Theorem oexpneg 12021

Description: The exponential of the negative of a number, when the exponent is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oexpneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem oexpneg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9339	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		odd2np1 12017	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
4	3	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
5	4	3adant1 1017	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6		simpl1 1002	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
8		simpl2 1003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 8998	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10		1cnd 8037	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
11		2z 9348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
13		zmulcl 9373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
15	14	zcnd 9443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
16	9, 10, 15	subadd2d 8351	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝑁 − 1) = (2 · 𝑛) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
17	7, 16	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) = (2 · 𝑛))
18		nnm1nn0 9284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
19	8, 18	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
20	17, 19	eqeltrrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
21	6, 20	expcld 10747	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
22	21, 6	mulneg2d 8433	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴))
23		sqneg 10672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
24	6, 23	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
25	24	oveq1d 5934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑2)↑𝑛) = ((𝐴↑2)↑𝑛))
26	6	negcld 8319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
27		2re 9054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
29	12	zred 9442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ)
30		2pos 9075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 < 2)
32	20	nn0ge0d 9299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
33		prodge0 8875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝑛)
34	28, 29, 31, 32, 33	syl22anc 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 ≤ 𝑛)
35		elnn0z 9333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
36	12, 34, 35	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
37		2nn0 9260	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38	37	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 2 ∈ ℕ0)
39	26, 36, 38	expmuld 10750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑(2 · 𝑛)) = ((-𝐴↑2)↑𝑛))
40	6, 36, 38	expmuld 10750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑(2 · 𝑛)) = ((𝐴↑2)↑𝑛))
41	25, 39, 40	3eqtr4d 2236	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑(2 · 𝑛)) = (𝐴↑(2 · 𝑛)))
42	41	oveq1d 5934	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴))
43	26, 20	expp1d 10748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴))
44	7	oveq2d 5935	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = (-𝐴↑𝑁))
45	43, 44	eqtr3d 2228	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = (-𝐴↑𝑁))
46	42, 45	eqtr3d 2228	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = (-𝐴↑𝑁))
47	22, 46	eqtr3d 2228	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = (-𝐴↑𝑁))
48	6, 20	expp1d 10748	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴))
49	7	oveq2d 5935	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐴↑𝑁))
50	48, 49	eqtr3d 2228	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = (𝐴↑𝑁))
51	50	negeqd 8216	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = -(𝐴↑𝑁))
52	47, 51	eqtr3d 2228	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
53	5, 52	rexlimddv 2616	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879   < clt 8056   ≤ cle 8057   − cmin 8192  -cneg 8193  ℕcn 8984  2c2 9035  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320  ↑cexp 10612   ∥ cdvds 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-dvds 11934

This theorem is referenced by:  lgseisenlem1  15227  lgseisenlem4  15230  m1lgs  15242