Theorem prfidceq 6989

Description: A pair is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prfidceq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
prfidceq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
prfidceq.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
prfidceq	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem prfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prfidceq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		snfig 6873	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ∈ Fin)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴} ∈ Fin)
5		dfsn2 3636	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
6		preq2 3700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
7	5, 6	eqtrid 2241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐴, 𝐵})
8	7	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin))
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin))
10	4, 9	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11		prfidceq.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
12		neqne 2375	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
13		prfidisj 6988	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
14	1, 11, 12, 13	syl2an3an 1309	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
15		prfidceq.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦)
16		eqeq1 2203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐴 = 𝑦))
17	16	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝐴 = 𝑦))
18		eqeq2 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 = 𝑦 ↔ 𝐴 = 𝐵))
19	18	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (DECID 𝐴 = 𝑦 ↔ DECID 𝐴 = 𝐵))
20	17, 19	rspc2v 2881	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦 → DECID 𝐴 = 𝐵))
21	1, 11, 20	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦 → DECID 𝐴 = 𝐵))
22	15, 21	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐴 = 𝐵)
23		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
24	22, 23	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
25	10, 14, 24	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  {csn 3622  {cpr 3623  Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  tpfidceq  6991  perfectlem2  15236