Theorem cnegex 11419

Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		ax-rnegex 11199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0)
3		ax-rnegex 11199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0)
4	2, 3	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0))
5		reeanv 3236	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0))
6	4, 5	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0))
7		ax-icn 11187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → i ∈ ℂ)
9		simplrr 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑑 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · 𝑑) ∈ ℂ)
12		simplrl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑐 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑐 ∈ ℂ)
14	11, 13	addcld 11256	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((i · 𝑑) + 𝑐) ∈ ℂ)
15		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
17		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
19	8, 18	mulcld 11257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	16, 19, 11	addassd 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑑))))
21	8, 18, 10	adddid 11261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑑)))
22		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑏 + 𝑑) = 0)
23	22	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = (i · 0))
24		mul01 11417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i ∈ ℂ → (i · 0) = 0)
25	7, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · 0) = 0
26	23, 25	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = 0)
27	21, 26	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((i · 𝑏) + (i · 𝑑)) = 0)
28	27	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑑))) = (𝑎 + 0))
29		addrid 11418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 + 0) = 𝑎)
30	16, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 0) = 𝑎)
31	20, 28, 30	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) = 𝑎)
32	31	oveq1d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
33	16, 19	addcld 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
34	33, 11, 13	addassd 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) + 𝑐) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
35	32, 34	eqtr3d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 𝑐) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
36		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 𝑐) = 0)
37	35, 36	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0)
38		oveq2 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑑) + 𝑐) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
39	38	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑑) + 𝑐) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0))
40	39	rspcev 3579	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · 𝑑) + 𝑐) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
41	14, 37, 40	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
42	41	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
43	42	rexlimdvva 3221	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
44	6, 43	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
45		oveq1 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥))
46	45	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
47	46	rexbidv 3188	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
48	44, 47	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0))
49	48	rexlimivv 3206	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
50	1, 49	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  ici 11130   + caddc 11131   · cmul 11133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276

This theorem is used by:  addlid  11421  addcan2  11423  0cnALT2  11474  negeu  11475