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Theorem sqff1o 26547
Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number 𝑁 to the powerset of the prime divisors of 𝑁. Among other things, this implies that a number has 2β†‘π‘˜ squarefree divisors where π‘˜ is the number of prime divisors, and a squarefree number has 2β†‘π‘˜ divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to 𝐹 takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqff1o.1 𝑆 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ ((ΞΌβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ π‘₯ βˆ₯ 𝑁)}
sqff1o.2 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛})
sqff1o.3 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
sqff1o (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,π‘₯,𝐺   𝑛,𝑁,𝑝,π‘₯   𝑆,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem sqff1o
Dummy variables π‘˜ π‘ž 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqff1o.2 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛})
2 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (ΞΌβ€˜π‘₯) = (ΞΌβ€˜π‘›))
32neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((ΞΌβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (ΞΌβ€˜π‘›) β‰  0))
4 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑁 ↔ 𝑛 βˆ₯ 𝑁))
53, 4anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (((ΞΌβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ π‘₯ βˆ₯ 𝑁) ↔ ((ΞΌβ€˜π‘›) β‰  0 ∧ 𝑛 βˆ₯ 𝑁)))
6 sqff1o.1 . . . . . . . . 9 𝑆 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ ((ΞΌβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ π‘₯ βˆ₯ 𝑁)}
75, 6elrab2 3649 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑆 ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ ((ΞΌβ€˜π‘›) β‰  0 ∧ 𝑛 βˆ₯ 𝑁)))
87simprbi 498 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑆 β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) β‰  0 ∧ 𝑛 βˆ₯ 𝑁))
98simprd 497 . . . . . 6 (𝑛 ∈ 𝑆 β†’ 𝑛 βˆ₯ 𝑁)
109ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑛 βˆ₯ 𝑁)
11 prmz 16556 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
1211adantl 483 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
13 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑛 ∈ 𝑆)
1413, 7sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑛 ∈ β„• ∧ ((ΞΌβ€˜π‘›) β‰  0 ∧ 𝑛 βˆ₯ 𝑁)))
1514simpld 496 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1615nnzd 12531 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
17 nnz 12525 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1817ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
19 dvdstr 16181 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝑝 βˆ₯ 𝑛 ∧ 𝑛 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑝 βˆ₯ 𝑁))
2012, 16, 18, 19syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 βˆ₯ 𝑛 ∧ 𝑛 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑝 βˆ₯ 𝑁))
2110, 20mpan2d 693 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑛 β†’ 𝑝 βˆ₯ 𝑁))
2221ss2rabdv 4034 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛} βŠ† {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})
23 prmex 16558 . . . . 5 β„™ ∈ V
2423rabex 5290 . . . 4 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛} ∈ V
2524elpw 4565 . . 3 ({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁} ↔ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛} βŠ† {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})
2622, 25sylibr 233 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})
27 cnveq 5830 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β†’ ◑𝑦 = β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))
2827imaeq1d 6013 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β†’ (◑𝑦 β€œ β„•) = (β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β€œ β„•))
2928eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑦 = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β†’ ((◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin))
30 1nn0 12434 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•0
31 0nn0 12433 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„•0
3230, 31ifcli 4534 . . . . . . . . 9 if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ β„•0
3332rgenw 3065 . . . . . . . 8 βˆ€π‘˜ ∈ β„™ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ β„•0
34 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))
3534fmpt 7059 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ β„™ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ β„•0 ↔ (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)):β„™βŸΆβ„•0)
3633, 35mpbi 229 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)):β„™βŸΆβ„•0
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)):β„™βŸΆβ„•0)
38 nn0ex 12424 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
3938, 23elmap 8812 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ (β„•0 ↑m β„™) ↔ (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)):β„™βŸΆβ„•0)
4037, 39sylibr 233 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ (β„•0 ↑m β„™))
41 fzfi 13883 . . . . . 6 (1...𝑁) ∈ Fin
42 ffn 6669 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)):β„™βŸΆβ„•0 β†’ (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) Fn β„™)
43 elpreima 7009 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) Fn β„™ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β€œ β„•) ↔ (π‘₯ ∈ β„™ ∧ ((π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))β€˜π‘₯) ∈ β„•)))
4436, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β€œ β„•) ↔ (π‘₯ ∈ β„™ ∧ ((π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))β€˜π‘₯) ∈ β„•))
45 elequ1 2114 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑧 ↔ π‘₯ ∈ 𝑧))
4645ifbid 4510 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘₯ β†’ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0) = if(π‘₯ ∈ 𝑧, 1, 0))
4730, 31ifcli 4534 . . . . . . . . . . . . . 14 if(π‘₯ ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ β„•0
4847elexi 3463 . . . . . . . . . . . . 13 if(π‘₯ ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ V
4946, 34, 48fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ ((π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝑧, 1, 0))
5049eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ (((π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))β€˜π‘₯) ∈ β„• ↔ if(π‘₯ ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ β„•))
5150biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ ((π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))β€˜π‘₯) ∈ β„•) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ β„•)
5244, 51sylbi 216 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β€œ β„•) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ β„•)
53 0nnn 12194 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 0 ∈ β„•
54 iffalse 4496 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑧, 1, 0) = 0)
5554eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ β„• ↔ 0 ∈ β„•))
5653, 55mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ Β¬ if(π‘₯ ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ β„•)
5756con4i 114 . . . . . . . . 9 (if(π‘₯ ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ 𝑧)
5852, 57syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β€œ β„•) β†’ π‘₯ ∈ 𝑧)
5958ssriv 3949 . . . . . . 7 (β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β€œ β„•) βŠ† 𝑧
60 elpwi 4568 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁} β†’ 𝑧 βŠ† {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})
6160adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ 𝑧 βŠ† {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})
62 prmssnn 16557 . . . . . . . . . 10 β„™ βŠ† β„•
63 rabss2 4036 . . . . . . . . . 10 (β„™ βŠ† β„• β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁} βŠ† {𝑝 ∈ β„• ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁} βŠ† {𝑝 ∈ β„• ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}
65 dvdsssfz1 16205 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ {𝑝 ∈ β„• ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁} βŠ† (1...𝑁))
6665adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ {𝑝 ∈ β„• ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁} βŠ† (1...𝑁))
6764, 66sstrid 3956 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁} βŠ† (1...𝑁))
6861, 67sstrd 3955 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ 𝑧 βŠ† (1...𝑁))
6959, 68sstrid 3956 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β€œ β„•) βŠ† (1...𝑁))
70 ssfi 9120 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β€œ β„•) βŠ† (1...𝑁)) β†’ (β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)
7141, 69, 70sylancr 588 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (β—‘(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)
7229, 40, 71elrabd 3648 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin})
73 sqff1o.3 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
74 eqid 2733 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin}
7573, 741arith 16804 . . . . . 6 𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’{𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin}
76 f1ocnv 6797 . . . . . 6 (𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’{𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ ◑𝐺:{𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin}–1-1-ontoβ†’β„•)
77 f1of 6785 . . . . . 6 (◑𝐺:{𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin}–1-1-ontoβ†’β„• β†’ ◑𝐺:{𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•)
7875, 76, 77mp2b 10 . . . . 5 ◑𝐺:{𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•
7978ffvelcdmi 7035 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ β„•)
8072, 79syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ β„•)
81 f1ocnvfv2 7224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’{𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))
8275, 72, 81sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))
83731arithlem1 16800 . . . . . . . . . . . 12 ((β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))))))
8480, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))))))
8582, 84eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) = (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))))))
8685fveq1d 6845 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ ((π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))β€˜π‘ž) = ((𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))))β€˜π‘ž))
87 elequ1 2114 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘ž β†’ (π‘˜ ∈ 𝑧 ↔ π‘ž ∈ 𝑧))
8887ifbid 4510 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘ž β†’ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0) = if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0))
8930, 31ifcli 4534 . . . . . . . . . . 11 if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ β„•0
9089elexi 3463 . . . . . . . . . 10 if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ V
9188, 34, 90fvmpt 6949 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ β„™ β†’ ((π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))β€˜π‘ž) = if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0))
9286, 91sylan9req 2794 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))))β€˜π‘ž) = if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0))
93 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = π‘ž β†’ (𝑝 pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) = (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))))
94 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))))) = (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))))
95 ovex 7391 . . . . . . . . . 10 (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) ∈ V
9693, 94, 95fvmpt 6949 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ β„™ β†’ ((𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))))β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))))
9796adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))))β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))))
9892, 97eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) = (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))))
99 breq1 5109 . . . . . . . 8 (1 = if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) β†’ (1 ≀ 1 ↔ if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) ≀ 1))
100 breq1 5109 . . . . . . . 8 (0 = if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) β†’ (0 ≀ 1 ↔ if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) ≀ 1))
101 1le1 11788 . . . . . . . 8 1 ≀ 1
102 0le1 11683 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
10399, 100, 101, 102keephyp 4558 . . . . . . 7 if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) ≀ 1
10498, 103eqbrtrrdi 5146 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≀ 1)
105104ralrimiva 3140 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≀ 1)
106 issqf 26501 . . . . . 6 ((β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) β‰  0 ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≀ 1))
10780, 106syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ ((ΞΌβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) β‰  0 ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≀ 1))
108105, 107mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (ΞΌβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) β‰  0)
109 iftrue 4493 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ 𝑧 β†’ if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) = 1)
110109adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ 𝑧) β†’ if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) = 1)
11161sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ 𝑧) β†’ π‘ž ∈ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})
112 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = π‘ž β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑁 ↔ π‘ž βˆ₯ 𝑁))
113112elrab 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž ∈ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁} ↔ (π‘ž ∈ β„™ ∧ π‘ž βˆ₯ 𝑁))
114111, 113sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ 𝑧) β†’ (π‘ž ∈ β„™ ∧ π‘ž βˆ₯ 𝑁))
115114simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ 𝑧) β†’ π‘ž βˆ₯ 𝑁)
116114simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ 𝑧) β†’ π‘ž ∈ β„™)
117 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ 𝑧) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
118 pcelnn 16747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ž ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘ž pCnt 𝑁) ∈ β„• ↔ π‘ž βˆ₯ 𝑁))
119116, 117, 118syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ 𝑧) β†’ ((π‘ž pCnt 𝑁) ∈ β„• ↔ π‘ž βˆ₯ 𝑁))
120115, 119mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ 𝑧) β†’ (π‘ž pCnt 𝑁) ∈ β„•)
121120nnge1d 12206 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ 𝑧) β†’ 1 ≀ (π‘ž pCnt 𝑁))
122110, 121eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ 𝑧) β†’ if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) ≀ (π‘ž pCnt 𝑁))
123122ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (π‘ž ∈ 𝑧 β†’ if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) ≀ (π‘ž pCnt 𝑁)))
124123adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (π‘ž ∈ 𝑧 β†’ if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) ≀ (π‘ž pCnt 𝑁)))
125 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ π‘ž ∈ β„™)
12617ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
127 pcge0 16739 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 0 ≀ (π‘ž pCnt 𝑁))
128125, 126, 127syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 0 ≀ (π‘ž pCnt 𝑁))
129 iffalse 4496 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘ž ∈ 𝑧 β†’ if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) = 0)
130129breq1d 5116 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘ž ∈ 𝑧 β†’ (if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) ≀ (π‘ž pCnt 𝑁) ↔ 0 ≀ (π‘ž pCnt 𝑁)))
131128, 130syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (Β¬ π‘ž ∈ 𝑧 β†’ if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) ≀ (π‘ž pCnt 𝑁)))
132124, 131pm2.61d 179 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ if(π‘ž ∈ 𝑧, 1, 0) ≀ (π‘ž pCnt 𝑁))
13398, 132eqbrtrrd 5130 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≀ (π‘ž pCnt 𝑁))
134133ralrimiva 3140 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≀ (π‘ž pCnt 𝑁))
13580nnzd 12531 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ β„€)
13617adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
137 pc2dvds 16756 . . . . . 6 (((β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) βˆ₯ 𝑁 ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≀ (π‘ž pCnt 𝑁)))
138135, 136, 137syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) βˆ₯ 𝑁 ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≀ (π‘ž pCnt 𝑁)))
139134, 138mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) βˆ₯ 𝑁)
140108, 139jca 513 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ ((ΞΌβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) β‰  0 ∧ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) βˆ₯ 𝑁))
141 fveq2 6843 . . . . . 6 (π‘₯ = (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘₯) = (ΞΌβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))))
142141neeq1d 3000 . . . . 5 (π‘₯ = (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (ΞΌβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) β‰  0))
143 breq1 5109 . . . . 5 (π‘₯ = (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑁 ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) βˆ₯ 𝑁))
144142, 143anbi12d 632 . . . 4 (π‘₯ = (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ π‘₯ βˆ₯ 𝑁) ↔ ((ΞΌβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) β‰  0 ∧ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) βˆ₯ 𝑁)))
145144, 6elrab2 3649 . . 3 ((β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆 ↔ ((β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ β„• ∧ ((ΞΌβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))) β‰  0 ∧ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) βˆ₯ 𝑁)))
14680, 140, 145sylanbrc 584 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁}) β†’ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆)
147 eqcom 2740 . . 3 (𝑛 = (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) = 𝑛)
1487simplbi 499 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑆 β†’ 𝑛 ∈ β„•)
149148ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
15023mptex 7174 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V
15173fvmpt2 6960 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
152149, 150, 151sylancl 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
153152eqeq1d 2735 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))))
15475a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ 𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’{𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin})
15572adantrl 715 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin})
156 f1ocnvfvb 7226 . . . . 5 ((𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’{𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
157154, 149, 155, 156syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
15823a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ β„™ ∈ V)
159 0cnd 11153 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ 0 ∈ β„‚)
160 1cnd 11155 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ 1 ∈ β„‚)
161 0ne1 12229 . . . . . . . 8 0 β‰  1
162161a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ 0 β‰  1)
163158, 159, 160, 162pw2f1olem 9023 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ ((𝑧 ∈ 𝒫 β„™ ∧ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ↔ ((𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m β„™) ∧ 𝑧 = (β—‘(𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) β€œ {1}))))
164 ssrab2 4038 . . . . . . . . 9 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁} βŠ† β„™
165164sspwi 4573 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁} βŠ† 𝒫 β„™
166 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})
167165, 166sselid 3943 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ 𝑧 ∈ 𝒫 β„™)
168167biantrurd 534 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ ((𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 β„™ ∧ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)))))
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„™)
170148adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
171 pccl 16726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„•0)
172169, 170, 171syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„•0)
173 elnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„•0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„• ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
174172, 173sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„• ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
175174orcomd 870 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„•))
1768simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ 𝑆 β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) β‰  0)
177176adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) β‰  0)
178 issqf 26501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) β‰  0 ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt 𝑛) ≀ 1))
179170, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) β‰  0 ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt 𝑛) ≀ 1))
180177, 179mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt 𝑛) ≀ 1)
181180r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt 𝑛) ≀ 1)
182 nnle1eq1 12188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„• β†’ ((𝑝 pCnt 𝑛) ≀ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
183181, 182syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„• β†’ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
184183orim2d 966 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„•) β†’ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)))
185175, 184mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
186 ovex 7391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ V
187186elpr 4610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1} ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
188185, 187sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1})
189188fmpttd 7064 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) β†’ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):β„™βŸΆ{0, 1})
190189adantrr 716 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):β„™βŸΆ{0, 1})
191 prex 5390 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ V
192191, 23elmap 8812 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m β„™) ↔ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):β„™βŸΆ{0, 1})
193190, 192sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m β„™))
194193biantrurd 534 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ (𝑧 = (β—‘(𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) β€œ {1}) ↔ ((𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m β„™) ∧ 𝑧 = (β—‘(𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) β€œ {1}))))
195163, 168, 1943bitr4d 311 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ ((𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = (β—‘(𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) β€œ {1})))
196 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛))
197196mptiniseg 6192 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„•0 β†’ (β—‘(𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) β€œ {1}) = {𝑝 ∈ β„™ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1})
19830, 197ax-mp 5 . . . . . . 7 (β—‘(𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) β€œ {1}) = {𝑝 ∈ β„™ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1}
199 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 β†’ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)
200 1nn 12169 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•
201199, 200eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 β†’ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„•)
202201, 183impbid2 225 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„•))
203 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
204 pcelnn 16747 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„• ↔ 𝑝 βˆ₯ 𝑛))
205203, 15, 204syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ β„• ↔ 𝑝 βˆ₯ 𝑛))
206202, 205bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ 𝑝 βˆ₯ 𝑛))
207206rabbidva 3413 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛})
208207adantrr 716 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛})
209198, 208eqtrid 2785 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ (β—‘(𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) β€œ {1}) = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛})
210209eqeq2d 2744 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ (𝑧 = (β—‘(𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) β€œ {1}) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛}))
211195, 210bitrd 279 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ ((𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛}))
212153, 157, 2113bitr3d 309 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) = 𝑛 ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛}))
213147, 212bitrid 283 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})) β†’ (𝑛 = (β—‘πΊβ€˜(π‘˜ ∈ β„™ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝑧, 1, 0))) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑛}))
2141, 26, 146, 213f1o2d 7608 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  ifcif 4487  π’« cpw 4561  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   ≀ cle 11195  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  ...cfz 13430   βˆ₯ cdvds 16141  β„™cprime 16552   pCnt cpc 16713  ΞΌcmu 26460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-pc 16714  df-mu 26466
This theorem is referenced by:  musum  26556
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