Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim1 38326
Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom 𝑃. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑠,𝐴   ,𝑟,𝑠,𝑞   ,𝑞,𝑟,𝑠   𝑃,𝑞,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 3dim1
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim0 38316 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
54adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
6 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
71, 2, 33dimlem1 38317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣)))
873ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣)))
91, 2, 33dim1lem5 38325 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
11 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑡𝐴)
12 simp22 1207 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
13 simp23 1208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑤𝐴)
1411, 12, 133jca 1128 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
16 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
17 simp21 1206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝐴)
18 simp32 1210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))
19 simp33 1211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
2017, 18, 193jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
2120ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
22 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → 𝑃𝑡)
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → 𝑃 (𝑡 𝑢))
241, 2, 33dimlem2 38318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) ∧ (𝑃𝑡𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣)))
2516, 21, 22, 23, 24syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣)))
261, 2, 33dim1lem5 38325 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
2715, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
2811, 17, 133jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴))
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴))
30 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
3117, 12jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
32 simp31 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑡𝑢)
3332, 19jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
3430, 31, 333jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))))
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))))
36 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑡)
37 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
391, 2, 33dimlem3 38320 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
4035, 36, 37, 38, 39syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
411, 2, 33dim1lem5 38325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
4229, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
4311, 17, 123jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴))
4443ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴))
45 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
46 simpl21 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑢𝐴)
47 simpl22 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑣𝐴)
4846, 47jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
49 simpl31 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑡𝑢)
50 simpl32 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))
5149, 50jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢)))
5245, 48, 513jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))))
54 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)))
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
561, 2, 33dimlem4 38323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
5753, 54, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
581, 2, 33dim1lem5 38325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
5944, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6042, 59pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6160anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6227, 61pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6310, 62pm2.61dane 3029 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
64633exp 1119 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))
65643expd 1353 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))))
66653exp 1119 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → (𝑃𝐴 → (𝑡𝐴 → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))))))
6766imp43 428 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))))
6867impd 411 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → ((𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))
6968rexlimdvv 3210 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → (∃𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))
7069rexlimdvva 3211 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))
715, 70mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7405  lecple 17200  joincjn 18260  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  3dim2  38327  2dim  38329
  Copyright terms: Public domain W3C validator