Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim1 35266
Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom 𝑃. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑠,𝐴   ,𝑟,𝑠,𝑞   ,𝑞,𝑟,𝑠   𝑃,𝑞,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 3dim1
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim0 35256 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
54adantr 468 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
6 simpl2 1237 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
71, 2, 33dimlem1 35257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣)))
873ad2antl3 1231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣)))
91, 2, 33dim1lem5 35265 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
106, 8, 9syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
11 simp13 1255 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑡𝐴)
12 simp22 1257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
13 simp23 1258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑤𝐴)
1411, 12, 133jca 1151 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
1514ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴))
16 simpll1 1262 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
17 simp21 1256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝐴)
18 simp32 1260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))
19 simp33 1261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
2017, 18, 193jca 1151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
2120ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
22 simplr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → 𝑃𝑡)
23 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → 𝑃 (𝑡 𝑢))
241, 2, 33dimlem2 35258 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) ∧ (𝑃𝑡𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣)))
2516, 21, 22, 23, 24syl112anc 1486 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣)))
261, 2, 33dim1lem5 35265 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
2715, 25, 26syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
2811, 17, 133jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴))
2928ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴))
30 simp1 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
3117, 12jca 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
32 simp31 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → 𝑡𝑢)
3332, 19jca 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)))
3430, 31, 333jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))))
3534ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))))
36 simplrl 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑡)
37 simplrr 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))
38 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
391, 2, 33dimlem3 35260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
4035, 36, 37, 38, 39syl13anc 1484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
411, 2, 33dim1lem5 35265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝐴𝑢𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑡) 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
4229, 40, 41syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
4311, 17, 123jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴))
4443ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴))
45 simpl1 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴))
46 simpl21 1328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑢𝐴)
47 simpl22 1330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑣𝐴)
4846, 47jca 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
49 simpl31 1334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → 𝑡𝑢)
50 simpl32 1336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))
5149, 50jca 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢)))
5245, 48, 513jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))))
5352adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))))
54 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)))
55 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣))
561, 2, 33dimlem4 35263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
5753, 54, 55, 56syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢)))
581, 2, 33dim1lem5 35265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑡) 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
5944, 57, 58syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6042, 59pm2.61dan 838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑡 ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6160anassrs 455 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) ∧ ¬ 𝑃 (𝑡 𝑢)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6227, 61pm2.61dan 838 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑡) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
6310, 62pm2.61dane 3076 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
64633exp 1141 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))
65643expd 1455 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑡𝐴) → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))))
66653exp 1141 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → (𝑃𝐴 → (𝑡𝐴 → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))))))
6766imp43 416 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))))
6867impd 398 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → ((𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))))
6968rexlimdvv 3236 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑡𝐴𝑢𝐴)) → (∃𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))
7069rexlimdvva 3237 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (∃𝑡𝐴𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑡𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑡 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑡 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟))))
715, 70mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wrex 3108   class class class wbr 4855  cfv 6111  (class class class)co 6884  lecple 16180  joincjn 17169  Atomscatm 35062  HLchlt 35149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-proset 17153  df-poset 17171  df-plt 17183  df-lub 17199  df-glb 17200  df-join 17201  df-meet 17202  df-p0 17264  df-p1 17265  df-lat 17271  df-clat 17333  df-oposet 34975  df-ol 34977  df-oml 34978  df-covers 35065  df-ats 35066  df-atl 35097  df-cvlat 35121  df-hlat 35150
This theorem is referenced by:  3dim2  35267  2dim  35269
  Copyright terms: Public domain W3C validator