Theorem xltadd2 10210

Description: Extended real version of ltadd2 8693. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltadd2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xltadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltadd1 10209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶)))
2		rexr 8319	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
3		xaddcom 10194	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐶 +𝑒 𝐴))
4	3	3adant2 1043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐶 +𝑒 𝐴))
5		xaddcom 10194	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐶 +𝑒 𝐵))
6	5	3adant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐶 +𝑒 𝐵))
7	4, 6	breq12d 4122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐵)))
8	2, 7	syl3an3 1309	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) < (𝐵 +𝑒 𝐶) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐵)))
9	1, 8	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℝcr 8126  ℝ^*cxr 8307   < clt 8308   +_𝑒 cxad 10103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-xadd 10106

This theorem is referenced by:  xlt2add  10213  xblss2ps  15269  xblss2  15270