Theorem negqmod0 9887

Description: 𝐴 is divisible by 𝐵 iff its negative is. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
negqmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))

Proof of Theorem negqmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9218	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 967	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		qcn 9218	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant2 968	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		qre 9209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 968	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simp3 948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	6, 7	gt0ap0d 8202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 # 0)
9	2, 4, 8	divclapd 8354	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
10		znegclb 8881	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ -(𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ -(𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
12	2, 4, 8	divnegapd 8367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
13	12	eleq1d 2163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (-(𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
14	11, 13	bitrd 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
15		modq0 9885	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
16		qnegcl 9220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)
17		modq0 9885	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((-𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
18	16, 17	syl3an1 1214	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((-𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
19	14, 15, 18	3bitr4d 219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 927   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  ℝcr 7446  0cc0 7447   < clt 7619  -cneg 7751   / cdiv 8236  ℤcz 8848  ℚcq 9203   mod cmo 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-fl 9826  df-mod 9879

This theorem is referenced by: (None)