Theorem lvecindp 21158

Description: Compute the 𝑋 coefficient in a sum with an independent vector 𝑋 (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions 𝑌 and 𝑍 (second conjunct). Typically, 𝑈 is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecindp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lvecindp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecindp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lvecindp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecindp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lvecindp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecindp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
lvecindp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
lvecindp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
lvecindp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecindp.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
lvecindp	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem lvecindp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecindp.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
4		lvecindp.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21123	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lvecindp.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lvecindp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
10	8, 9	lspsnsubg 20996	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11	6, 7, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
12		lvecindp.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13	12	lsssssubg 20974	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15		lvecindp.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
16	14, 15	sseldd 3996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17		lvecindp.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
18	8, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17	lspdisj 21145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = {(0g‘𝑊)})
19		lmodabl 20924	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
20	6, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
21	3, 20, 11, 16	ablcntzd 19890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
22		lvecindp.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
23		lvecindp.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
24		lvecindp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
25		lvecindp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
26	8, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7	ellspsni 21017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
27		lvecindp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
28	8, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7	ellspsni 21017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
29		lvecindp.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
30		lvecindp.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
31		lvecindp.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))
32	1, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31	subgdisj1 19724	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋))
33	2, 12, 6, 15, 17	lssvneln0 20968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
34	8, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 33	lvecvscan2 21132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))
35	32, 34	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
36	1, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31	subgdisj2 19725	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)
37	35, 36	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑌 = 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  SubGrpcsubg 19151  Cntzccntz 19346  Abelcabl 19814  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120

This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  41690  baerlem5alem1  41691  baerlem5blem1  41692