Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atnelvolN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atnelvolN 39589
Description: The join of two atoms is not a lattice volume. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3atnelvol.j = (join‘𝐾)
3atnelvol.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3atnelvol.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atnelvolN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem 2atnelvolN
StepHypRef Expression
1 3atnelvol.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
2 3atnelvol.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31, 2hlatjidm 39370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
433adant3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
54oveq1d 7446 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑃) 𝑄) = (𝑃 𝑄))
6 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7 simp2 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃𝐴)
8 simp3 1139 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄𝐴)
9 3atnelvol.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
101, 2, 93atnelvolN 39588 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑃) 𝑄) ∈ 𝑉)
116, 7, 7, 8, 10syl13anc 1374 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ ((𝑃 𝑃) 𝑄) ∈ 𝑉)
125, 11eqneltrrd 2862 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  joincjn 18357  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LVolsclvol 39495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator