Theorem expaddzaplem 11021

Description: Lemma for expaddzap 11022. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expaddzaplem	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expaddzaplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1052	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp3 1030	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 10996	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
5		simp2r 1055	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 9622	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
7		expcl 10996	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
9		simp1r 1053	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
10	5	nnzd 9769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
11		expap0i 11010	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
13	4, 8, 12	divrecap2d 9125	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴↑𝑁)))
14		simp2l 1054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	recnd 8354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
16	15	negnegd 8628	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑀 = 𝑀)
17		nnnegz 9649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑀 ∈ ℕ → --𝑀 ∈ ℤ)
18	5, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑀 ∈ ℤ)
19	16, 18	eqeltrrd 2316	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	2	nn0zd 9768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	19, 20	zaddcld 9774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
22		expclzap 11003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
23	1, 9, 21, 22	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
24	23	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
25	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
26	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
27	24, 25, 26	divcanap4d 9127	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
28	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
30	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
31		expadd 11020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
33	21	zcnd 9771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
34	33, 15	negsubd 8643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
35	2	nn0cnd 9624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
36	15, 35	pncan2d 8639	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
37	34, 36	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
39	38	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
40	32, 39	eqtr3d 2273	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
41	40	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
42	27, 41	eqtr3d 2273	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
43	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
45	33	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
46		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
47		expineg2 10987	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
48	43, 44, 45, 46, 47	syl22anc 1279	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
49	21	znegcld 9772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
50		expclzap 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
51	1, 9, 49, 50	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
53	4	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
54		expap0i 11010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) # 0)
55	1, 9, 20, 54	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) # 0)
56	55	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) # 0)
57	52, 53, 56	divcanap4d 9127	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) / (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)))
58	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59		expadd 11020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)))
60	43, 46, 58, 59	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)))
61	15, 35	negdi2d 8651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 − 𝑁))
62	61	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
63	15	negcld 8624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
64	63, 35	npcand 8641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
65	62, 64	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
67	66	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
68	60, 67	eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
69	68	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) / (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
70	57, 69	eqtr3d 2273	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
71	70	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))))
72	8, 4, 12, 55	recdivapd 9138	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
73	72	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
74	71, 73	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
75	48, 74	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
76		elznn0 9661	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)))
77	76	simprbi 275	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
78	21, 77	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
79	42, 75, 78	mpjaodan 810	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
80		expineg2 10987	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
81	1, 9, 15, 6, 80	syl22anc 1279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
82	81	oveq1d 6100	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴↑𝑁)))
83	13, 79, 82	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184   − cmin 8497  -cneg 8498   # cap 8910   / cdiv 9003  ℕcn 9305  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646  ↑cexp 10977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-seqfrec 10887  df-exp 10978

This theorem is used by:  expaddzap  11022