Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atnelvolN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atnelvolN 39570
Description: The join of two atoms is not a lattice volume. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3atnelvol.j = (join‘𝐾)
3atnelvol.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3atnelvol.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atnelvolN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem 2atnelvolN
StepHypRef Expression
1 3atnelvol.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
2 3atnelvol.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31, 2hlatjidm 39351 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
433adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
54oveq1d 7446 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑃) 𝑄) = (𝑃 𝑄))
6 simp1 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7 simp2 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃𝐴)
8 simp3 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄𝐴)
9 3atnelvol.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
101, 2, 93atnelvolN 39569 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑃) 𝑄) ∈ 𝑉)
116, 7, 7, 8, 10syl13anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ ((𝑃 𝑃) 𝑄) ∈ 𝑉)
125, 11eqneltrrd 2860 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  joincjn 18369  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LVolsclvol 39476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator