ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infssuzcldc GIF version

Theorem infssuzcldc 11655
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infssuzledc.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a (𝜑𝐴𝑆)
infssuzledc.dc ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
Assertion
Ref Expression
infssuzcldc (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem infssuzcldc
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑥 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infssuzledc.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 infssuzledc.s . . . 4 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓}
3 infssuzledc.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 infssuzledc.dc . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
51, 2, 3, 4infssuzex 11653 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑤𝑆 𝑤 < 𝑦)))
6 ssrab2 3182 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ𝑀)
72, 6eqsstri 3129 . . . . . 6 𝑆 ⊆ (ℤ𝑀)
8 uzssz 9357 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
97, 8sstri 3106 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℤ
10 zssre 9073 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
119, 10sstri 3106 . . . 4 𝑆 ⊆ ℝ
1211a1i 9 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
135, 12infrenegsupex 9401 . 2 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ))
141, 2, 3, 4infssuzex 11653 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
1514, 12infsupneg 9403 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}𝑦 < 𝑧)))
16 negeq 7967 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → -𝑤 = -𝑢)
1716eleq1d 2208 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑢 → (-𝑤𝑆 ↔ -𝑢𝑆))
1817elrab 2840 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆))
199sseli 3093 . . . . . . . . . 10 (-𝑢𝑆 → -𝑢 ∈ ℤ)
2019adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆) → -𝑢 ∈ ℤ)
21 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆) → 𝑢 ∈ ℝ)
2221recnd 7806 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
23 znegclb 9099 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
2422, 23syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆) → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
2520, 24mpbird 166 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢𝑆) → 𝑢 ∈ ℤ)
2618, 25sylbi 120 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} → 𝑢 ∈ ℤ)
2726ssriv 3101 . . . . . 6 {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} ⊆ ℤ
2827a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} ⊆ ℤ)
2915, 28suprzclex 9161 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆})
30 nfrab1 2610 . . . . . 6 𝑤{𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}
31 nfcv 2281 . . . . . 6 𝑤
32 nfcv 2281 . . . . . 6 𝑤 <
3330, 31, 32nfsup 6879 . . . . 5 𝑤sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < )
3433nfneg 7971 . . . . . 6 𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < )
3534nfel1 2292 . . . . 5 𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆
36 negeq 7967 . . . . . 6 (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) → -𝑤 = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ))
3736eleq1d 2208 . . . . 5 (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) → (-𝑤𝑆 ↔ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
3833, 31, 35, 37elrabf 2838 . . . 4 (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆} ↔ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
3929, 38sylib 121 . . 3 (𝜑 → (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
4039simprd 113 . 2 (𝜑 → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
4113, 40eqeltrd 2216 1 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331  wcel 1480  {crab 2420  wss 3071  cfv 5123  (class class class)co 5774  supcsup 6869  infcinf 6870  cc 7630  cr 7631   < clt 7812  -cneg 7946  cz 9066  cuz 9338  ...cfz 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-fzo 9932
This theorem is referenced by:  lcmval  11755  lcmcllem  11759
  Copyright terms: Public domain W3C validator