Theorem 3dim1 40299

Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom 𝑃. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dim0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3dim0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3dim0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3dim1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑠,𝐴   ∨ ,𝑟,𝑠,𝑞   ≤ ,𝑞,𝑟,𝑠   𝑃,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠, 𝑟, 𝑞)

Proof of Theorem 3dim1

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		3dim0.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		3dim0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	3dim0 40289	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
6		simpl2 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
7	1, 2, 3	3dimlem1 40290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
8	7	3ad2antl3 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
9	1, 2, 3	3dim1lem5 40298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
10	6, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
11		simp13 1224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑡 ∈ 𝐴)
12		simp22 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
13		simp23 1227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑤 ∈ 𝐴)
14	11, 12, 13	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
16		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
17		simp21 1225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
18		simp32 1229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
19		simp33 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
20	17, 18, 19	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
22		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → 𝑃 ≠ 𝑡)
23		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
24	1, 2, 3	3dimlem2 40291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣)))
25	16, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣)))
26	1, 2, 3	3dim1lem5 40298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
27	15, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
28	11, 17, 13	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
30		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
31	17, 12	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
32		simp31 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑡 ≠ 𝑢)
33	32, 19	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
34	30, 31, 33	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))))
35	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))))
36		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → 𝑃 ≠ 𝑡)
37		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
38		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
39	1, 2, 3	3dimlem3 40293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
40	35, 36, 37, 38, 39	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
41	1, 2, 3	3dim1lem5 40298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
42	29, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
43	11, 17, 12	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
45		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
46		simpl21 1270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
47		simpl22 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
48	46, 47	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
49		simpl31 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑡 ≠ 𝑢)
50		simpl32 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
51	49, 50	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)))
52	45, 48, 51	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))))
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))))
54		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)))
55		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
56	1, 2, 3	3dimlem4 40296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
58	1, 2, 3	3dim1lem5 40298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
59	44, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
60	42, 59	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
61	60	anassrs 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
62	27, 61	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
63	10, 62	pm2.61dane 3047	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
64	63	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
65	64	3expd 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))))
66	65	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑡 ∈ 𝐴 → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))))))
67	66	imp43 433	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))))
68	67	impd 416	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
69	68	rexlimdvv 3223	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
70	69	rexlimdvva 3224	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
71	5, 70	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  lecple 17339  joincjn 18389  Atomscatm 40095  HLchlt 40182

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-p0 18501  df-p1 18502  df-lat 18510  df-clat 18577  df-oposet 40008  df-ol 40010  df-oml 40011  df-covers 40098  df-ats 40099  df-atl 40130  df-cvlat 40154  df-hlat 40183

This theorem is used by:  3dim2  40300  2dim  40302