MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecindp 20989
Description: Compute the 𝑋 coefficient in a sum with an independent vector 𝑋 (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions π‘Œ and 𝑍 (second conjunct). Typically, π‘ˆ is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecindp.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lvecindp.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecindp.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecindp.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecindp.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lvecindp.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecindp.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lvecindp.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecindp.n (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
lvecindp.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
lvecindp.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
lvecindp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lvecindp.e (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + π‘Œ) = ((𝐡 Β· 𝑋) + 𝑍))
Assertion
Ref Expression
lvecindp (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∧ π‘Œ = 𝑍))

Proof of Theorem lvecindp
StepHypRef Expression
1 lvecindp.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
2 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
3 eqid 2726 . . . 4 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
4 lvecindp.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lveclmod 20954 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 lvecindp.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8 lvecindp.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
108, 9lspsnsubg 20827 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
116, 7, 10syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
12 lvecindp.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1312lsssssubg 20805 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
146, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
15 lvecindp.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1614, 15sseldd 3978 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
17 lvecindp.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
188, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17lspdisj 20976 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = {(0gβ€˜π‘Š)})
19 lmodabl 20755 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
206, 19syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
213, 20, 11, 16ablcntzd 19777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜π‘ˆ))
22 lvecindp.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
23 lvecindp.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
24 lvecindp.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
25 lvecindp.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
268, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7lspsneli 20848 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}))
27 lvecindp.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
288, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7lspsneli 20848 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}))
29 lvecindp.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
30 lvecindp.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
31 lvecindp.e . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + π‘Œ) = ((𝐡 Β· 𝑋) + 𝑍))
321, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj1 19611 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋))
332, 12, 6, 15, 17lssvneln0 20799 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
348, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 33lvecvscan2 20963 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐡))
3532, 34mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)
361, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj2 19612 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ = 𝑍)
3735, 36jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∧ π‘Œ = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  {csn 4623  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  SubGrpcsubg 19047  Cntzccntz 19231  Abelcabl 19701  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951
This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  41091  baerlem5alem1  41092  baerlem5blem1  41093
  Copyright terms: Public domain W3C validator