MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqff1o 26437
Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number 𝑁 to the powerset of the prime divisors of 𝑁. Among other things, this implies that a number has 2↑𝑘 squarefree divisors where 𝑘 is the number of prime divisors, and a squarefree number has 2↑𝑘 divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to 𝐹 takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqff1o.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁)}
sqff1o.2 𝐹 = (𝑛𝑆 ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
sqff1o.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
sqff1o (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝑆1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑥,𝐺   𝑛,𝑁,𝑝,𝑥   𝑆,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem sqff1o
Dummy variables 𝑘 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqff1o.2 . 2 𝐹 = (𝑛𝑆 ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
2 fveq2 6825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑛 → (μ‘𝑥) = (μ‘𝑛))
32neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → ((μ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (μ‘𝑛) ≠ 0))
4 breq1 5095 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥𝑁𝑛𝑁))
53, 4anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁) ↔ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
6 sqff1o.1 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁)}
75, 6elrab2 3637 . . . . . . . 8 (𝑛𝑆 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
87simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑛𝑆 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))
98simprd 496 . . . . . 6 (𝑛𝑆𝑛𝑁)
109ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛𝑁)
11 prmz 16477 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1211adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
13 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛𝑆)
1413, 7sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
1514simpld 495 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1615nnzd 12526 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℤ)
17 nnz 12443 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1817ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 dvdstr 16102 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛𝑛𝑁) → 𝑝𝑁))
2012, 16, 18, 19syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑛𝑛𝑁) → 𝑝𝑁))
2110, 20mpan2d 691 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑛𝑝𝑁))
2221ss2rabdv 4021 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
23 prmex 16479 . . . . 5 ℙ ∈ V
2423rabex 5276 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ V
2524elpw 4551 . . 3 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
2622, 25sylibr 233 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
27 cnveq 5815 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → 𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
2827imaeq1d 5998 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → (𝑦 “ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ))
2928eleq1d 2821 . . . . 5 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → ((𝑦 “ ℕ) ∈ Fin ↔ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
30 1nn0 12350 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
31 0nn0 12349 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
3230, 31ifcli 4520 . . . . . . . . 9 if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
3332rgenw 3065 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℙ if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
34 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))
3534fmpt 7040 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℙ if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
3633, 35mpbi 229 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
38 nn0ex 12340 . . . . . . 7 0 ∈ V
3938, 23elmap 8730 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0m ℙ) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
4037, 39sylibr 233 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0m ℙ))
41 fzfi 13793 . . . . . 6 (1...𝑁) ∈ Fin
42 ffn 6651 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) Fn ℙ)
43 elpreima 6991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) Fn ℙ → (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ)))
4436, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ))
45 elequ1 2112 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑧𝑥𝑧))
4645ifbid 4496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘𝑧, 1, 0) = if(𝑥𝑧, 1, 0))
4730, 31ifcli 4520 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
4847elexi 3460 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ V
4946, 34, 48fvmpt 6931 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑧, 1, 0))
5049eleq1d 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℙ → (((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ ↔ if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ))
5150biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ) → if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
5244, 51sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) → if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
53 0nnn 12110 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 ∈ ℕ
54 iffalse 4482 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, 1, 0) = 0)
5554eleq1d 2821 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑧 → (if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
5653, 55mtbiri 326 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑧 → ¬ if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
5756con4i 114 . . . . . . . . 9 (if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥𝑧)
5852, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) → 𝑥𝑧)
5958ssriv 3936 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ 𝑧
60 elpwi 4554 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
6160adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
62 prmssnn 16478 . . . . . . . . . 10 ℙ ⊆ ℕ
63 rabss2 4023 . . . . . . . . . 10 (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁})
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁}
65 dvdsssfz1 16126 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6665adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6764, 66sstrid 3943 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6861, 67sstrd 3942 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑧 ⊆ (1...𝑁))
6959, 68sstrid 3943 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ (1...𝑁))
70 ssfi 9038 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ (1...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
7141, 69, 70sylancr 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
7229, 40, 71elrabd 3636 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
73 sqff1o.3 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
74 eqid 2736 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
7573, 741arith 16725 . . . . . 6 𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
76 f1ocnv 6779 . . . . . 6 (𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}–1-1-onto→ℕ)
77 f1of 6767 . . . . . 6 (𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}–1-1-onto→ℕ → 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ)
7875, 76, 77mp2b 10 . . . . 5 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ
7978ffvelcdmi 7016 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ)
8072, 79syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ)
81 f1ocnvfv2 7205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
8275, 72, 81sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
83731arithlem1 16721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8480, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8582, 84eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8685fveq1d 6827 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑞) = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞))
87 elequ1 2112 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑞 → (𝑘𝑧𝑞𝑧))
8887ifbid 4496 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑞 → if(𝑘𝑧, 1, 0) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
8930, 31ifcli 4520 . . . . . . . . . . 11 if(𝑞𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
9089elexi 3460 . . . . . . . . . 10 if(𝑞𝑧, 1, 0) ∈ V
9188, 34, 90fvmpt 6931 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑞) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
9286, 91sylan9req 2797 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
93 oveq1 7344 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
94 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
95 ovex 7370 . . . . . . . . . 10 (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ∈ V
9693, 94, 95fvmpt 6931 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
9796adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
9892, 97eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞𝑧, 1, 0) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
99 breq1 5095 . . . . . . . 8 (1 = if(𝑞𝑧, 1, 0) → (1 ≤ 1 ↔ if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1))
100 breq1 5095 . . . . . . . 8 (0 = if(𝑞𝑧, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1))
101 1le1 11704 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
102 0le1 11599 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
10399, 100, 101, 102keephyp 4544 . . . . . . 7 if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1
10498, 103eqbrtrrdi 5132 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1)
105104ralrimiva 3139 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1)
106 issqf 26391 . . . . . 6 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1))
10780, 106syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1))
108105, 107mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0)
109 iftrue 4479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 1)
110109adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 1)
11161sselda 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
112 breq1 5095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑁𝑞𝑁))
113112elrab 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁))
114111, 113sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁))
115114simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞𝑁)
116114simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞 ∈ ℙ)
117 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑁 ∈ ℕ)
118 pcelnn 16668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑞𝑁))
119116, 117, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → ((𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑞𝑁))
120115, 119mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → (𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
121120nnge1d 12122 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 1 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
122110, 121eqbrtrd 5114 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
123122ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
124123adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
125 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
12617ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
127 pcge0 16660 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
128125, 126, 127syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
129 iffalse 4482 . . . . . . . . . 10 𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 0)
130129breq1d 5102 . . . . . . . . 9 𝑞𝑧 → (if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
131128, 130syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
132124, 131pm2.61d 179 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
13398, 132eqbrtrrd 5116 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
134133ralrimiva 3139 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
13580nnzd 12526 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℤ)
13617adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑁 ∈ ℤ)
137 pc2dvds 16677 . . . . . 6 (((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
138135, 136, 137syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
139134, 138mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)
140108, 139jca 512 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁))
141 fveq2 6825 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (μ‘𝑥) = (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
142141neeq1d 3000 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → ((μ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0))
143 breq1 5095 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (𝑥𝑁 ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁))
144142, 143anbi12d 631 . . . 4 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁) ↔ ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)))
145144, 6elrab2 3637 . . 3 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ ∧ ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)))
14680, 140, 145sylanbrc 583 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆)
147 eqcom 2743 . . 3 (𝑛 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛)
1487simplbi 498 . . . . . . 7 (𝑛𝑆𝑛 ∈ ℕ)
149148ad2antrl 725 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑛 ∈ ℕ)
15023mptex 7155 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V
15173fvmpt2 6942 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V) → (𝐺𝑛) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
152149, 150, 151sylancl 586 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝐺𝑛) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
153152eqeq1d 2738 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))
15475a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
15572adantrl 713 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
156 f1ocnvfvb 7207 . . . . 5 ((𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
157154, 149, 155, 156syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
15823a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ℙ ∈ V)
159 0cnd 11069 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 0 ∈ ℂ)
160 1cnd 11071 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 1 ∈ ℂ)
161 0ne1 12145 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
162161a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 0 ≠ 1)
163158, 159, 160, 162pw2f1olem 8941 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑧 ∈ 𝒫 ℙ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ) ∧ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}))))
164 ssrab2 4025 . . . . . . . . 9 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ ℙ
165164sspwi 4559 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ 𝒫 ℙ
166 simprr 770 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
167165, 166sselid 3930 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ 𝒫 ℙ)
168167biantrurd 533 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 ℙ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
170148adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ)
171 pccl 16647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0)
172169, 170, 171syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0)
173 elnn0 12336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
174172, 173sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
175174orcomd 868 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ))
1768simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑆 → (μ‘𝑛) ≠ 0)
177176adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → (μ‘𝑛) ≠ 0)
178 issqf 26391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1))
179170, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1))
180177, 179mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1)
181180r19.21bi 3230 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1)
182 nnle1eq1 12104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
183181, 182syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
184183orim2d 964 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)))
185175, 184mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
186 ovex 7370 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ V
187186elpr 4596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1} ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
188185, 187sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1})
189188fmpttd 7045 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
190189adantrr 714 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
191 prex 5377 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ V
192191, 23elmap 8730 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
193190, 192sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ))
194193biantrurd 533 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑m ℙ) ∧ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}))))
195163, 168, 1943bitr4d 310 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1})))
196 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛))
197196mptiniseg 6177 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1})
19830, 197ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1}
199 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 → (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)
200 1nn 12085 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
201199, 200eqeltrdi 2845 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ)
202201, 183impbid2 225 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ))
203 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
204 pcelnn 16668 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑛))
205203, 15, 204syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑛))
206202, 205bitrd 278 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ 𝑝𝑛))
207206rabbidva 3410 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
208207adantrr 714 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
209198, 208eqtrid 2788 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
210209eqeq2d 2747 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
211195, 210bitrd 278 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
212153, 157, 2113bitr3d 308 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
213147, 212bitrid 282 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑛 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
2141, 26, 146, 213f1o2d 7585 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝑆1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  {crab 3403  Vcvv 3441  wss 3898  ifcif 4473  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  {cpr 4575   class class class wbr 5092  cmpt 5175  ccnv 5619  cima 5623   Fn wfn 6474  wf 6475  1-1-ontowf1o 6478  cfv 6479  (class class class)co 7337  m cmap 8686  Fincfn 8804  cc 10970  0cc0 10972  1c1 10973  cle 11111  cn 12074  0cn0 12334  cz 12420  ...cfz 13340  cdvds 16062  cprime 16473   pCnt cpc 16634  μcmu 26350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-prm 16474  df-pc 16635  df-mu 26356
This theorem is referenced by:  musum  26446
  Copyright terms: Public domain W3C validator