Theorem infssuzcldc 10378

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
infssuzledc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
infssuzcldc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem infssuzcldc

Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑥 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infssuzledc.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		infssuzledc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
3		infssuzledc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		infssuzledc.dc	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
5	1, 2, 3, 4	infssuzex 10376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝑆 𝑤 < 𝑦)))
6		ssrab2 3278	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
7	2, 6	eqsstri 3225	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
8		uzssz 9668	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
9	7, 8	sstri 3202	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ ℤ
10		zssre 9379	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11	9, 10	sstri 3202	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
13	5, 12	infrenegsupex 9715	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ))
14	1, 2, 3, 4	infssuzex 10376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
15	14, 12	infsupneg 9717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
16		negeq 8265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → -𝑤 = -𝑢)
17	16	eleq1d 2274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (-𝑤 ∈ 𝑆 ↔ -𝑢 ∈ 𝑆))
18	17	elrab 2929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆))
19	9	sseli 3189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑢 ∈ 𝑆 → -𝑢 ∈ ℤ)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → -𝑢 ∈ ℤ)
21		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℝ)
22	21	recnd 8101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
23		znegclb 9405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ ℤ ↔ -𝑢 ∈ ℤ))
25	20, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℤ)
26	18, 25	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} → 𝑢 ∈ ℤ)
27	26	ssriv 3197	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ⊆ ℤ
28	27	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ⊆ ℤ)
29	15, 28	suprzclex 9471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆})
30		nfrab1 2686	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}
31		nfcv 2348	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤ℝ
32		nfcv 2348	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 <
33	30, 31, 32	nfsup 7094	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < )
34	33	nfneg 8269	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < )
35	34	nfel1 2359	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤-sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆
36		negeq 8265	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) → -𝑤 = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ))
37	36	eleq1d 2274	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) → (-𝑤 ∈ 𝑆 ↔ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
38	33, 31, 35, 37	elrabf 2927	. . . 4 ⊢ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆} ↔ (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
39	29, 38	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
40	39	simprd 114	. 2 ⊢ (𝜑 → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝑆}, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
41	13, 40	eqeltrd 2282	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  {crab 2488   ⊆ wss 3166  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  supcsup 7084  infcinf 7085  ℂcc 7923  ℝcr 7924   < clt 8107  -cneg 8244  ℤcz 9372  ℤ_≥cuz 9648  ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265

This theorem is referenced by:  zsupssdc  10381  bitsfzolem  12265  nnmindc  12355  nninfctlemfo  12361  lcmval  12385  lcmcllem  12389  odzcllem  12565  4sqlem13m  12726  4sqlem14  12727  4sqlem17  12730  4sqlem18  12731