Theorem cnegex 11471

Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		ax-rnegex 11255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0)
3		ax-rnegex 11255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0)
4	2, 3	anim12i 612	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0))
5		reeanv 3235	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0))
6	4, 5	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0))
7		ax-icn 11243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → i ∈ ℂ)
9		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑑 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · 𝑑) ∈ ℂ)
12		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑐 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑐 ∈ ℂ)
14	11, 13	addcld 11309	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((i · 𝑑) + 𝑐) ∈ ℂ)
15		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
17		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
19	8, 18	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	16, 19, 11	addassd 11312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑑))))
21	8, 18, 10	adddid 11314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑑)))
22		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑏 + 𝑑) = 0)
23	22	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = (i · 0))
24		mul01 11469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i ∈ ℂ → (i · 0) = 0)
25	7, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · 0) = 0
26	23, 25	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = 0)
27	21, 26	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((i · 𝑏) + (i · 𝑑)) = 0)
28	27	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑑))) = (𝑎 + 0))
29		addrid 11470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 + 0) = 𝑎)
30	16, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 0) = 𝑎)
31	20, 28, 30	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) = 𝑎)
32	31	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
33	16, 19	addcld 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
34	33, 11, 13	addassd 11312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) + 𝑐) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
35	32, 34	eqtr3d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 𝑐) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
36		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 𝑐) = 0)
37	35, 36	eqtr3d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0)
38		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑑) + 𝑐) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
39	38	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑑) + 𝑐) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0))
40	39	rspcev 3635	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · 𝑑) + 𝑐) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
41	14, 37, 40	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
42	41	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
43	42	rexlimdvva 3219	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
44	6, 43	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
45		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥))
46	45	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
47	46	rexbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
48	44, 47	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0))
49	48	rexlimivv 3207	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
50	1, 49	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  addlid  11473  addcan2  11475  0cnALT2  11525  negeu  11526