ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infssuzcldc GIF version

Theorem infssuzcldc 11571
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infssuzledc.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a (𝜑𝐴𝑆)
infssuzledc.dc ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
Assertion
Ref Expression
infssuzcldc (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem infssuzcldc
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑥 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infssuzledc.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 infssuzledc.s . . . 4 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓}
3 infssuzledc.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 infssuzledc.dc . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
51, 2, 3, 4infssuzex 11569 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑤𝑆 𝑤 < 𝑦)))
6 ssrab2 3152 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ𝑀)
72, 6eqsstri 3099 . . . . . 6 𝑆 ⊆ (ℤ𝑀)
8 uzssz 9313 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
97, 8sstri 3076 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℤ
10 zssre 9029 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
119, 10sstri 3076 . . . 4 𝑆 ⊆ ℝ
1211a1i 9 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
135, 12infrenegsupex 9357 . 2 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ))
141, 2, 3, 4infssuzex 11569 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
1514, 12infsupneg 9359 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}𝑦 < 𝑧)))
16 negeq 7923 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → -𝑤 = -𝑢)
1716eleq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑢 → (-𝑤𝑆 ↔ -𝑢𝑆))
1817elrab 2813 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆))
199sseli 3063 . . . . . . . . . 10 (-𝑢𝑆 → -𝑢 ∈ ℤ)
2019adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆) → -𝑢 ∈ ℤ)
21 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆) → 𝑢 ∈ ℝ)
2221recnd 7762 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
23 znegclb 9055 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
2422, 23syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆) → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
2520, 24mpbird 166 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆) → 𝑢 ∈ ℤ)
2618, 25sylbi 120 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} → 𝑢 ∈ ℤ)
2726ssriv 3071 . . . . . 6 {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} ⊆ ℤ
2827a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} ⊆ ℤ)
2915, 28suprzclex 9117 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆})
30 nfrab1 2587 . . . . . 6 𝑤{𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}
31 nfcv 2258 . . . . . 6 𝑤
32 nfcv 2258 . . . . . 6 𝑤 <
3330, 31, 32nfsup 6847 . . . . 5 𝑤sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < )
3433nfneg 7927 . . . . . 6 𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < )
3534nfel1 2269 . . . . 5 𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆
36 negeq 7923 . . . . . 6 (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) → -𝑤 = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ))
3736eleq1d 2186 . . . . 5 (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) → (-𝑤𝑆 ↔ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
3833, 31, 35, 37elrabf 2811 . . . 4 (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} ↔ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
3929, 38sylib 121 . . 3 (𝜑 → (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
4039simprd 113 . 2 (𝜑 → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
4113, 40eqeltrd 2194 1 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 804   = wceq 1316  wcel 1465  {crab 2397  wss 3041  cfv 5093  (class class class)co 5742  supcsup 6837  infcinf 6838  cc 7586  cr 7587   < clt 7768  -cneg 7902  cz 9022  cuz 9294  ...cfz 9758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-sup 6839  df-inf 6840  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-fzo 9888
This theorem is referenced by:  lcmval  11671  lcmcllem  11675
  Copyright terms: Public domain W3C validator