MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqff1o 26531
Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number 𝑁 to the powerset of the prime divisors of 𝑁. Among other things, this implies that a number has 2↑𝑘 squarefree divisors where 𝑘 is the number of prime divisors, and a squarefree number has 2↑𝑘 divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to 𝐹 takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqff1o.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁)}
sqff1o.2 𝐹 = (𝑛𝑆 ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
sqff1o.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
sqff1o (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝑆1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑥,𝐺   𝑛,𝑁,𝑝,𝑥   𝑆,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem sqff1o
Dummy variables 𝑘 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqff1o.2 . 2 𝐹 = (𝑛𝑆 ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
2 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑛 → (μ‘𝑥) = (μ‘𝑛))
32neeq1d 3003 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → ((μ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (μ‘𝑛) ≠ 0))
4 breq1 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥𝑁𝑛𝑁))
53, 4anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁) ↔ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
6 sqff1o.1 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁)}
75, 6elrab2 3648 . . . . . . . 8 (𝑛𝑆 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
87simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑛𝑆 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))
98simprd 496 . . . . . 6 (𝑛𝑆𝑛𝑁)
109ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛𝑁)
11 prmz 16551 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1211adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
13 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛𝑆)
1413, 7sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
1514simpld 495 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1615nnzd 12526 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℤ)
17 nnz 12520 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1817ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 dvdstr 16176 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛𝑛𝑁) → 𝑝𝑁))
2012, 16, 18, 19syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑛𝑛𝑁) → 𝑝𝑁))
2110, 20mpan2d 692 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑛𝑝𝑁))
2221ss2rabdv 4033 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
23 prmex 16553 . . . . 5 ℙ ∈ V
2423rabex 5289 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ V
2524elpw 4564 . . 3 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
2622, 25sylibr 233 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
27 cnveq 5829 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → 𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
2827imaeq1d 6012 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → (𝑦 “ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ))
2928eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → ((𝑦 “ ℕ) ∈ Fin ↔ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
30 1nn0 12429 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
31 0nn0 12428 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
3230, 31ifcli 4533 . . . . . . . . 9 if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
3332rgenw 3068 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℙ if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
34 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))
3534fmpt 7058 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℙ if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
3633, 35mpbi 229 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
38 nn0ex 12419 . . . . . . 7 0 ∈ V
3938, 23elmap 8809 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0m ℙ) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
4037, 39sylibr 233 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0m ℙ))
41 fzfi 13877 . . . . . 6 (1...𝑁) ∈ Fin
42 ffn 6668 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) Fn ℙ)
43 elpreima 7008 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) Fn ℙ → (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ)))
4436, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ))
45 elequ1 2113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑧𝑥𝑧))
4645ifbid 4509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘𝑧, 1, 0) = if(𝑥𝑧, 1, 0))
4730, 31ifcli 4533 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
4847elexi 3464 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ V
4946, 34, 48fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑧, 1, 0))
5049eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℙ → (((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ ↔ if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ))
5150biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ) → if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
5244, 51sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) → if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
53 0nnn 12189 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 ∈ ℕ
54 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, 1, 0) = 0)
5554eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑧 → (if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
5653, 55mtbiri 326 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑧 → ¬ if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
5756con4i 114 . . . . . . . . 9 (if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥𝑧)
5852, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) → 𝑥𝑧)
5958ssriv 3948 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ 𝑧
60 elpwi 4567 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
6160adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
62 prmssnn 16552 . . . . . . . . . 10 ℙ ⊆ ℕ
63 rabss2 4035 . . . . . . . . . 10 (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁})
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁}
65 dvdsssfz1 16200 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6665adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6764, 66sstrid 3955 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6861, 67sstrd 3954 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑧 ⊆ (1...𝑁))
6959, 68sstrid 3955 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ (1...𝑁))
70 ssfi 9117 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ (1...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
7141, 69, 70sylancr 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
7229, 40, 71elrabd 3647 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
73 sqff1o.3 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
74 eqid 2736 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
7573, 741arith 16799 . . . . . 6 𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
76 f1ocnv 6796 . . . . . 6 (𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}–1-1-onto→ℕ)
77 f1of 6784 . . . . . 6 (𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}–1-1-onto→ℕ → 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ)
7875, 76, 77mp2b 10 . . . . 5 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ
7978ffvelcdmi 7034 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ)
8072, 79syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ)
81 f1ocnvfv2 7223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
8275, 72, 81sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
83731arithlem1 16795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8480, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8582, 84eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8685fveq1d 6844 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑞) = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞))
87 elequ1 2113 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑞 → (𝑘𝑧𝑞𝑧))
8887ifbid 4509 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑞 → if(𝑘𝑧, 1, 0) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
8930, 31ifcli 4533 . . . . . . . . . . 11 if(𝑞𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
9089elexi 3464 . . . . . . . . . 10 if(𝑞𝑧, 1, 0) ∈ V
9188, 34, 90fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑞) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
9286, 91sylan9req 2797 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
93 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
94 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
95 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ∈ V
9693, 94, 95fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
9796adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
9892, 97eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞𝑧, 1, 0) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
99 breq1 5108 . . . . . . . 8 (1 = if(𝑞𝑧, 1, 0) → (1 ≤ 1 ↔ if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1))
100 breq1 5108 . . . . . . . 8 (0 = if(𝑞𝑧, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1))
101 1le1 11783 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
102 0le1 11678 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
10399, 100, 101, 102keephyp 4557 . . . . . . 7 if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1
10498, 103eqbrtrrdi 5145 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1)
105104ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1)
106 issqf 26485 . . . . . 6 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1))
10780, 106syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1))
108105, 107mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0)
109 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 1)
110109adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 1)
11161sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
112 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑁𝑞𝑁))
113112elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁))
114111, 113sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁))
115114simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞𝑁)
116114simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞 ∈ ℙ)
117 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑁 ∈ ℕ)
118 pcelnn 16742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑞𝑁))
119116, 117, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → ((𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑞𝑁))
120115, 119mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → (𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
121120nnge1d 12201 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 1 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
122110, 121eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
123122ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
124123adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
125 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
12617ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
127 pcge0 16734 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
128125, 126, 127syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
129 iffalse 4495 . . . . . . . . . 10 𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 0)
130129breq1d 5115 . . . . . . . . 9 𝑞𝑧 → (if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
131128, 130syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
132124, 131pm2.61d 179 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
13398, 132eqbrtrrd 5129 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
134133ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
13580nnzd 12526 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℤ)
13617adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑁 ∈ ℤ)
137 pc2dvds 16751 . . . . . 6 (((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
138135, 136, 137syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
139134, 138mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)
140108, 139jca 512 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁))
141 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (μ‘𝑥) = (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
142141neeq1d 3003 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → ((μ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0))
143 breq1 5108 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (𝑥𝑁 ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁))
144142, 143anbi12d 631 . . . 4 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁) ↔ ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)))
145144, 6elrab2 3648 . . 3 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ ∧ ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)))
14680, 140, 145sylanbrc 583 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆)
147 eqcom 2743 . . 3 (𝑛 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛)
1487simplbi 498 . . . . . . 7 (𝑛𝑆𝑛 ∈ ℕ)
149148ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑛 ∈ ℕ)
15023mptex 7173 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V
15173fvmpt2 6959 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V) → (𝐺𝑛) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
152149, 150, 151sylancl 586 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝐺𝑛) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
153152eqeq1d 2738 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))
15475a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
15572adantrl 714 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
156 f1ocnvfvb 7225 . . . . 5 ((𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
157154, 149, 155, 156syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
15823a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ℙ ∈ V)
159 0cnd 11148 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 0 ∈ ℂ)
160 1cnd 11150 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 1 ∈ ℂ)
161 0ne1 12224 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
162161a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 0 ≠ 1)
163158, 159, 160, 162pw2f1olem 9020 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑧 ∈ 𝒫 ℙ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ) ∧ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}))))
164 ssrab2 4037 . . . . . . . . 9 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ ℙ
165164sspwi 4572 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ 𝒫 ℙ
166 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
167165, 166sselid 3942 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ 𝒫 ℙ)
168167biantrurd 533 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 ℙ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
170148adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ)
171 pccl 16721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0)
172169, 170, 171syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0)
173 elnn0 12415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
174172, 173sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
175174orcomd 869 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ))
1768simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑆 → (μ‘𝑛) ≠ 0)
177176adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → (μ‘𝑛) ≠ 0)
178 issqf 26485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1))
179170, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1))
180177, 179mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1)
181180r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1)
182 nnle1eq1 12183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
183181, 182syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
184183orim2d 965 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)))
185175, 184mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
186 ovex 7390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ V
187186elpr 4609 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1} ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
188185, 187sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1})
189188fmpttd 7063 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
190189adantrr 715 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
191 prex 5389 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ V
192191, 23elmap 8809 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
193190, 192sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ))
194193biantrurd 533 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ) ∧ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}))))
195163, 168, 1943bitr4d 310 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1})))
196 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛))
197196mptiniseg 6191 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1})
19830, 197ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1}
199 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 → (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)
200 1nn 12164 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
201199, 200eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ)
202201, 183impbid2 225 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ))
203 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
204 pcelnn 16742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑛))
205203, 15, 204syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑛))
206202, 205bitrd 278 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ 𝑝𝑛))
207206rabbidva 3414 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
208207adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
209198, 208eqtrid 2788 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
210209eqeq2d 2747 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
211195, 210bitrd 278 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
212153, 157, 2113bitr3d 308 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
213147, 212bitrid 282 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑛 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
2141, 26, 146, 213f1o2d 7607 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝑆1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  cdvds 16136  cprime 16547   pCnt cpc 16708  μcmu 26444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-mu 26450
This theorem is referenced by:  musum  26540
  Copyright terms: Public domain W3C validator