Theorem prmrec 16985

Description: The sum of the reciprocals of the primes diverges. Theorem 1.13 in [ApostolNT] p. 18. This is the "second" proof at http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_harmonic_series, attributed to Paul Erdős. This is Metamath 100 proof #81. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmrec.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
prmrec	⊢ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝

Distinct variable group:   𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem prmrec

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 4198	. . . . . . . 8 ⊢ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛)
2		elinel2 4163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
3		elfznn 13584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		nnrecre 12281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
7	6	rgen 3088	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ
8	1, 7	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ ((ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ)
9		fzfi 14011	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑛) ∈ Fin
10	9	olci 879	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
11		sumss2 15780	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0))
12	8, 10, 11	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0)
13		elin 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)))
14	13	rbaib 547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
15	14	ifbid 4516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
16	15	sumeq2i 15752	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)
17	12, 16	eqtri 2793	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)
18	3	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
19		prmnn 16735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℕ)
20	19, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
21	20	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
22		0cnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℂ)
23	21, 22	ifclda 4528	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
24	23	mptru 1575	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ
25		eleq1w 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
26		oveq2 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑘))
27	25, 26	ifbieq1d 4517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
28	27	cbvmptv 5220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
29	28	fvmpt2 7005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
30	18, 24, 29	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
31		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
32		nnuz 12904	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
33	31, 32	eleqtrdi 2880	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
34	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
35	30, 33, 34	fsumser 15784	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
36	17, 35	eqtrid 2817	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
37	36	mpteq2ia 5211	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
38		prmrec.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘))
39		1z 12627	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
40		seqfn 14052	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1)
42	32	fneq2i 6637	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1))
43	41, 42	mpbir 234	. . . 4 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ
44		dffn5 6943	. . . 4 ⊢ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛)))
45	43, 44	mpbi 233	. . 3 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
46	37, 38, 45	3eqtr4i 2803	. 2 ⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))
47	28	prmreclem6 16984	. 2 ⊢ ¬ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) ∈ dom ⇝
48	46, 47	eqneltri 2889	1 ⊢ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1568  ⊤wtru 1569   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ifcif 4492   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5665   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Fincfn 8946  ℂcc 11101  0cc0 11103  1c1 11104   + caddc 11106   / cdiv 11874  ℕcn 12236  ℤcz 12594  ℤ_≥cuz 12865  ...cfz 13538  seqcseq 14040   ⇝ cli 15538  Σcsu 15740  ℙcprime 16732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9890  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14041  df-exp 14101  df-hash 14370  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-clim 15542  df-rlim 15543  df-sum 15741  df-dvds 16314  df-gcd 16556  df-prm 16733  df-pc 16900

This theorem is referenced by: (None)