Theorem prmrec 16248

Description: The sum of the reciprocals of the primes diverges. Theorem 1.13 in [ApostolNT] p. 18. This is the "second" proof at http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_harmonic_series, attributed to Paul Erdős. This is Metamath 100 proof #81. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmrec.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
prmrec	⊢ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝

Distinct variable group:   𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem prmrec

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 4156	. . . . . . . 8 ⊢ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛)
2		elinel2 4123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
3		elfznn 12931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		nnrecre 11667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
5	4	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
7	6	rgen 3116	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ
8	1, 7	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ ((ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ)
9		fzfi 13335	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑛) ∈ Fin
10	9	olci 863	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
11		sumss2 15075	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0))
12	8, 10, 11	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0)
13		elin 3897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)))
14	13	rbaib 542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
15	14	ifbid 4447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
16	15	sumeq2i 15048	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)
17	12, 16	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)
18	3	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
19		prmnn 16008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℕ)
20	19, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
21	20	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
22		0cnd 10623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℂ)
23	21, 22	ifclda 4459	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
24	23	mptru 1545	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ
25		eleq1w 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
26		oveq2 7143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑘))
27	25, 26	ifbieq1d 4448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
28	27	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
29	28	fvmpt2 6756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
30	18, 24, 29	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
32		nnuz 12269	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
33	31, 32	eleqtrdi 2900	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
34	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
35	30, 33, 34	fsumser 15079	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
36	17, 35	syl5eq 2845	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
37	36	mpteq2ia 5121	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
38		prmrec.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘))
39		1z 12000	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
40		seqfn 13376	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1)
42	32	fneq2i 6421	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1))
43	41, 42	mpbir 234	. . . 4 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ
44		dffn5 6699	. . . 4 ⊢ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛)))
45	43, 44	mpbi 233	. . 3 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
46	37, 38, 45	3eqtr4i 2831	. 2 ⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))
47	28	prmreclem6 16247	. 2 ⊢ ¬ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) ∈ dom ⇝
48	46, 47	eqneltri 2883	1 ⊢ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ifcif 4425   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  seqcseq 13364   ⇝ cli 14833  Σcsu 15034  ℙcprime 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-pc 16164

This theorem is referenced by: (None)