MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecindp 20029
Description: Compute the 𝑋 coefficient in a sum with an independent vector 𝑋 (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions 𝑌 and 𝑍 (second conjunct). Typically, 𝑈 is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp.p + = (+g𝑊)
lvecindp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp.t · = ( ·𝑠𝑊)
lvecindp.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lvecindp.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecindp.u (𝜑𝑈𝑆)
lvecindp.x (𝜑𝑋𝑉)
lvecindp.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lvecindp.y (𝜑𝑌𝑈)
lvecindp.z (𝜑𝑍𝑈)
lvecindp.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecindp.b (𝜑𝐵𝐾)
lvecindp.e (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))
Assertion
Ref Expression
lvecindp (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem lvecindp
StepHypRef Expression
1 lvecindp.p . . . 4 + = (+g𝑊)
2 eqid 2738 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3 eqid 2738 . . . 4 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
4 lvecindp.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19997 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lvecindp.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
8 lvecindp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 eqid 2738 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
108, 9lspsnsubg 19871 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
116, 7, 10syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
12 lvecindp.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1312lsssssubg 19849 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
146, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15 lvecindp.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
1614, 15sseldd 3878 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17 lvecindp.n . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
188, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17lspdisj 20016 . . . 4 (𝜑 → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = {(0g𝑊)})
19 lmodabl 19800 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
206, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
213, 20, 11, 16ablcntzd 19096 . . . 4 (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
22 lvecindp.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
23 lvecindp.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
24 lvecindp.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
25 lvecindp.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐾)
268, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7lspsneli 19892 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
27 lvecindp.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
288, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7lspsneli 19892 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
29 lvecindp.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
30 lvecindp.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑈)
31 lvecindp.e . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))
321, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj1 18935 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋))
332, 12, 6, 15, 17lssvneln0 19842 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ (0g𝑊))
348, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 33lvecvscan2 20003 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3532, 34mpbid 235 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
361, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj2 18936 . 2 (𝜑𝑌 = 𝑍)
3735, 36jca 515 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝑌 = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3843  {csn 4516  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  +gcplusg 16668  Scalarcsca 16671   ·𝑠 cvsca 16672  0gc0g 16816  SubGrpcsubg 18391  Cntzccntz 18563  Abelcabl 19025  LModclmod 19753  LSubSpclss 19822  LSpanclspn 19862  LVecclvec 19993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-drng 19623  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lvec 19994
This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  39344  baerlem5alem1  39345  baerlem5blem1  39346
  Copyright terms: Public domain W3C validator