Theorem expaddzaplem 10562

Description: Lemma for expaddzap 10563. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expaddzaplem	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expaddzaplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1021	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp3 999	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 10537	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
5		simp2r 1024	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 9228	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
7		expcl 10537	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
9		simp1r 1022	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
10	5	nnzd 9373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
11		expap0i 10551	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
13	4, 8, 12	divrecap2d 8750	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴↑𝑁)))
14		simp2l 1023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	recnd 7985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
16	15	negnegd 8258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑀 = 𝑀)
17		nnnegz 9255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑀 ∈ ℕ → --𝑀 ∈ ℤ)
18	5, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑀 ∈ ℤ)
19	16, 18	eqeltrrd 2255	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	2	nn0zd 9372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	19, 20	zaddcld 9378	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
22		expclzap 10544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
23	1, 9, 21, 22	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
24	23	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
25	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
26	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
27	24, 25, 26	divcanap4d 8752	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
28	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
30	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
31		expadd 10561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
33	21	zcnd 9375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
34	33, 15	negsubd 8273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
35	2	nn0cnd 9230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
36	15, 35	pncan2d 8269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
37	34, 36	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
39	38	oveq2d 5890	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
40	32, 39	eqtr3d 2212	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
41	40	oveq1d 5889	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
42	27, 41	eqtr3d 2212	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
43	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
45	33	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
46		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
47		expineg2 10528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
48	43, 44, 45, 46, 47	syl22anc 1239	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
49	21	znegcld 9376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
50		expclzap 10544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
51	1, 9, 49, 50	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
53	4	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
54		expap0i 10551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) # 0)
55	1, 9, 20, 54	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) # 0)
56	55	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) # 0)
57	52, 53, 56	divcanap4d 8752	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) / (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)))
58	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59		expadd 10561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)))
60	43, 46, 58, 59	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)))
61	15, 35	negdi2d 8281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 − 𝑁))
62	61	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
63	15	negcld 8254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
64	63, 35	npcand 8271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
65	62, 64	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
67	66	oveq2d 5890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
68	60, 67	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
69	68	oveq1d 5889	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) / (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
70	57, 69	eqtr3d 2212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
71	70	oveq2d 5890	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))))
72	8, 4, 12, 55	recdivapd 8763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
73	72	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
74	71, 73	eqtrd 2210	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
75	48, 74	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
76		elznn0 9267	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)))
77	76	simprbi 275	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
78	21, 77	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
79	42, 75, 78	mpjaodan 798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
80		expineg2 10528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
81	1, 9, 15, 6, 80	syl22anc 1239	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
82	81	oveq1d 5889	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴↑𝑁)))
83	13, 79, 82	3eqtr4d 2220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  ℝcr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815   − cmin 8127  -cneg 8128   # cap 8537   / cdiv 8628  ℕcn 8918  ℕ₀cn0 9175  ℤcz 9252  ↑cexp 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-seqfrec 10445  df-exp 10519

This theorem is referenced by:  expaddzap  10563