(,)(π + π))))
12	8, 11	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − π) ∈ (0(,)π) ↔ 𝐴 ∈ ((0 + π)(,)(π + π))))
13	7, 12	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 − π) ∈ (0(,)π)))
14	1, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 − π) ∈ (0(,)π)))
15	14	ibi 176	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (𝐴 − π) ∈ (0(,)π))
16		sinq12gt0 15573	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 − π)))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → 0 < (sin‘(𝐴 − π)))
18	1	recnd 8208	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		sinmpi 15558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
21	17, 20	breqtrd 4114	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → 0 < -(sin‘𝐴))
22	1	resincld 12302	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
23	22	lt0neg1d 8695	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ 0 < -(sin‘𝐴)))
24	21, 23	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(2 · π)) → (sin‘𝐴) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214   − cmin 8350  -cneg 8351  2c2 9194  (,)cioo 10123  sincsin 12223  πcpi 12226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-pm 6820  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-ioo 10127  df-ioc 10128  df-ico 10129  df-icc 10130  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11393  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422  df-rsqrt 11576  df-abs 11577  df-clim 11857  df-sumdc 11932  df-ef 12227  df-sin 12229  df-cos 12230  df-pi 12232  df-rest 13342  df-topgen 13361  df-psmet 14576  df-xmet 14577  df-met 14578  df-bl 14579  df-mopn 14580  df-top 14741  df-topon 14754  df-bases 14786  df-ntr 14839  df-cn 14931  df-cnp 14932  df-tx 14996  df-cncf 15314  df-limced 15399  df-dvap 15400

This theorem is referenced by:  cosq23lt0  15576