MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecindp 21040
Description: Compute the 𝑋 coefficient in a sum with an independent vector 𝑋 (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions π‘Œ and 𝑍 (second conjunct). Typically, π‘ˆ is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecindp.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lvecindp.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecindp.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecindp.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecindp.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lvecindp.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecindp.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lvecindp.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecindp.n (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
lvecindp.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
lvecindp.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
lvecindp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lvecindp.e (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + π‘Œ) = ((𝐡 Β· 𝑋) + 𝑍))
Assertion
Ref Expression
lvecindp (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∧ π‘Œ = 𝑍))

Proof of Theorem lvecindp
StepHypRef Expression
1 lvecindp.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
2 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
3 eqid 2728 . . . 4 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
4 lvecindp.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lveclmod 21005 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 lvecindp.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8 lvecindp.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2728 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
108, 9lspsnsubg 20878 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
116, 7, 10syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
12 lvecindp.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1312lsssssubg 20856 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
146, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
15 lvecindp.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1614, 15sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
17 lvecindp.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
188, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17lspdisj 21027 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = {(0gβ€˜π‘Š)})
19 lmodabl 20806 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
206, 19syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
213, 20, 11, 16ablcntzd 19826 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜π‘ˆ))
22 lvecindp.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
23 lvecindp.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
24 lvecindp.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
25 lvecindp.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
268, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7lspsneli 20899 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}))
27 lvecindp.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
288, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7lspsneli 20899 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}))
29 lvecindp.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
30 lvecindp.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
31 lvecindp.e . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + π‘Œ) = ((𝐡 Β· 𝑋) + 𝑍))
321, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj1 19660 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋))
332, 12, 6, 15, 17lssvneln0 20850 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
348, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 33lvecvscan2 21014 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐡))
3532, 34mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)
361, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj2 19661 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ = 𝑍)
3735, 36jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∧ π‘Œ = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  {csn 4632  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  0gc0g 17430  SubGrpcsubg 19089  Cntzccntz 19280  Abelcabl 19750  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829  LSpanclspn 20869  LVecclvec 21001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002
This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  41220  baerlem5alem1  41221  baerlem5blem1  41222
  Copyright terms: Public domain W3C validator