Theorem prmrec 16829

Description: The sum of the reciprocals of the primes diverges. Theorem 1.13 in [ApostolNT] p. 18. This is the "second" proof at http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_harmonic_series, attributed to Paul Erdős. This is Metamath 100 proof #81. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmrec.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
prmrec	⊢ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝

Distinct variable group:   𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem prmrec

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 4183	. . . . . . . 8 ⊢ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛)
2		elinel2 4147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
3		elfznn 13448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		nnrecre 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
7	6	rgen 3049	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ
8	1, 7	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ)
9		fzfi 13874	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑛) ∈ Fin
10	9	olci 866	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
11		sumss2 15628	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0))
12	8, 10, 11	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0)
13		elin 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)))
14	13	rbaib 538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
15	14	ifbid 4494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
16	15	sumeq2i 15600	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)
17	12, 16	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)
18	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
19		prmnn 16580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℕ)
20	19, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
22		0cnd 11100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℂ)
23	21, 22	ifclda 4506	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
24	23	mptru 1548	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ
25		eleq1w 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
26		oveq2 7349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑘))
27	25, 26	ifbieq1d 4495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
28	27	cbvmptv 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
29	28	fvmpt2 6935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
30	18, 24, 29	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
32		nnuz 12770	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
33	31, 32	eleqtrdi 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
34	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
35	30, 33, 34	fsumser 15632	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
36	17, 35	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
37	36	mpteq2ia 5181	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
38		prmrec.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘))
39		1z 12497	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
40		seqfn 13915	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1)
42	32	fneq2i 6574	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1))
43	41, 42	mpbir 231	. . . 4 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ
44		dffn5 6875	. . . 4 ⊢ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛)))
45	43, 44	mpbi 230	. . 3 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
46	37, 38, 45	3eqtr4i 2764	. 2 ⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))
47	28	prmreclem6 16828	. 2 ⊢ ¬ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) ∈ dom ⇝
48	46, 47	eqneltri 2850	1 ⊢ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ifcif 4470   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5611   Fn wfn 6471  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   / cdiv 11769  ℕcn 12120  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727  ...cfz 13402  seqcseq 13903   ⇝ cli 15386  Σcsu 15588  ℙcprime 16577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-dvds 16159  df-gcd 16401  df-prm 16578  df-pc 16744

This theorem is referenced by: (None)