Theorem prfidceq 7120

Description: A pair is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prfidceq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
prfidceq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
prfidceq.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
prfidceq	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem prfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prfidceq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		snfig 6989	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ∈ Fin)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴} ∈ Fin)
5		dfsn2 3683	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
6		preq2 3749	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
7	5, 6	eqtrid 2276	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐴, 𝐵})
8	7	eleq1d 2300	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin))
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin))
10	4, 9	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11		prfidceq.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
12		neqne 2410	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
13		prfidisj 7119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
14	1, 11, 12, 13	syl2an3an 1334	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
15		prfidceq.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦)
16		eqeq1 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐴 = 𝑦))
17	16	dcbid 845	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝐴 = 𝑦))
18		eqeq2 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 = 𝑦 ↔ 𝐴 = 𝐵))
19	18	dcbid 845	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (DECID 𝐴 = 𝑦 ↔ DECID 𝐴 = 𝐵))
20	17, 19	rspc2v 2923	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦 → DECID 𝐴 = 𝐵))
21	1, 11, 20	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦 → DECID 𝐴 = 𝐵))
22	15, 21	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐴 = 𝐵)
23		exmiddc 843	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
24	22, 23	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
25	10, 14, 24	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  {csn 3669  {cpr 3670  Fincfn 6909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912

This theorem is referenced by:  tpfidceq  7122  perfectlem2  15727