MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnegex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnegex 11396
Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cnegex (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem cnegex
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11212 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))
2 ax-rnegex 11180 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ (๐‘Ž + ๐‘) = 0)
3 ax-rnegex 11180 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ (๐‘ + ๐‘‘) = 0)
42, 3anim12i 612 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ (๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ (๐‘ + ๐‘‘) = 0))
5 reeanv 3220 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ (๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ (๐‘ + ๐‘‘) = 0))
64, 5sylibr 233 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0))
7 ax-icn 11168 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
9 simplrr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
109recnd 11243 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„‚)
118, 10mulcld 11235 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„‚)
12 simplrl 774 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1312recnd 11243 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1411, 13addcld 11234 . . . . . . . 8 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
15 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
1615recnd 11243 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
17 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1817recnd 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
198, 18mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2016, 19, 11addassd 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘))))
218, 18, 10adddid 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท (๐‘ + ๐‘‘)) = ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘)))
22 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘ + ๐‘‘) = 0)
2322oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท (๐‘ + ๐‘‘)) = (i ยท 0))
24 mul01 11394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท 0) = 0)
257, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i ยท 0) = 0
2623, 25eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท (๐‘ + ๐‘‘)) = 0)
2721, 26eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘)) = 0)
2827oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘))) = (๐‘Ž + 0))
29 addrid 11395 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘Ž + 0) = ๐‘Ž)
3016, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + 0) = ๐‘Ž)
3120, 28, 303eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) = ๐‘Ž)
3231oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) + ๐‘) = (๐‘Ž + ๐‘))
3316, 19addcld 11234 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
3433, 11, 13addassd 11237 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) + ๐‘) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)))
3532, 34eqtr3d 2768 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)))
36 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) = 0)
3735, 36eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)) = 0)
38 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)))
3938eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)) = 0))
4039rspcev 3606 . . . . . . . 8 ((((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0)
4114, 37, 40syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0)
4241ex 412 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
4342rexlimdvva 3205 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
446, 43mpd 15 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0)
45 oveq1 7411 . . . . . 6 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ))
4645eqeq1d 2728 . . . . 5 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
4746rexbidv 3172 . . . 4 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0 โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
4844, 47syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0))
4948rexlimivv 3193 . 2 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
501, 49syl 17 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254
This theorem is referenced by:  addlid  11398  addcan2  11400  0cnALT2  11450  negeu  11451
  Copyright terms: Public domain W3C validator