Theorem cnegex 11226

Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11042	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		ax-rnegex 11012	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0)
3		ax-rnegex 11012	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0)
4	2, 3	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0))
5		reeanv 3214	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0))
6	4, 5	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0))
7		ax-icn 11000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → i ∈ ℂ)
9		simplrr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑑 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · 𝑑) ∈ ℂ)
12		simplrl 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑐 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑐 ∈ ℂ)
14	11, 13	addcld 11064	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((i · 𝑑) + 𝑐) ∈ ℂ)
15		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
17		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
19	8, 18	mulcld 11065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	16, 19, 11	addassd 11067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑑))))
21	8, 18, 10	adddid 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑑)))
22		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑏 + 𝑑) = 0)
23	22	oveq2d 7329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = (i · 0))
24		mul01 11224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i ∈ ℂ → (i · 0) = 0)
25	7, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · 0) = 0
26	23, 25	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = 0)
27	21, 26	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((i · 𝑏) + (i · 𝑑)) = 0)
28	27	oveq2d 7329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑑))) = (𝑎 + 0))
29		addid1 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 + 0) = 𝑎)
30	16, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 0) = 𝑎)
31	20, 28, 30	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) = 𝑎)
32	31	oveq1d 7328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
33	16, 19	addcld 11064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
34	33, 11, 13	addassd 11067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) + 𝑐) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
35	32, 34	eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 𝑐) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
36		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 𝑐) = 0)
37	35, 36	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0)
38		oveq2 7321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑑) + 𝑐) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
39	38	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑑) + 𝑐) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0))
40	39	rspcev 3570	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · 𝑑) + 𝑐) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
41	14, 37, 40	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
42	41	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
43	42	rexlimdvva 3202	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
44	6, 43	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
45		oveq1 7320	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥))
46	45	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
47	46	rexbidv 3172	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
48	44, 47	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0))
49	48	rexlimivv 3193	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
50	1, 49	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3071  (class class class)co 7313  ℂcc 10939  ℝcr 10940  0cc0 10941  ici 10943   + caddc 10944   · cmul 10946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-id 5505  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-ov 7316  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-ltxr 11084

This theorem is referenced by:  addid2  11228  addcan2  11230  0cnALT2  11280  negeu  11281