Theorem cnegex 11494

Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11308	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		ax-rnegex 11274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0)
3		ax-rnegex 11274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0)
4	2, 3	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0))
5		reeanv 3234	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0))
6	4, 5	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0))
7		ax-icn 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → i ∈ ℂ)
9		simplrr 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑑 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · 𝑑) ∈ ℂ)
12		simplrl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑐 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑐 ∈ ℂ)
14	11, 13	addcld 11331	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((i · 𝑑) + 𝑐) ∈ ℂ)
15		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
17		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
19	8, 18	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	16, 19, 11	addassd 11334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑑))))
21	8, 18, 10	adddid 11336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑑)))
22		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑏 + 𝑑) = 0)
23	22	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = (i · 0))
24		mul01 11492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i ∈ ℂ → (i · 0) = 0)
25	7, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · 0) = 0
26	23, 25	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = 0)
27	21, 26	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((i · 𝑏) + (i · 𝑑)) = 0)
28	27	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑑))) = (𝑎 + 0))
29		addrid 11493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 + 0) = 𝑎)
30	16, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 0) = 𝑎)
31	20, 28, 30	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) = 𝑎)
32	31	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
33	16, 19	addcld 11331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
34	33, 11, 13	addassd 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) + 𝑐) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
35	32, 34	eqtr3d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 𝑐) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
36		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 𝑐) = 0)
37	35, 36	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0)
38		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑑) + 𝑐) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
39	38	eqeq1d 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑑) + 𝑐) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0))
40	39	rspcev 3576	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · 𝑑) + 𝑐) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
41	14, 37, 40	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
42	41	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
43	42	rexlimdvva 3219	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
44	6, 43	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
45		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥))
46	45	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
47	46	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
48	44, 47	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0))
49	48	rexlimivv 3204	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
50	1, 49	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  ici 11205   + caddc 11206   · cmul 11208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351

This theorem is used by:  addlid  11496  addcan2  11498  0cnALT2  11549  negeu  11550