Theorem 3dim1 36077

Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom 𝑃. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dim0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3dim0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3dim0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3dim1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑠,𝐴   ∨ ,𝑟,𝑠,𝑞   ≤ ,𝑞,𝑟,𝑠   𝑃,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 3dim1

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		3dim0.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		3dim0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	3dim0 36067	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
5	4	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
6		simpl2 1172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
7	1, 2, 3	3dimlem1 36068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
8	7	3ad2antl3 1167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
9	1, 2, 3	3dim1lem5 36076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
10	6, 8, 9	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
11		simp13 1185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑡 ∈ 𝐴)
12		simp22 1187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
13		simp23 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑤 ∈ 𝐴)
14	11, 12, 13	3jca 1108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
15	14	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
16		simpll1 1192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
17		simp21 1186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
18		simp32 1190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
19		simp33 1191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
20	17, 18, 19	3jca 1108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
21	20	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
22		simplr 756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → 𝑃 ≠ 𝑡)
23		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
24	1, 2, 3	3dimlem2 36069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣)))
25	16, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣)))
26	1, 2, 3	3dim1lem5 36076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
27	15, 25, 26	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
28	11, 17, 13	3jca 1108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
29	28	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
30		simp1 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
31	17, 12	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
32		simp31 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑡 ≠ 𝑢)
33	32, 19	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
34	30, 31, 33	3jca 1108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))))
35	34	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))))
36		simplrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → 𝑃 ≠ 𝑡)
37		simplrr 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
39	1, 2, 3	3dimlem3 36071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
40	35, 36, 37, 38, 39	syl13anc 1352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
41	1, 2, 3	3dim1lem5 36076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
42	29, 40, 41	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
43	11, 17, 12	3jca 1108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
44	43	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
45		simpl1 1171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
46		simpl21 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
47		simpl22 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
48	46, 47	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
49		simpl31 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑡 ≠ 𝑢)
50		simpl32 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
51	49, 50	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)))
52	45, 48, 51	3jca 1108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))))
53	52	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))))
54		simplr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)))
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
56	1, 2, 3	3dimlem4 36074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
58	1, 2, 3	3dim1lem5 36076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
59	44, 57, 58	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
60	42, 59	pm2.61dan 800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
61	60	anassrs 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
62	27, 61	pm2.61dan 800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
63	10, 62	pm2.61dane 3049	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
64	63	3exp 1099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
65	64	3expd 1333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))))
66	65	3exp 1099	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑡 ∈ 𝐴 → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))))))
67	66	imp43 420	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))))
68	67	impd 402	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
69	68	rexlimdvv 3232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
70	69	rexlimdvva 3233	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
71	5, 70	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2961  ∃wrex 3083   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  lecple 16426  joincjn 17424  Atomscatm 35873  HLchlt 35960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-oposet 35786  df-ol 35788  df-oml 35789  df-covers 35876  df-ats 35877  df-atl 35908  df-cvlat 35932  df-hlat 35961

This theorem is referenced by:  3dim2  36078  2dim  36080