Theorem 2atnelvolN 40836

Description: The join of two atoms is not a lattice volume. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3atnelvol.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3atnelvol.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3atnelvol.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2atnelvolN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem 2atnelvolN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3atnelvol.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		3atnelvol.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	hlatjidm 40618	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
4	3	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
5	4	oveq1d 7458	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑄))
6		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
8		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9		3atnelvol.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
10	1, 2, 9	3atnelvolN 40835	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ¬ ((𝑃 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) ∈ 𝑉)
11	6, 7, 7, 8, 10	syl13anc 1400	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ ((𝑃 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) ∈ 𝑉)
12	5, 11	eqneltrrd 2885	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  joincjn 18514  Atomscatm 40512  HLchlt 40599  LVolsclvol 40742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-lat 18635  df-clat 18702  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-llines 40747  df-lplanes 40748  df-lvols 40749

This theorem is used by: (None)