Theorem 3dim1 39727

Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom 𝑃. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dim0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3dim0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3dim0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3dim1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑠,𝐴   ∨ ,𝑟,𝑠,𝑞   ≤ ,𝑞,𝑟,𝑠   𝑃,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 3dim1

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		3dim0.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		3dim0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	3dim0 39717	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
6		simpl2 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
7	1, 2, 3	3dimlem1 39718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
8	7	3ad2antl3 1188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
9	1, 2, 3	3dim1lem5 39726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
11		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑡 ∈ 𝐴)
12		simp22 1208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
13		simp23 1209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑤 ∈ 𝐴)
14	11, 12, 13	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
16		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
17		simp21 1207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
18		simp32 1211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
19		simp33 1212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
20	17, 18, 19	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
22		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → 𝑃 ≠ 𝑡)
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
24	1, 2, 3	3dimlem2 39719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣)))
25	16, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣)))
26	1, 2, 3	3dim1lem5 39726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
27	15, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
28	11, 17, 13	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
30		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
31	17, 12	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
32		simp31 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑡 ≠ 𝑢)
33	32, 19	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
34	30, 31, 33	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))))
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))))
36		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → 𝑃 ≠ 𝑡)
37		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
39	1, 2, 3	3dimlem3 39721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
40	35, 36, 37, 38, 39	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
41	1, 2, 3	3dim1lem5 39726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
42	29, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
43	11, 17, 12	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
45		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
46		simpl21 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
47		simpl22 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
48	46, 47	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
49		simpl31 1255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑡 ≠ 𝑢)
50		simpl32 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
51	49, 50	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)))
52	45, 48, 51	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))))
54		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)))
55		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
56	1, 2, 3	3dimlem4 39724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
58	1, 2, 3	3dim1lem5 39726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
59	44, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
60	42, 59	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
61	60	anassrs 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
62	27, 61	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
63	10, 62	pm2.61dane 3019	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
64	63	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
65	64	3expd 1354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))))
66	65	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑡 ∈ 𝐴 → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))))))
67	66	imp43 427	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))))
68	67	impd 410	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
69	68	rexlimdvv 3192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
70	69	rexlimdvva 3193	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
71	5, 70	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  lecple 17184  joincjn 18234  Atomscatm 39523  HLchlt 39610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611

This theorem is referenced by:  3dim2  39728  2dim  39730