Theorem lvecindp 19903

Description: Compute the 𝑋 coefficient in a sum with an independent vector 𝑋 (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions 𝑌 and 𝑍 (second conjunct). Typically, 𝑈 is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecindp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lvecindp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecindp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lvecindp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecindp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lvecindp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecindp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
lvecindp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
lvecindp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
lvecindp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecindp.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
lvecindp	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem lvecindp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecindp.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
3		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
4		lvecindp.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 19871	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lvecindp.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lvecindp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
10	8, 9	lspsnsubg 19745	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11	6, 7, 10	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
12		lvecindp.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13	12	lsssssubg 19723	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15		lvecindp.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
16	14, 15	sseldd 3916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17		lvecindp.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
18	8, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17	lspdisj 19890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = {(0g‘𝑊)})
19		lmodabl 19674	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
20	6, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
21	3, 20, 11, 16	ablcntzd 18970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
22		lvecindp.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
23		lvecindp.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
24		lvecindp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
25		lvecindp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
26	8, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7	lspsneli 19766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
27		lvecindp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
28	8, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7	lspsneli 19766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
29		lvecindp.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
30		lvecindp.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
31		lvecindp.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))
32	1, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31	subgdisj1 18809	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋))
33	2, 12, 6, 15, 17	lssvneln0 19716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
34	8, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 33	lvecvscan2 19877	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))
35	32, 34	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
36	1, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31	subgdisj2 18810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)
37	35, 36	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑌 = 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705  SubGrpcsubg 18265  Cntzccntz 18437  Abelcabl 18899  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736  LVecclvec 19867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868

This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  39003  baerlem5alem1  39004  baerlem5blem1  39005