Theorem oexpneg 11876

Description: The exponential of the negative of a number, when the exponent is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oexpneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem oexpneg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9270	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		odd2np1 11872	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
4	3	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
5	4	3adant1 1015	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6		simpl1 1000	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
8		simpl2 1001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 8931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10		1cnd 7972	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
11		2z 9279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
13		zmulcl 9304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
15	14	zcnd 9374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
16	9, 10, 15	subadd2d 8285	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝑁 − 1) = (2 · 𝑛) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
17	7, 16	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) = (2 · 𝑛))
18		nnm1nn0 9215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
19	8, 18	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
20	17, 19	eqeltrrd 2255	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
21	6, 20	expcld 10650	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
22	21, 6	mulneg2d 8367	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴))
23		sqneg 10576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
24	6, 23	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
25	24	oveq1d 5889	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑2)↑𝑛) = ((𝐴↑2)↑𝑛))
26	6	negcld 8253	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
27		2re 8987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
29	12	zred 9373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ)
30		2pos 9008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 < 2)
32	20	nn0ge0d 9230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
33		prodge0 8809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝑛)
34	28, 29, 31, 32, 33	syl22anc 1239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 ≤ 𝑛)
35		elnn0z 9264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
36	12, 34, 35	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
37		2nn0 9191	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38	37	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 2 ∈ ℕ0)
39	26, 36, 38	expmuld 10653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑(2 · 𝑛)) = ((-𝐴↑2)↑𝑛))
40	6, 36, 38	expmuld 10653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑(2 · 𝑛)) = ((𝐴↑2)↑𝑛))
41	25, 39, 40	3eqtr4d 2220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑(2 · 𝑛)) = (𝐴↑(2 · 𝑛)))
42	41	oveq1d 5889	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴))
43	26, 20	expp1d 10651	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴))
44	7	oveq2d 5890	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = (-𝐴↑𝑁))
45	43, 44	eqtr3d 2212	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = (-𝐴↑𝑁))
46	42, 45	eqtr3d 2212	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = (-𝐴↑𝑁))
47	22, 46	eqtr3d 2212	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = (-𝐴↑𝑁))
48	6, 20	expp1d 10651	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴))
49	7	oveq2d 5890	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐴↑𝑁))
50	48, 49	eqtr3d 2212	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = (𝐴↑𝑁))
51	50	negeqd 8150	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = -(𝐴↑𝑁))
52	47, 51	eqtr3d 2212	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
53	5, 52	rexlimddv 2599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  ℝcr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7990   ≤ cle 7991   − cmin 8126  -cneg 8127  ℕcn 8917  2c2 8968  ℕ₀cn0 9174  ℤcz 9251  ↑cexp 10516   ∥ cdvds 11789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-dvds 11790

This theorem is referenced by: (None)