Theorem efieq1re 11779

Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq1re	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem efieq1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 10868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2	1	oveq2d 5891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3		recl 10862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 7986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5		ax-icn 7906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
6		imcl 10863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 7986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 7938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		adddi 7943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
11	5, 10	mp3an1 1324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
12	4, 9, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
13		ixi 8540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
14	13	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (ℑ‘𝐴))
15		mulass 7942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
16	5, 5, 15	mp3an12 1327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
17	7, 16	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
18	7	mulm1d 8367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
20	19	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
21	12, 20	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
22	2, 21	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
23	22	fveq2d 5520	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))))
24		mulcl 7938	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
25	5, 4, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
26	6	renegcld 8337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
27	26	recnd 7986	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
28		efadd 11683	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
29	25, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
30	23, 29	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
31	30	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 ↔ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1))
32		efcl 11672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
33	25, 32	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
34		efcl 11672	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
35	27, 34	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
36	33, 35	absmuld 11203	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴)))))
37		absefi 11776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
38	3, 37	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
39	26	reefcld 11677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
40		efgt0 11692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
41	26, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
42		0re 7957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
43		ltle 8045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
44	42, 43	mpan 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
45	39, 41, 44	sylc 62	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
46	39, 45	absidd 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
47	38, 46	oveq12d 5893	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = (1 · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
48	35	mulid2d 7976	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
49	36, 47, 48	3eqtrrd 2215	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))))
50		fveq2 5516	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1 → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = (abs‘1))
51	49, 50	sylan9eq 2230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1) → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
52	51	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1 → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
53	31, 52	sylbid 150	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
54	7	negeq0d 8260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
55		reim0b 10871	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
56		ef0 11680	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘0) = 1
57		abs1 11081	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
58	56, 57	eqtr4i 2201	. . . . . 6 ⊢ (exp‘0) = (abs‘1)
59	58	eqeq2i 2188	. . . . 5 ⊢ ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
60		reef11 11707	. . . . . 6 ⊢ ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
61	26, 42, 60	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
62	59, 61	bitr3id 194	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
63	54, 55, 62	3bitr4rd 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
64	53, 63	sylibd 149	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → 𝐴 ∈ ℝ))
65	64	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812  ici 7813   + caddc 7814   · cmul 7816   < clt 7992   ≤ cle 7993  -cneg 8129  ℜcre 10849  ℑcim 10850  abscabs 11006  expce 11650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-sin 11658  df-cos 11659

This theorem is referenced by: (None)