Theorem infssuzcldc 10668

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
infssuzledc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
infssuzcldc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem infssuzcldc

Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑥 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infssuzledc.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		infssuzledc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
3		infssuzledc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		infssuzledc.dc	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
5	1, 2, 3, 4	infssuzex 10666	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑤 < 𝑦)))
6		ssrab2 3333	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
7	2, 6	eqsstri 3280	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
8		uzssz 9942	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
9	7, 8	sstri 3257	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ ℤ
10		zssre 9651	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11	9, 10	sstri 3257	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
13	5, 12	infrenegsupex 9994	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ))
14	1, 2, 3, 4	infssuzex 10666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
15	14, 12	infsupneg 9996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
16		negeq 8519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → -𝑤 = -𝑢)
17	16	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (-𝑤 ∈ 𝑆 ↔ -𝑢 ∈ 𝑆))
18	17	elrab 2982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆))
19	9	sseli 3244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑢 ∈ 𝑆 → -𝑢 ∈ ℤ)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → -𝑢 ∈ ℤ)
21		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℝ)
22	21	recnd 8354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
23		znegclb 9677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
25	20, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℤ)
26	18, 25	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} → 𝑢 ∈ ℤ)
27	26	ssriv 3252	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ⊆ ℤ
28	27	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ⊆ ℤ)
29	15, 28	suprzclex 9744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆})
30		nfrab1 2732	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}
31		nfcv 2392	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤ℝ
32		nfcv 2392	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 <
33	30, 31, 32	nfsup 7332	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < )
34	33	nfneg 8523	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < )
35	34	nfel1 2403	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆
36		negeq 8519	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) → -𝑤 = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ))
37	36	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) → (-𝑤 ∈ 𝑆 ↔ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
38	33, 31, 35, 37	elrabf 2980	. . . 4 ⊢ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ↔ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
39	29, 38	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
40	39	simprd 114	. 2 ⊢ (𝜑 → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
41	13, 40	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  supcsup 7322  infcinf 7323  ℂcc 8177  ℝcr 8178   < clt 8360  -cneg 8498  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550

This theorem is used by:  infssfzcldc  10669  zsupssdc  10673  bitsfzolem  12721  nnmindc  12811  nninfctlemfo  12817  lcmval  12841  lcmcllem  12845  odzcllem  13021  4sqlem13m  13182  4sqlem14  13183  4sqlem17  13186  4sqlem18  13187