Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim1 36756
Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom 𝑃. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑠,𝐴   ,𝑟,𝑠,𝑞   ,𝑞,𝑟,𝑠   𝑃,𝑞,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 3dim1
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim0 36746 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
54adantr 484 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
6 simpl2 1189 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
71, 2, 33dimlem1 36747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣)))
873ad2antl3 1184 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣)))
91, 2, 33dim1lem5 36755 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
106, 8, 9syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
11 simp13 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑡𝐴)
12 simp22 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
13 simp23 1205 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑤𝐴)
1411, 12, 133jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
16 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
17 simp21 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝐴)
18 simp32 1207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))
19 simp33 1208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
2017, 18, 193jca 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
22 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → 𝑃𝑡)
23 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → 𝑃 (𝑡 𝑢))
241, 2, 33dimlem2 36748 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) ∧ (𝑃𝑡𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣)))
2516, 21, 22, 23, 24syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣)))
261, 2, 33dim1lem5 36755 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
2715, 25, 26syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
2811, 17, 133jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴))
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴))
30 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
3117, 12jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
32 simp31 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑡𝑢)
3332, 19jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
3430, 31, 333jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))))
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))))
36 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑡)
37 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))
38 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
391, 2, 33dimlem3 36750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
4035, 36, 37, 38, 39syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
411, 2, 33dim1lem5 36755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
4229, 40, 41syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
4311, 17, 123jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴))
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴))
45 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
46 simpl21 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑢𝐴)
47 simpl22 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑣𝐴)
4846, 47jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
49 simpl31 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑡𝑢)
50 simpl32 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))
5149, 50jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢)))
5245, 48, 513jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))))
5352adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))))
54 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)))
55 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
561, 2, 33dimlem4 36753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
5753, 54, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
581, 2, 33dim1lem5 36755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
5944, 57, 58syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6042, 59pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6160anassrs 471 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6227, 61pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6310, 62pm2.61dane 3077 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
64633exp 1116 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))
65643expd 1350 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))))
66653exp 1116 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → (𝑃𝐴 → (𝑡𝐴 → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))))))
6766imp43 431 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))))
6867impd 414 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → ((𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))
6968rexlimdvv 3255 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → (∃𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))
7069rexlimdvva 3256 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))
715, 70mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  lecple 16567  joincjn 17549  Atomscatm 36552  HLchlt 36639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640
This theorem is referenced by:  3dim2  36757  2dim  36759
  Copyright terms: Public domain W3C validator