Theorem neg1z 9681

Description: -1 is an integer (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 5-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
neg1z	⊢ -1 ∈ ℤ

Proof of Theorem neg1z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9318	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnnegz 9652	. 2 ⊢ (1 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ -1 ∈ ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  1c1 8181  -cneg 8500  ℕcn 9307  ℤcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-z 9650

This theorem is used by:  fz00m1  10462  modqnegd  10831  modsumfzodifsn  10848  xnn0nnen  10889  m1expcl  11014  n2dvdsm1  12699  bitsfzo  12741  pythagtriplem4  13070  cosq34lt1  16043  wilthlem1  16193  ppiqub  16254  lgslem2  16286  lgsval  16289  lgsfvalg  16290  lgsfcl2  16291  lgsval2lem  16295  lgsvalmod  16304  lgsdir2lem3  16315  lgsdir2lem4  16316  lgsdir  16320  lgsdi  16322  lgsne0  16323  gausslemma2dlem5a  16350  gausslemma2dlem6  16352  gausslemma2dlem7  16353  gausslemma2d  16354  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem4  16358  m1lgs  16370  apdiff  17264