Theorem lvecindp 21073

Description: Compute the 𝑋 coefficient in a sum with an independent vector 𝑋 (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions 𝑌 and 𝑍 (second conjunct). Typically, 𝑈 is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecindp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lvecindp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecindp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lvecindp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecindp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lvecindp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecindp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
lvecindp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
lvecindp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
lvecindp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecindp.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
lvecindp	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem lvecindp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecindp.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
4		lvecindp.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21038	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lvecindp.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lvecindp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
10	8, 9	lspsnsubg 20911	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11	6, 7, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
12		lvecindp.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13	12	lsssssubg 20889	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15		lvecindp.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
16	14, 15	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17		lvecindp.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
18	8, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17	lspdisj 21060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = {(0g‘𝑊)})
19		lmodabl 20840	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
20	6, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
21	3, 20, 11, 16	ablcntzd 19767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
22		lvecindp.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
23		lvecindp.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
24		lvecindp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
25		lvecindp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
26	8, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7	ellspsni 20932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
27		lvecindp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
28	8, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7	ellspsni 20932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
29		lvecindp.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
30		lvecindp.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
31		lvecindp.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))
32	1, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31	subgdisj1 19601	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋))
33	2, 12, 6, 15, 17	lssvneln0 20883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
34	8, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 33	lvecvscan2 21047	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))
35	32, 34	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
36	1, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31	subgdisj2 19602	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)
37	35, 36	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑌 = 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  Scalarcsca 17161   ·_𝑠 cvsca 17162  0_gc0g 17340  SubGrpcsubg 19030  Cntzccntz 19225  Abelcabl 19691  LModclmod 20791  LSubSpclss 20862  LSpanclspn 20902  LVecclvec 21034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-lvec 21035

This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  41745  baerlem5alem1  41746  baerlem5blem1  41747