MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnegex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnegex 11343
Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cnegex (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem cnegex
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11159 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))
2 ax-rnegex 11129 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ (๐‘Ž + ๐‘) = 0)
3 ax-rnegex 11129 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ (๐‘ + ๐‘‘) = 0)
42, 3anim12i 614 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ (๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ (๐‘ + ๐‘‘) = 0))
5 reeanv 3220 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ (๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ (๐‘ + ๐‘‘) = 0))
64, 5sylibr 233 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0))
7 ax-icn 11117 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
9 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
109recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„‚)
118, 10mulcld 11182 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„‚)
12 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1312recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1411, 13addcld 11181 . . . . . . . 8 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
15 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
1615recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
17 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1817recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
198, 18mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2016, 19, 11addassd 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘))))
218, 18, 10adddid 11186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท (๐‘ + ๐‘‘)) = ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘)))
22 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘ + ๐‘‘) = 0)
2322oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท (๐‘ + ๐‘‘)) = (i ยท 0))
24 mul01 11341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท 0) = 0)
257, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i ยท 0) = 0
2623, 25eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (i ยท (๐‘ + ๐‘‘)) = 0)
2721, 26eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘)) = 0)
2827oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + ((i ยท ๐‘) + (i ยท ๐‘‘))) = (๐‘Ž + 0))
29 addid1 11342 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘Ž + 0) = ๐‘Ž)
3016, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + 0) = ๐‘Ž)
3120, 28, 303eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) = ๐‘Ž)
3231oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) + ๐‘) = (๐‘Ž + ๐‘))
3316, 19addcld 11181 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
3433, 11, 13addassd 11184 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + (i ยท ๐‘‘)) + ๐‘) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)))
3532, 34eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)))
36 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) = 0)
3735, 36eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)) = 0)
38 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)))
3938eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)) = 0))
4039rspcev 3584 . . . . . . . 8 ((((i ยท ๐‘‘) + ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ((i ยท ๐‘‘) + ๐‘)) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0)
4114, 37, 40syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0)
4241ex 414 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
4342rexlimdvva 3206 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž + ๐‘) = 0 โˆง (๐‘ + ๐‘‘) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
446, 43mpd 15 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0)
45 oveq1 7369 . . . . . 6 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ))
4645eqeq1d 2739 . . . . 5 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) = 0 โ†” ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
4746rexbidv 3176 . . . 4 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0 โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) + ๐‘ฅ) = 0))
4844, 47syl5ibrcom 247 . . 3 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0))
4948rexlimivv 3197 . 2 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
501, 49syl 17 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  addid2  11345  addcan2  11347  0cnALT2  11397  negeu  11398
  Copyright terms: Public domain W3C validator