Theorem sqff1o 27120

Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number 𝑁 to the powerset of the prime divisors of 𝑁. Among other things, this implies that a number has 2↑𝑘 squarefree divisors where 𝑘 is the number of prime divisors, and a squarefree number has 2↑𝑘 divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to 𝐹 takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqff1o.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
sqff1o.2	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛})
sqff1o.3	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
sqff1o	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑥,𝐺   𝑛,𝑁,𝑝,𝑥   𝑆,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem sqff1o

Dummy variables 𝑘 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqff1o.2	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛})
2		fveq2 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (μ‘𝑥) = (μ‘𝑛))
3	2	neeq1d 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((μ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (μ‘𝑛) ≠ 0))
4		breq1 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑛 ∥ 𝑁))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)))
6		sqff1o.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
7	5, 6	elrab2 3646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑆 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)))
8	7	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑆 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁))
9	8	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑆 → 𝑛 ∥ 𝑁)
10	9	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∥ 𝑁)
11		prmz 16588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
13		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ 𝑆)
14	13, 7	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)))
15	14	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12501	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℤ)
17		nnz 12496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		dvdstr 16207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑝 ∥ 𝑁))
20	12, 16, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑝 ∥ 𝑁))
21	10, 20	mpan2d 694	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑛 → 𝑝 ∥ 𝑁))
22	21	ss2rabdv 4024	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})
23		prmex 16590	. . . . 5 ⊢ ℙ ∈ V
24	23	rabex 5279	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} ∈ V
25	24	elpw 4553	. . 3 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁} ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})
26	22, 25	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})
27		cnveq 5817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) → ◡𝑦 = ◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))
28	27	imaeq1d 6012	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) → (◡𝑦 “ ℕ) = (◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) “ ℕ))
29	28	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) → ((◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
30		1nn0 12404	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		0nn0 12403	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
32	30, 31	ifcli 4522	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
33	32	rgenw 3052	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℙ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
34		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))
35	34	fmpt 7049	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℙ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
36	33, 35	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
38		nn0ex 12394	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
39	38, 23	elmap 8801	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
40	37, 39	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0 ↑m ℙ))
41		fzfi 13881	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
42		ffn 6656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) Fn ℙ)
43		elpreima 6997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) Fn ℙ → (𝑥 ∈ (◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ)))
44	36, 42, 43	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ))
45		elequ1 2120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧))
46	45	ifbid 4498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0) = if(𝑥 ∈ 𝑧, 1, 0))
47	30, 31	ifcli 4522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
48	47	elexi 3460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ V
49	46, 34, 48	fvmpt 6935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑧, 1, 0))
50	49	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ ↔ if(𝑥 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ ℕ))
51	50	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
52	44, 51	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) “ ℕ) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
53		0nnn 12168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
54		iffalse 4483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑧 → if(𝑥 ∈ 𝑧, 1, 0) = 0)
55	54	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑧 → (if(𝑥 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
56	53, 55	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑧 → ¬ if(𝑥 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
57	56	con4i 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 ∈ 𝑧)
58	52, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) “ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝑧)
59	58	ssriv 3934	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ 𝑧
60		elpwi 4556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁} → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})
61	60	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})
62		prmssnn 16589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
63		rabss2 4026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}
65		dvdsssfz1 16231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
67	64, 66	sstrid 3942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
68	61, 67	sstrd 3941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → 𝑧 ⊆ (1...𝑁))
69	59, 68	sstrid 3942	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ (1...𝑁))
70		ssfi 9089	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ (1...𝑁)) → (◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
71	41, 69, 70	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (◡(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
72	29, 40, 71	elrabd 3645	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
73		sqff1o.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
74		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
75	73, 74	1arith 16841	. . . . . 6 ⊢ 𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
76		f1ocnv 6780	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} → ◡𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}–1-1-onto→ℕ)
77		f1of 6768	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}–1-1-onto→ℕ → ◡𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ)
78	75, 76, 77	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ◡𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ
79	78	ffvelcdmi 7022	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} → (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ)
80	72, 79	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ)
81		f1ocnvfv2 7217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))
82	75, 72, 81	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))
83	73	1arithlem1 16837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))))))
84	80, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))))))
85	82, 84	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))))))
86	85	fveq1d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))‘𝑞) = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))))‘𝑞))
87		elequ1 2120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑞 → (𝑘 ∈ 𝑧 ↔ 𝑞 ∈ 𝑧))
88	87	ifbid 4498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑞 → if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0) = if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0))
89	30, 31	ifcli 4522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
90	89	elexi 3460	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) ∈ V
91	88, 34, 90	fvmpt 6935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))‘𝑞) = if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0))
92	86, 91	sylan9req 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0))
93		oveq1 7359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) = (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))))
94		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))))
95		ovex 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ∈ V
96	93, 94, 95	fvmpt 6935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))))
97	96	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))))
98	92, 97	eqtr3d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) = (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))))
99		breq1 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) → (1 ≤ 1 ↔ if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) ≤ 1))
100		breq1 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) ≤ 1))
101		1le1 11752	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
102		0le1 11647	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
103	99, 100, 101, 102	keephyp 4546	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) ≤ 1
104	98, 103	eqbrtrrdi 5133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≤ 1)
105	104	ralrimiva 3125	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≤ 1)
106		issqf 27074	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ → ((μ‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≤ 1))
107	80, 106	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → ((μ‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≤ 1))
108	105, 107	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (μ‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≠ 0)
109		iftrue 4480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑧 → if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) = 1)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ 𝑧) → if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) = 1)
111	61	sselda 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ 𝑧) → 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})
112		breq1 5096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
113	112	elrab 3643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁} ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁))
114	111, 113	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ 𝑧) → (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁))
115	114	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ 𝑧) → 𝑞 ∥ 𝑁)
116	114	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ 𝑧) → 𝑞 ∈ ℙ)
117		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ 𝑧) → 𝑁 ∈ ℕ)
118		pcelnn 16784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
119	116, 117, 118	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ 𝑧) → ((𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
120	115, 119	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ 𝑧) → (𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
121	120	nnge1d 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ 𝑧) → 1 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
122	110, 121	eqbrtrd 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ 𝑧) → if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
123	122	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (𝑞 ∈ 𝑧 → if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
124	123	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∈ 𝑧 → if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
125		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
126	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
127		pcge0 16776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
128	125, 126, 127	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
129		iffalse 4483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 → if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) = 0)
130	129	breq1d 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 → (if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
131	128, 130	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 → if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
132	124, 131	pm2.61d 179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞 ∈ 𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
133	98, 132	eqbrtrrd 5117	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
134	133	ralrimiva 3125	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
135	80	nnzd 12501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ ℤ)
136	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → 𝑁 ∈ ℤ)
137		pc2dvds 16793	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
138	135, 136, 137	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → ((◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
139	134, 138	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)
140	108, 139	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → ((μ‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁))
141		fveq2 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) → (μ‘𝑥) = (μ‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))))
142	141	neeq1d 2988	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) → ((μ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (μ‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≠ 0))
143		breq1 5096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁))
144	142, 143	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) → (((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ ((μ‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)))
145	144, 6	elrab2 3646	. . 3 ⊢ ((◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆 ↔ ((◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ ∧ ((μ‘(◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)))
146	80, 140, 145	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁}) → (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆)
147		eqcom 2740	. . 3 ⊢ (𝑛 = (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ↔ (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) = 𝑛)
148	7	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑆 → 𝑛 ∈ ℕ)
149	148	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → 𝑛 ∈ ℕ)
150	23	mptex 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V
151	73	fvmpt2 6946	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V) → (𝐺‘𝑛) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
152	149, 150, 151	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → (𝐺‘𝑛) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
153	152	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → ((𝐺‘𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))))
154	75	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → 𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
155	72	adantrl 716	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
156		f1ocnvfvb 7219	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐺‘𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
157	154, 149, 155, 156	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → ((𝐺‘𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
158	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → ℙ ∈ V)
159		0cnd 11112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → 0 ∈ ℂ)
160		1cnd 11114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → 1 ∈ ℂ)
161		0ne1 12203	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
162	161	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → 0 ≠ 1)
163	158, 159, 160, 162	pw2f1olem 9001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → ((𝑧 ∈ 𝒫 ℙ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ) ∧ 𝑧 = (◡(𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}))))
164		ssrab2 4029	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁} ⊆ ℙ
165	164	sspwi 4561	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁} ⊆ 𝒫 ℙ
166		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})
167	165, 166	sselid 3928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → 𝑧 ∈ 𝒫 ℙ)
168	167	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 ℙ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)))))
169		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
170	148	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ)
171		pccl 16763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0)
172	169, 170, 171	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0)
173		elnn0 12390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
174	172, 173	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
175	174	orcomd 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ))
176	8	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑆 → (μ‘𝑛) ≠ 0)
177	176	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) → (μ‘𝑛) ≠ 0)
178		issqf 27074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1))
179	170, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1))
180	177, 179	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1)
181	180	r19.21bi 3225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1)
182		nnle1eq1 12162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
183	181, 182	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
184	183	orim2d 968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)))
185	175, 184	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
186		ovex 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ V
187	186	elpr 4600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1} ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
188	185, 187	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1})
189	188	fmpttd 7054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
190	189	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
191		prex 5377	. . . . . . . . 9 ⊢ {0, 1} ∈ V
192	191, 23	elmap 8801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
193	190, 192	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ))
194	193	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → (𝑧 = (◡(𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ) ∧ 𝑧 = (◡(𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}))))
195	163, 168, 194	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = (◡(𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1})))
196		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛))
197	196	mptiniseg 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (◡(𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1})
198	30, 197	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1}
199		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 → (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)
200		1nn 12143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
201	199, 200	eqeltrdi 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ)
202	201, 183	impbid2 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ))
203		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
204		pcelnn 16784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑛))
205	203, 15, 204	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑛))
206	202, 205	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ 𝑝 ∥ 𝑛))
207	206	rabbidva 3402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛})
208	207	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛})
209	198, 208	eqtrid 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → (◡(𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛})
210	209	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → (𝑧 = (◡(𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛}))
211	195, 210	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛}))
212	153, 157, 211	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → ((◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) = 𝑛 ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛}))
213	147, 212	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})) → (𝑛 = (◡𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘 ∈ 𝑧, 1, 0))) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛}))
214	1, 26, 146, 213	f1o2d 7606	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑁})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  {crab 3396  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ifcif 4474  𝒫 cpw 4549  {csn 4575  {cpr 4577   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  Fincfn 8875  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   ≤ cle 11154  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ...cfz 13409   ∥ cdvds 16165  ℙcprime 16584   pCnt cpc 16750  μcmu 27033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-dvds 16166  df-gcd 16408  df-prm 16585  df-pc 16751  df-mu 27039

This theorem is referenced by:  musum  27129