Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 3atlem2 38989
Description: Lemma for 3at 38995. (Contributed by NM, 22-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3atlem2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
Proof of Theorem 3atlem2
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
2 simp11 1200 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38868 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simp121 1302 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 simp122 1303 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
6 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 3at.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 3at.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
96, 7, 8hlatjcl 38871 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
102, 4, 5, 9syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp123 1304 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
126, 8atbase 38793 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 simp131 1305 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
15 simp132 1306 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
166, 7, 8hlatjcl 38871 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
172, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
18 simp133 1307 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
196, 8atbase 38793 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
216, 7latjcl 18438 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
223, 17, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 3at.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
246, 23, 7latjle12 18449 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
253, 10, 13, 22, 24syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
261, 25mpbird 256 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
2726simprd 494 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
287, 8hlatjass 38874 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
292, 14, 15, 18, 28syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
30 simp22r 1290 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ))
31 simp22l 1289 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 β‰  π‘ˆ)
3223, 7, 8hlatexchb2 38899 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  π‘ˆ) β†’ (𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ↔ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
332, 4, 15, 18, 31, 32syl131anc 1380 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ↔ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑇 ∨ π‘ˆ))
3534oveq2d 7442 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) = (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
3629, 35eqtr4d 2771 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
377, 8hlatjass 38874 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘ˆ) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ π‘ˆ)))
382, 4, 5, 18, 37syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘ˆ) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ π‘ˆ)))
397, 8hlatj12 38875 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ π‘ˆ)) = (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
402, 4, 5, 18, 39syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ π‘ˆ)) = (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
417, 8hlatj32 38876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄))
422, 4, 5, 11, 41syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄))
431, 42, 293brtr3d 5183 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄) ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
446, 7, 8hlatjcl 38871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
452, 4, 11, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
466, 8atbase 38793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
475, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
486, 8atbase 38793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4914, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
506, 7, 8hlatjcl 38871 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
512, 15, 18, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
526, 7latjcl 18438 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
533, 49, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
546, 23, 7latjle12 18449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑅) ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄) ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ))))
553, 45, 47, 53, 54syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑅) ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄) ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ))))
5643, 55mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ))))
5756simprd 494 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
5857, 35breqtrrd 5180 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
596, 7, 8hlatjcl 38871 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
602, 4, 18, 59syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
61 simp23 1205 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
626, 23, 7, 8hlexchb2 38890 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ≀ (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ↔ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) = (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ))))
632, 5, 14, 60, 61, 62syl131anc 1380 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ≀ (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ↔ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) = (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ))))
6458, 63mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) = (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
6538, 40, 643eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘ˆ) = (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
6636, 65eqtr4d 2771 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘ˆ))
6727, 66breqtrd 5178 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘ˆ))
68 simp21 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
696, 23, 7, 8hlexchb1 38889 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘ˆ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘ˆ)))
702, 11, 18, 10, 68, 69syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘ˆ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘ˆ)))
7167, 70mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘ˆ))
7271, 66eqtr4d 2771 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855
This theorem is referenced by:  3atlem3  38990
  Copyright terms: Public domain W3C validator