Theorem infssuzcldc 11880

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
infssuzledc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
infssuzcldc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem infssuzcldc

Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑥 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infssuzledc.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		infssuzledc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
3		infssuzledc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		infssuzledc.dc	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
5	1, 2, 3, 4	infssuzex 11878	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑤 < 𝑦)))
6		ssrab2 3226	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
7	2, 6	eqsstri 3173	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
8		uzssz 9481	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
9	7, 8	sstri 3150	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ ℤ
10		zssre 9194	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11	9, 10	sstri 3150	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
13	5, 12	infrenegsupex 9528	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ))
14	1, 2, 3, 4	infssuzex 11878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
15	14, 12	infsupneg 9530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
16		negeq 8087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → -𝑤 = -𝑢)
17	16	eleq1d 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (-𝑤 ∈ 𝑆 ↔ -𝑢 ∈ 𝑆))
18	17	elrab 2881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆))
19	9	sseli 3137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑢 ∈ 𝑆 → -𝑢 ∈ ℤ)
20	19	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → -𝑢 ∈ ℤ)
21		simpl 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℝ)
22	21	recnd 7923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
23		znegclb 9220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
25	20, 24	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℤ)
26	18, 25	sylbi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} → 𝑢 ∈ ℤ)
27	26	ssriv 3145	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ⊆ ℤ
28	27	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ⊆ ℤ)
29	15, 28	suprzclex 9285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆})
30		nfrab1 2644	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}
31		nfcv 2307	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤ℝ
32		nfcv 2307	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 <
33	30, 31, 32	nfsup 6953	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < )
34	33	nfneg 8091	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < )
35	34	nfel1 2318	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆
36		negeq 8087	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) → -𝑤 = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ))
37	36	eleq1d 2234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) → (-𝑤 ∈ 𝑆 ↔ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
38	33, 31, 35, 37	elrabf 2879	. . . 4 ⊢ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ↔ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
39	29, 38	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
40	39	simprd 113	. 2 ⊢ (𝜑 → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
41	13, 40	eqeltrd 2242	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {crab 2447   ⊆ wss 3115  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841  supcsup 6943  infcinf 6944  ℂcc 7747  ℝcr 7748   < clt 7929  -cneg 8066  ℤcz 9187  ℤ_≥cuz 9462  ...cfz 9940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074

This theorem is referenced by:  zsupssdc  11883  nnmindc  11963  lcmval  11991  lcmcllem  11995  odzcllem  12170