Theorem infssuzcldc 12088

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
infssuzledc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
infssuzcldc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem infssuzcldc

Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑥 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infssuzledc.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		infssuzledc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
3		infssuzledc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		infssuzledc.dc	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
5	1, 2, 3, 4	infssuzex 12086	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑤 < 𝑦)))
6		ssrab2 3264	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
7	2, 6	eqsstri 3211	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
8		uzssz 9612	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
9	7, 8	sstri 3188	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ ℤ
10		zssre 9324	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11	9, 10	sstri 3188	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
13	5, 12	infrenegsupex 9659	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ))
14	1, 2, 3, 4	infssuzex 12086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
15	14, 12	infsupneg 9661	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
16		negeq 8212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → -𝑤 = -𝑢)
17	16	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (-𝑤 ∈ 𝑆 ↔ -𝑢 ∈ 𝑆))
18	17	elrab 2916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆))
19	9	sseli 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑢 ∈ 𝑆 → -𝑢 ∈ ℤ)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → -𝑢 ∈ ℤ)
21		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℝ)
22	21	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
23		znegclb 9350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
25	20, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℤ)
26	18, 25	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} → 𝑢 ∈ ℤ)
27	26	ssriv 3183	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ⊆ ℤ
28	27	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ⊆ ℤ)
29	15, 28	suprzclex 9415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆})
30		nfrab1 2674	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}
31		nfcv 2336	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤ℝ
32		nfcv 2336	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 <
33	30, 31, 32	nfsup 7051	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < )
34	33	nfneg 8216	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < )
35	34	nfel1 2347	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆
36		negeq 8212	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) → -𝑤 = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ))
37	36	eleq1d 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) → (-𝑤 ∈ 𝑆 ↔ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
38	33, 31, 35, 37	elrabf 2914	. . . 4 ⊢ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ↔ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
39	29, 38	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
40	39	simprd 114	. 2 ⊢ (𝜑 → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
41	13, 40	eqeltrd 2270	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476   ⊆ wss 3153  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  supcsup 7041  infcinf 7042  ℂcc 7870  ℝcr 7871   < clt 8054  -cneg 8191  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209

This theorem is referenced by:  zsupssdc  12091  nnmindc  12171  nninfctlemfo  12177  lcmval  12201  lcmcllem  12205  odzcllem  12380  4sqlem13m  12541  4sqlem14  12542  4sqlem17  12545  4sqlem18  12546