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Theorem expaddzaplem 10350
Description: Lemma for expaddzap 10351. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expaddzaplem (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem expaddzaplem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1005 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp3 983 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 expcl 10325 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2anc 408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
5 simp2r 1008 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ)
65nnnn0d 9044 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
7 expcl 10325 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
81, 6, 7syl2anc 408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
9 simp1r 1006 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
105nnzd 9186 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
11 expap0i 10339 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
121, 9, 10, 11syl3anc 1216 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
134, 8, 12divrecap2d 8568 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴𝑁)))
14 simp2l 1007 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
1514recnd 7808 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
1615negnegd 8078 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑀 = 𝑀)
17 nnnegz 9071 . . . . . . . . . 10 (-𝑀 ∈ ℕ → --𝑀 ∈ ℤ)
185, 17syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑀 ∈ ℤ)
1916, 18eqeltrrd 2217 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
202nn0zd 9185 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2119, 20zaddcld 9191 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
22 expclzap 10332 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
231, 9, 21, 22syl3anc 1216 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
2423adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
258adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
2612adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
2724, 25, 26divcanap4d 8570 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
281adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
306adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
31 expadd 10349 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1216 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
3321zcnd 9188 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
3433, 15negsubd 8093 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
352nn0cnd 9046 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3615, 35pncan2d 8089 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
3734, 36eqtrd 2172 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
3837adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
3938oveq2d 5790 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = (𝐴𝑁))
4032, 39eqtr3d 2174 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴𝑁))
4140oveq1d 5789 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
4227, 41eqtr3d 2174 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
431adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
449adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
4533adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
46 simpr 109 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
47 expineg2 10316 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
4843, 44, 45, 46, 47syl22anc 1217 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
4921znegcld 9189 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
50 expclzap 10332 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
511, 9, 49, 50syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
5251adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
534adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
54 expap0i 10339 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) # 0)
551, 9, 20, 54syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) # 0)
5655adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) # 0)
5752, 53, 56divcanap4d 8570 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴𝑁)) / (𝐴𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)))
582adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59 expadd 10349 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴𝑁)))
6043, 46, 58, 59syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴𝑁)))
6115, 35negdi2d 8101 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀𝑁))
6261oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝑀𝑁) + 𝑁))
6315negcld 8074 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
6463, 35npcand 8091 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-𝑀𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
6562, 64eqtrd 2172 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
6665adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
6766oveq2d 5790 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
6860, 67eqtr3d 2174 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
6968oveq1d 5789 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴𝑁)) / (𝐴𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴𝑁)))
7057, 69eqtr3d 2174 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴𝑁)))
7170oveq2d 5790 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴𝑁))))
728, 4, 12, 55recdivapd 8581 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴𝑁))) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
7372adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴𝑁))) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
7471, 73eqtrd 2172 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
7548, 74eqtrd 2172 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
76 elznn0 9083 . . . . 5 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)))
7776simprbi 273 . . . 4 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
7821, 77syl 14 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
7942, 75, 78mpjaodan 787 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
80 expineg2 10316 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
811, 9, 15, 6, 80syl22anc 1217 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
8281oveq1d 5789 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴𝑁)))
8313, 79, 823eqtr4d 2182 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 697  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7632  cr 7633  0cc0 7634  1c1 7635   + caddc 7637   · cmul 7639  cmin 7947  -cneg 7948   # cap 8357   / cdiv 8446  cn 8734  0cn0 8991  cz 9068  cexp 10306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-seqfrec 10233  df-exp 10307
This theorem is referenced by:  expaddzap  10351
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