Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 3dim1 38326
Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom 𝑃. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3dim0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3dim0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3dim1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘Ÿ,π‘ž,𝑠,𝐴   ∨ ,π‘Ÿ,𝑠,π‘ž   ≀ ,π‘ž,π‘Ÿ,𝑠   𝑃,π‘ž,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,π‘Ÿ,π‘ž)
Proof of Theorem 3dim1
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 3dim0.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 33dim0 38316 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
54adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
6 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑑) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
71, 2, 33dimlem1 38317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) ∧ 𝑃 = 𝑑) β†’ (𝑃 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
873ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑑) β†’ (𝑃 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
91, 2, 33dim1lem5 38325 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑑) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
11 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
12 simp22 1207 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
13 simp23 1208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
1411, 12, 133jca 1128 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
16 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
17 simp21 1206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
18 simp32 1210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))
19 simp33 1211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))
2017, 18, 193jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
2120ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
22 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ 𝑃 β‰  𝑑)
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))
241, 2, 33dimlem2 38318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑣)))
2516, 21, 22, 23, 24syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑣)))
261, 2, 33dim1lem5 38325 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
2715, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
2811, 17, 133jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
30 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
3117, 12jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
32 simp31 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑑 β‰  𝑒)
3332, 19jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
3430, 31, 333jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))))
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))))
36 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑃 β‰  𝑑)
37 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))
391, 2, 33dimlem3 38320 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒)))
4035, 36, 37, 38, 39syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒)))
411, 2, 33dim1lem5 38325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
4229, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
4311, 17, 123jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
4443ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
45 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
46 simpl21 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
47 simpl22 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
4846, 47jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
49 simpl31 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ 𝑑 β‰  𝑒)
50 simpl32 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))
5149, 50jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)))
5245, 48, 513jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))))
54 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)))
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))
561, 2, 33dimlem4 38323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒)))
5753, 54, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒)))
581, 2, 33dim1lem5 38325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
5944, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
6042, 59pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
6160anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
6227, 61pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
6310, 62pm2.61dane 3029 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
64633exp 1119 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))
65643expd 1353 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))))
66653exp 1119 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))))))
6766imp43 428 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))))
6867impd 411 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))
6968rexlimdvv 3210 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
7069rexlimdvva 3211 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
715, 70mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  lecple 17200  joincjn 18260  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  3dim2  38327  2dim  38329
  Copyright terms: Public domain W3C validator