Theorem infssuzcldc 11680

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
infssuzledc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
infssuzcldc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem infssuzcldc

Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑥 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infssuzledc.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		infssuzledc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
3		infssuzledc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		infssuzledc.dc	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
5	1, 2, 3, 4	infssuzex 11678	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑤 < 𝑦)))
6		ssrab2 3187	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
7	2, 6	eqsstri 3134	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
8		uzssz 9369	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
9	7, 8	sstri 3111	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ ℤ
10		zssre 9085	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11	9, 10	sstri 3111	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
13	5, 12	infrenegsupex 9416	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ))
14	1, 2, 3, 4	infssuzex 11678	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
15	14, 12	infsupneg 9418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
16		negeq 7979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → -𝑤 = -𝑢)
17	16	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (-𝑤 ∈ 𝑆 ↔ -𝑢 ∈ 𝑆))
18	17	elrab 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆))
19	9	sseli 3098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑢 ∈ 𝑆 → -𝑢 ∈ ℤ)
20	19	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → -𝑢 ∈ ℤ)
21		simpl 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℝ)
22	21	recnd 7818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
23		znegclb 9111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
25	20, 24	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℤ)
26	18, 25	sylbi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} → 𝑢 ∈ ℤ)
27	26	ssriv 3106	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ⊆ ℤ
28	27	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ⊆ ℤ)
29	15, 28	suprzclex 9173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆})
30		nfrab1 2613	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}
31		nfcv 2282	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤ℝ
32		nfcv 2282	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 <
33	30, 31, 32	nfsup 6887	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < )
34	33	nfneg 7983	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < )
35	34	nfel1 2293	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆
36		negeq 7979	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) → -𝑤 = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ))
37	36	eleq1d 2209	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) → (-𝑤 ∈ 𝑆 ↔ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
38	33, 31, 35, 37	elrabf 2842	. . . 4 ⊢ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ↔ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
39	29, 38	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
40	39	simprd 113	. 2 ⊢ (𝜑 → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
41	13, 40	eqeltrd 2217	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  {crab 2421   ⊆ wss 3076  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  supcsup 6877  infcinf 6878  ℂcc 7642  ℝcr 7643   < clt 7824  -cneg 7958  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-fzo 9951

This theorem is referenced by:  lcmval  11780  lcmcllem  11784