Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 3dim1 38841
Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom 𝑃. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3dim0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3dim0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3dim1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘Ÿ,π‘ž,𝑠,𝐴   ∨ ,π‘Ÿ,𝑠,π‘ž   ≀ ,π‘ž,π‘Ÿ,𝑠   𝑃,π‘ž,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,π‘Ÿ,π‘ž)
Proof of Theorem 3dim1
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 3dim0.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 33dim0 38831 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
54adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
6 simpl2 1189 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑑) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
71, 2, 33dimlem1 38832 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) ∧ 𝑃 = 𝑑) β†’ (𝑃 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
873ad2antl3 1184 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑑) β†’ (𝑃 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
91, 2, 33dim1lem5 38840 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
106, 8, 9syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑑) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
11 simp13 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
12 simp22 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
13 simp23 1205 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
1411, 12, 133jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
1514ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
16 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
17 simp21 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
18 simp32 1207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))
19 simp33 1208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))
2017, 18, 193jca 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
2120ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
22 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ 𝑃 β‰  𝑑)
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))
241, 2, 33dimlem2 38833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑣)))
2516, 21, 22, 23, 24syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑣)))
261, 2, 33dim1lem5 38840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
2715, 25, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
2811, 17, 133jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
2928ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
30 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
3117, 12jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
32 simp31 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑑 β‰  𝑒)
3332, 19jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
3430, 31, 333jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))))
3534ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))))
36 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑃 β‰  𝑑)
37 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))
391, 2, 33dimlem3 38835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒)))
4035, 36, 37, 38, 39syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒)))
411, 2, 33dim1lem5 38840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
4229, 40, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
4311, 17, 123jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
4443ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
45 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
46 simpl21 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
47 simpl22 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
4846, 47jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
49 simpl31 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ 𝑑 β‰  𝑒)
50 simpl32 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))
5149, 50jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)))
5245, 48, 513jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))))
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))))
54 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)))
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))
561, 2, 33dimlem4 38838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒)))
5753, 54, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒)))
581, 2, 33dim1lem5 38840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑑) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∨ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
5944, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
6042, 59pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
6160anassrs 467 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
6227, 61pm2.61dan 810 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑑) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
6310, 62pm2.61dane 3021 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
64633exp 1116 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))
65643expd 1350 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))))
66653exp 1116 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))))))
6766imp43 427 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))))
6867impd 410 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))))
6968rexlimdvv 3202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
7069rexlimdvva 3203 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑑 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑑 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑑 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
715, 70mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  lecple 17209  joincjn 18272  Atomscatm 38636  HLchlt 38723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724
This theorem is referenced by:  3dim2  38842  2dim  38844
  Copyright terms: Public domain W3C validator