Theorem neg1z 9489

Description: -1 is an integer (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 5-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
neg1z	⊢ -1 ∈ ℤ

Proof of Theorem neg1z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9132	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnnegz 9460	. 2 ⊢ (1 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ -1 ∈ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  1c1 8011  -cneg 8329  ℕcn 9121  ℤcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-z 9458

This theorem is referenced by:  modqnegd  10613  modsumfzodifsn  10630  xnn0nnen  10671  m1expcl  10796  n2dvdsm1  12439  bitsfzo  12481  pythagtriplem4  12806  cosq34lt1  15539  wilthlem1  15669  lgslem2  15695  lgsval  15698  lgsfvalg  15699  lgsfcl2  15700  lgsval2lem  15704  lgsvalmod  15713  lgsdir2lem3  15724  lgsdir2lem4  15725  lgsdir  15729  lgsdi  15731  lgsne0  15732  gausslemma2dlem5a  15759  gausslemma2dlem6  15761  gausslemma2dlem7  15762  gausslemma2d  15763  lgseisenlem2  15765  lgseisenlem4  15767  m1lgs  15779  apdiff  16476