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Theorem 3atlem2 37947
Description: Lemma for 3at 37953. (Contributed by NM, 22-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l = (le‘𝐾)
3at.j = (join‘𝐾)
3at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3atlem2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑈))

Proof of Theorem 3atlem2
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈))
2 simp11 1203 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 37826 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp121 1305 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑃𝐴)
5 simp122 1306 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑄𝐴)
6 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 3at.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
8 3at.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 37829 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
102, 4, 5, 9syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp123 1307 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑅𝐴)
126, 8atbase 37751 . . . . . . . 8 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
14 simp131 1308 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑆𝐴)
15 simp132 1309 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑇𝐴)
166, 7, 8hlatjcl 37829 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
172, 14, 15, 16syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
18 simp133 1310 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑈𝐴)
196, 8atbase 37751 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
216, 7latjcl 18328 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
223, 17, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
23 3at.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
246, 23, 7latjle12 18339 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑄) ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∧ 𝑅 ((𝑆 𝑇) 𝑈)) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
253, 10, 13, 22, 24syl13anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (((𝑃 𝑄) ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∧ 𝑅 ((𝑆 𝑇) 𝑈)) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
261, 25mpbird 256 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑃 𝑄) ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∧ 𝑅 ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
2726simprd 496 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑅 ((𝑆 𝑇) 𝑈))
287, 8hlatjass 37832 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) = (𝑆 (𝑇 𝑈)))
292, 14, 15, 18, 28syl13anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) = (𝑆 (𝑇 𝑈)))
30 simp22r 1293 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑃 (𝑇 𝑈))
31 simp22l 1292 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑃𝑈)
3223, 7, 8hlatexchb2 37857 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ 𝑃𝑈) → (𝑃 (𝑇 𝑈) ↔ (𝑃 𝑈) = (𝑇 𝑈)))
332, 4, 15, 18, 31, 32syl131anc 1383 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑃 (𝑇 𝑈) ↔ (𝑃 𝑈) = (𝑇 𝑈)))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑃 𝑈) = (𝑇 𝑈))
3534oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑆 (𝑃 𝑈)) = (𝑆 (𝑇 𝑈)))
3629, 35eqtr4d 2779 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) = (𝑆 (𝑃 𝑈)))
377, 8hlatjass 37832 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑈) = (𝑃 (𝑄 𝑈)))
382, 4, 5, 18, 37syl13anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑃 𝑄) 𝑈) = (𝑃 (𝑄 𝑈)))
397, 8hlatj12 37833 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 (𝑄 𝑈)) = (𝑄 (𝑃 𝑈)))
402, 4, 5, 18, 39syl13anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑃 (𝑄 𝑈)) = (𝑄 (𝑃 𝑈)))
417, 8hlatj32 37834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))
422, 4, 5, 11, 41syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))
431, 42, 293brtr3d 5136 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑃 𝑅) 𝑄) (𝑆 (𝑇 𝑈)))
446, 7, 8hlatjcl 37829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
452, 4, 11, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
466, 8atbase 37751 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
475, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
486, 8atbase 37751 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4914, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
506, 7, 8hlatjcl 37829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
512, 15, 18, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
526, 7latjcl 18328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 (𝑇 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
533, 49, 51, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑆 (𝑇 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
546, 23, 7latjle12 18339 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑅) (𝑆 (𝑇 𝑈)) ∧ 𝑄 (𝑆 (𝑇 𝑈))) ↔ ((𝑃 𝑅) 𝑄) (𝑆 (𝑇 𝑈))))
553, 45, 47, 53, 54syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (((𝑃 𝑅) (𝑆 (𝑇 𝑈)) ∧ 𝑄 (𝑆 (𝑇 𝑈))) ↔ ((𝑃 𝑅) 𝑄) (𝑆 (𝑇 𝑈))))
5643, 55mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑃 𝑅) (𝑆 (𝑇 𝑈)) ∧ 𝑄 (𝑆 (𝑇 𝑈))))
5756simprd 496 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑄 (𝑆 (𝑇 𝑈)))
5857, 35breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑄 (𝑆 (𝑃 𝑈)))
596, 7, 8hlatjcl 37829 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
602, 4, 18, 59syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
61 simp23 1208 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈))
626, 23, 7, 8hlexchb2 37848 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) → (𝑄 (𝑆 (𝑃 𝑈)) ↔ (𝑄 (𝑃 𝑈)) = (𝑆 (𝑃 𝑈))))
632, 5, 14, 60, 61, 62syl131anc 1383 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑄 (𝑆 (𝑃 𝑈)) ↔ (𝑄 (𝑃 𝑈)) = (𝑆 (𝑃 𝑈))))
6458, 63mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑄 (𝑃 𝑈)) = (𝑆 (𝑃 𝑈)))
6538, 40, 643eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑃 𝑄) 𝑈) = (𝑆 (𝑃 𝑈)))
6636, 65eqtr4d 2779 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) = ((𝑃 𝑄) 𝑈))
6727, 66breqtrd 5131 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑈))
68 simp21 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
696, 23, 7, 8hlexchb1 37847 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑈𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → (𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑄) 𝑈)))
702, 11, 18, 10, 68, 69syl131anc 1383 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → (𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑄) 𝑈)))
7167, 70mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑄) 𝑈))
7271, 66eqtr4d 2779 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑃𝑈𝑃 (𝑇 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑈)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813
This theorem is referenced by:  3atlem3  37948
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