Theorem lvecindp 21128

Description: Compute the 𝑋 coefficient in a sum with an independent vector 𝑋 (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions 𝑌 and 𝑍 (second conjunct). Typically, 𝑈 is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecindp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lvecindp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecindp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lvecindp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecindp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lvecindp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecindp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
lvecindp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
lvecindp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
lvecindp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecindp.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
lvecindp	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem lvecindp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecindp.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
4		lvecindp.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21093	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lvecindp.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lvecindp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
10	8, 9	lspsnsubg 20966	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11	6, 7, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
12		lvecindp.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13	12	lsssssubg 20944	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15		lvecindp.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
16	14, 15	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17		lvecindp.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
18	8, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17	lspdisj 21115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = {(0g‘𝑊)})
19		lmodabl 20895	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
20	6, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
21	3, 20, 11, 16	ablcntzd 19823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
22		lvecindp.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
23		lvecindp.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
24		lvecindp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
25		lvecindp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
26	8, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7	ellspsni 20987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
27		lvecindp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
28	8, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7	ellspsni 20987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
29		lvecindp.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
30		lvecindp.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
31		lvecindp.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))
32	1, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31	subgdisj1 19657	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋))
33	2, 12, 6, 15, 17	lssvneln0 20938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
34	8, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 33	lvecvscan2 21102	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))
35	32, 34	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
36	1, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31	subgdisj2 19658	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)
37	35, 36	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑌 = 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  SubGrpcsubg 19087  Cntzccntz 19281  Abelcabl 19747  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917  LSpanclspn 20957  LVecclvec 21089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lvec 21090

This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  42167  baerlem5alem1  42168  baerlem5blem1  42169