Theorem prfidceq 7201

Description: A pair is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prfidceq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
prfidceq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
prfidceq.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
prfidceq	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem prfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prfidceq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		snfig 7069	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ∈ Fin)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴} ∈ Fin)
5		dfsn2 3708	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
6		preq2 3774	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
7	5, 6	eqtrid 2279	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐴, 𝐵})
8	7	eleq1d 2303	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin))
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin))
10	4, 9	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11		prfidceq.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
12		neqne 2422	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
13		prfidisj 7200	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
14	1, 11, 12, 13	syl2an3an 1335	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
15		prfidceq.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦)
16		eqeq1 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐴 = 𝑦))
17	16	dcbid 846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝐴 = 𝑦))
18		eqeq2 2244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 = 𝑦 ↔ 𝐴 = 𝐵))
19	18	dcbid 846	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (DECID 𝐴 = 𝑦 ↔ DECID 𝐴 = 𝐵))
20	17, 19	rspc2v 2937	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦 → DECID 𝐴 = 𝐵))
21	1, 11, 20	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐶 DECID 𝑥 = 𝑦 → DECID 𝐴 = 𝐵))
22	15, 21	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐴 = 𝐵)
23		exmiddc 844	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
24	22, 23	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
25	10, 14, 24	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∀wral 2522  {csn 3694  {cpr 3695  Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  tpfidceq  7203  perfectlem2  15997