Theorem 3dim1 37481

Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom 𝑃. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dim0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3dim0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3dim0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3dim1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑠,𝐴   ∨ ,𝑟,𝑠,𝑞   ≤ ,𝑞,𝑟,𝑠   𝑃,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 3dim1

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		3dim0.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		3dim0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	3dim0 37471	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
5	4	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
6		simpl2 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
7	1, 2, 3	3dimlem1 37472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
8	7	3ad2antl3 1186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
9	1, 2, 3	3dim1lem5 37480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
11		simp13 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑡 ∈ 𝐴)
12		simp22 1206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
13		simp23 1207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑤 ∈ 𝐴)
14	11, 12, 13	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
15	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
16		simpll1 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
17		simp21 1205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
18		simp32 1209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
19		simp33 1210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
20	17, 18, 19	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
21	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
22		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → 𝑃 ≠ 𝑡)
23		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
24	1, 2, 3	3dimlem2 37473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣)))
25	16, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣)))
26	1, 2, 3	3dim1lem5 37480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
27	15, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
28	11, 17, 13	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
29	28	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
30		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
31	17, 12	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
32		simp31 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑡 ≠ 𝑢)
33	32, 19	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
34	30, 31, 33	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))))
35	34	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))))
36		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → 𝑃 ≠ 𝑡)
37		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
38		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
39	1, 2, 3	3dimlem3 37475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
40	35, 36, 37, 38, 39	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
41	1, 2, 3	3dim1lem5 37480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
42	29, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
43	11, 17, 12	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
44	43	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
45		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
46		simpl21 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
47		simpl22 1251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
48	46, 47	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
49		simpl31 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑡 ≠ 𝑢)
50		simpl32 1254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
51	49, 50	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)))
52	45, 48, 51	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))))
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))))
54		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)))
55		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
56	1, 2, 3	3dimlem4 37478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
58	1, 2, 3	3dim1lem5 37480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
59	44, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
60	42, 59	pm2.61dan 810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
61	60	anassrs 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
62	27, 61	pm2.61dan 810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
63	10, 62	pm2.61dane 3032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
64	63	3exp 1118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
65	64	3expd 1352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))))
66	65	3exp 1118	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑡 ∈ 𝐴 → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))))))
67	66	imp43 428	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))))
68	67	impd 411	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
69	68	rexlimdvv 3222	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
70	69	rexlimdvva 3223	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
71	5, 70	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  lecple 16969  joincjn 18029  Atomscatm 37277  HLchlt 37364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365

This theorem is referenced by:  3dim2  37482  2dim  37484