Theorem prmrec 17106

Description: The sum of the reciprocals of the primes diverges. Theorem 1.13 in [ApostolNT] p. 18. This is the "second" proof at http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_harmonic_series, attributed to Paul Erdős. This is Metamath 100 proof #81. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmrec.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
prmrec	⊢ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝

Distinct variable group:   𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem prmrec

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛)
2		elinel2 4099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
3		elfznn 13691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		nnrecre 12384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
7	6	rgen 3078	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ
8	1, 7	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ ((ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ)
9		fzfi 14119	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑛) ∈ Fin
10	9	olci 880	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
11		sumss2 15898	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0))
12	8, 10, 11	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0)
13		elin 4093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)))
14	13	rbaib 548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
15	14	ifbid 4505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
16	15	sumeq2i 15871	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)
17	12, 16	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)
18	3	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
19		prmnn 16855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℕ)
20	19, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
22		0cnd 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℂ)
23	21, 22	ifclda 4517	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
24	23	mptru 1576	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ
25		eleq1w 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
26		oveq2 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑘))
27	25, 26	ifbieq1d 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
28	27	cbvmptv 5208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
29	28	fvmpt2 7006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
30	18, 24, 29	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
31		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
32		nnuz 13008	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
33	31, 32	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
34	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
35	30, 33, 34	fsumser 15902	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
36	17, 35	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
37	36	mpteq2ia 5199	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
38		prmrec.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘))
39		1z 12730	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
40		seqfn 14160	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1)
42	32	fneq2i 6638	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1))
43	41, 42	mpbir 234	. . . 4 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ
44		dffn5 6944	. . . 4 ⊢ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛)))
45	43, 44	mpbi 233	. . 3 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
46	37, 38, 45	3eqtr4i 2793	. 2 ⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))
47	28	prmreclem6 17105	. 2 ⊢ ¬ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) ∈ dom ⇝
48	46, 47	eqneltri 2879	1 ⊢ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650   Fn wfn 6534  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8977  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   / cdiv 11977  ℕcn 12339  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ...cfz 13643  seqcseq 14148   ⇝ cli 15657  Σcsu 15859  ℙcprime 16852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-prm 16853  df-pc 17021

This theorem is used by: (None)