ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expaddzaplem GIF version

Theorem expaddzaplem 10582
Description: Lemma for expaddzap 10583. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expaddzaplem (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem expaddzaplem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1023 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 simp3 1001 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 expcl 10557 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3syl2anc 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
5 simp2r 1026 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•)
65nnnn0d 9248 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
7 expcl 10557 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚)
81, 6, 7syl2anc 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚)
9 simp1r 1024 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด # 0)
105nnzd 9393 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 expap0i 10571 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0)
121, 9, 10, 11syl3anc 1249 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0)
134, 8, 12divrecap2d 8770 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘-๐‘€)) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
14 simp2l 1025 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1514recnd 8005 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1615negnegd 8278 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ --๐‘€ = ๐‘€)
17 nnnegz 9275 . . . . . . . . . 10 (-๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ --๐‘€ โˆˆ โ„ค)
185, 17syl 14 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ --๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1916, 18eqeltrrd 2267 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
202nn0zd 9392 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2119, 20zaddcld 9398 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
22 expclzap 10564 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
231, 9, 21, 22syl3anc 1249 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2423adantr 276 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
258adantr 276 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2612adantr 276 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0)
2724, 25, 26divcanap4d 8772 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) ยท (๐ดโ†‘-๐‘€)) / (๐ดโ†‘-๐‘€)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)))
281adantr 276 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
29 simpr 110 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
306adantr 276 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
31 expadd 10581 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€)) = ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) ยท (๐ดโ†‘-๐‘€)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1249 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€)) = ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) ยท (๐ดโ†‘-๐‘€)))
3321zcnd 9395 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3433, 15negsubd 8293 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€) = ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘€))
352nn0cnd 9250 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3615, 35pncan2d 8289 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘€) = ๐‘)
3734, 36eqtrd 2222 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€) = ๐‘)
3837adantr 276 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€) = ๐‘)
3938oveq2d 5907 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€)) = (๐ดโ†‘๐‘))
4032, 39eqtr3d 2224 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) ยท (๐ดโ†‘-๐‘€)) = (๐ดโ†‘๐‘))
4140oveq1d 5906 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) ยท (๐ดโ†‘-๐‘€)) / (๐ดโ†‘-๐‘€)) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
4227, 41eqtr3d 2224 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
431adantr 276 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
449adantr 276 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด # 0)
4533adantr 276 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
46 simpr 110 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
47 expineg2 10548 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))))
4843, 44, 45, 46, 47syl22anc 1250 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))))
4921znegcld 9396 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
50 expclzap 10564 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
511, 9, 49, 50syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
5251adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
534adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
54 expap0i 10571 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) # 0)
551, 9, 20, 54syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) # 0)
5655adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) # 0)
5752, 53, 56divcanap4d 8772 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) / (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)))
582adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
59 expadd 10581 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(-(๐‘€ + ๐‘) + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
6043, 46, 58, 59syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(-(๐‘€ + ๐‘) + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
6115, 35negdi2d 8301 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) = (-๐‘€ โˆ’ ๐‘))
6261oveq1d 5906 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) + ๐‘) = ((-๐‘€ โˆ’ ๐‘) + ๐‘))
6315negcld 8274 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„‚)
6463, 35npcand 8291 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ โˆ’ ๐‘) + ๐‘) = -๐‘€)
6562, 64eqtrd 2222 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) + ๐‘) = -๐‘€)
6665adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) + ๐‘) = -๐‘€)
6766oveq2d 5907 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(-(๐‘€ + ๐‘) + ๐‘)) = (๐ดโ†‘-๐‘€))
6860, 67eqtr3d 2224 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐ดโ†‘-๐‘€))
6968oveq1d 5906 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) / (๐ดโ†‘๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€) / (๐ดโ†‘๐‘)))
7057, 69eqtr3d 2224 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€) / (๐ดโ†‘๐‘)))
7170oveq2d 5907 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€) / (๐ดโ†‘๐‘))))
728, 4, 12, 55recdivapd 8783 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€) / (๐ดโ†‘๐‘))) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
7372adantr 276 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€) / (๐ดโ†‘๐‘))) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
7471, 73eqtrd 2222 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
7548, 74eqtrd 2222 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
76 elznn0 9287 . . . . 5 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)))
7776simprbi 275 . . . 4 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0))
7821, 77syl 14 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0))
7942, 75, 78mpjaodan 799 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
80 expineg2 10548 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
811, 9, 15, 6, 80syl22anc 1250 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
8281oveq1d 5906 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
8313, 79, 823eqtr4d 2232 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 980   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828  โ„cr 7829  0cc0 7830  1c1 7831   + caddc 7833   ยท cmul 7835   โˆ’ cmin 8147  -cneg 8148   # cap 8557   / cdiv 8648  โ„•cn 8938  โ„•0cn0 9195  โ„คcz 9272  โ†‘cexp 10538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-seqfrec 10465  df-exp 10539
This theorem is referenced by:  expaddzap  10583
  Copyright terms: Public domain W3C validator