MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnegex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnegex 11426
Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cnegex (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem cnegex
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11242 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))
2 ax-rnegex 11210 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ (๐‘Ž + ๐‘) = 0)
3 ax-rnegex 11210 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ (๐‘ + ๐‘‘) = 0)
42, 3anim12i 612 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ (๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ (๐‘ + ๐‘‘) = 0))
5 reeanv 3223 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ (๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ (๐‘ + ๐‘‘) = 0))
64, 5sylibr 233 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0))
7 ax-icn 11198 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
9 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
109recnd 11273 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„‚)
118, 10mulcld 11265 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„‚)
12 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1312recnd 11273 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1411, 13addcld 11264 . . . . . . . 8 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
15 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
1615recnd 11273 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
17 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1817recnd 11273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
198, 18mulcld 11265 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2016, 19, 11addassd 11267 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘))))
218, 18, 10adddid 11269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท (๐‘ + ๐‘‘)) = ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘)))
22 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘ + ๐‘‘) = 0)
2322oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท (๐‘ + ๐‘‘)) = (i ยท 0))
24 mul01 11424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท 0) = 0)
257, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i ยท 0) = 0
2623, 25eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท (๐‘ + ๐‘‘)) = 0)
2721, 26eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘)) = 0)
2827oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘))) = (๐‘Ž + 0))
29 addrid 11425 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘Ž + 0) = ๐‘Ž)
3016, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + 0) = ๐‘Ž)
3120, 28, 303eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) = ๐‘Ž)
3231oveq1d 7435 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) + ๐‘) = (๐‘Ž + ๐‘))
3316, 19addcld 11264 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
3433, 11, 13addassd 11267 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) + ๐‘) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)))
3532, 34eqtr3d 2770 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)))
36 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) = 0)
3735, 36eqtr3d 2770 . . . . . . . 8 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)) = 0)
38 oveq2 7428 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)))
3938eqeq1d 2730 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)) = 0))
4039rspcev 3609 . . . . . . . 8 ((((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0)
4114, 37, 40syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0)
4241ex 412 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
4342rexlimdvva 3208 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
446, 43mpd 15 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0)
45 oveq1 7427 . . . . . 6 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ))
4645eqeq1d 2730 . . . . 5 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
4746rexbidv 3175 . . . 4 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0 โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
4844, 47syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0))
4948rexlimivv 3196 . 2 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
501, 49syl 17 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3067  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  ici 11141   + caddc 11142   ยท cmul 11144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284
This theorem is referenced by:  addlid  11428  addcan2  11430  0cnALT2  11480  negeu  11481
  Copyright terms: Public domain W3C validator