Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β (πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄))) |
2 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
3 | | simpl22 1253 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
4 | | simpr 486 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
5 | 3, 4 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) |
6 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
7 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
8 | | 3at.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | | 3at.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | | 3at.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | 8, 9, 10 | 3atlem2 37976 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
12 | 1, 2, 5, 6, 7, 11 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
13 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β (πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄))) |
14 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
15 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
16 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
17 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
18 | 8, 9, 10 | 3atlem1 37975 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
19 | 13, 14, 15, 16, 17, 18 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
20 | 12, 19 | pm2.61dan 812 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π)) |