ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodgt02 GIF version

Theorem prodgt02 8828
Description: Infer that a multiplier is positive from a nonnegative multiplicand and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
prodgt02 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ด)

Proof of Theorem prodgt02
StepHypRef Expression
1 recn 7962 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 recn 7962 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 mulcom 7958 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
41, 2, 3syl2an 289 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
54breq2d 4030 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†” 0 < (๐ต ยท ๐ด)))
65biimpd 144 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < (๐ต ยท ๐ด)))
7 prodgt0 8827 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ต ยท ๐ด))) โ†’ 0 < ๐ด)
87ex 115 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ต ยท ๐ด)) โ†’ 0 < ๐ด))
98ancoms 268 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ต ยท ๐ด)) โ†’ 0 < ๐ด))
106, 9sylan2d 294 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ด))
1110imp 124 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ด)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7827  โ„cr 7828  0cc0 7829   ยท cmul 7834   < clt 8010   โ‰ค cle 8011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator