MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negeu 11391
Description: Existential uniqueness of negatives. Theorem I.2 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 22-Nov-1994.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negeu ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem negeu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnegex 11336 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑦 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑦) = 0)
21adantr 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑦) = 0)
3 simpl 483 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
4 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 addcl 11133 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐵) ∈ ℂ)
63, 4, 5syl2anr 597 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) → (𝑦 + 𝐵) ∈ ℂ)
7 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑦) = 0)
87oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑦) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
9 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simplrl 775 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
11 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
129, 10, 11addassd 11177 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑦) + 𝐵) = (𝐴 + (𝑦 + 𝐵)))
1311addid2d 11356 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
148, 12, 133eqtr3rd 2785 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 = (𝐴 + (𝑦 + 𝐵)))
1514eqeq2d 2747 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + (𝑦 + 𝐵))))
16 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
1710, 11addcld 11174 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐵) ∈ ℂ)
189, 16, 17addcand 11358 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + (𝑦 + 𝐵)) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝐵)))
1915, 18bitrd 278 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) = 𝐵𝑥 = (𝑦 + 𝐵)))
2019ralrimiva 3143 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) → ∀𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) = 𝐵𝑥 = (𝑦 + 𝐵)))
21 reu6i 3686 . . 3 (((𝑦 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) = 𝐵𝑥 = (𝑦 + 𝐵))) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
226, 20, 21syl2anc 584 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝑦) = 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
232, 22rexlimddv 3158 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  ∃!wreu 3351  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051   + caddc 11054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194
This theorem is referenced by:  subcl  11400  subadd  11404  addsqn2reu  26789
  Copyright terms: Public domain W3C validator