Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim1 39449
Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom 𝑃. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑠,𝐴   ,𝑟,𝑠,𝑞   ,𝑞,𝑟,𝑠   𝑃,𝑞,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 3dim1
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim0 39439 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
54adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
6 simpl2 1191 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
71, 2, 33dimlem1 39440 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣)))
873ad2antl3 1186 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣)))
91, 2, 33dim1lem5 39448 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
11 simp13 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑡𝐴)
12 simp22 1206 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
13 simp23 1207 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑤𝐴)
1411, 12, 133jca 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
16 simpll1 1211 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
17 simp21 1205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝐴)
18 simp32 1209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))
19 simp33 1210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
2017, 18, 193jca 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
2120ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
22 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → 𝑃𝑡)
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → 𝑃 (𝑡 𝑢))
241, 2, 33dimlem2 39441 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) ∧ (𝑃𝑡𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣)))
2516, 21, 22, 23, 24syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣)))
261, 2, 33dim1lem5 39448 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
2715, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
2811, 17, 133jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴))
2928ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴))
30 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
3117, 12jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
32 simp31 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑡𝑢)
3332, 19jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
3430, 31, 333jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))))
3534ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))))
36 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑡)
37 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
391, 2, 33dimlem3 39443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
4035, 36, 37, 38, 39syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
411, 2, 33dim1lem5 39448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
4229, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
4311, 17, 123jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴))
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴))
45 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
46 simpl21 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑢𝐴)
47 simpl22 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑣𝐴)
4846, 47jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
49 simpl31 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑡𝑢)
50 simpl32 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))
5149, 50jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢)))
5245, 48, 513jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))))
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))))
54 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)))
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
561, 2, 33dimlem4 39446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
5753, 54, 55, 56syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
581, 2, 33dim1lem5 39448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
5944, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6042, 59pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6160anassrs 467 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6227, 61pm2.61dan 813 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6310, 62pm2.61dane 3026 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
64633exp 1118 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))
65643expd 1352 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))))
66653exp 1118 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → (𝑃𝐴 → (𝑡𝐴 → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))))))
6766imp43 427 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))))
6867impd 410 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → ((𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))
6968rexlimdvv 3209 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → (∃𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))
7069rexlimdvva 3210 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))
715, 70mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  lecple 17304  joincjn 18368  Atomscatm 39244  HLchlt 39331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332
This theorem is referenced by:  3dim2  39450  2dim  39452
  Copyright terms: Public domain W3C validator