Theorem lvecindp 20315

Description: Compute the 𝑋 coefficient in a sum with an independent vector 𝑋 (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions 𝑌 and 𝑍 (second conjunct). Typically, 𝑈 is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecindp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lvecindp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecindp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lvecindp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecindp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lvecindp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecindp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
lvecindp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
lvecindp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
lvecindp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecindp.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
lvecindp	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem lvecindp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecindp.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
4		lvecindp.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 20283	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lvecindp.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lvecindp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
10	8, 9	lspsnsubg 20157	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11	6, 7, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
12		lvecindp.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13	12	lsssssubg 20135	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15		lvecindp.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
16	14, 15	sseldd 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17		lvecindp.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
18	8, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17	lspdisj 20302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = {(0g‘𝑊)})
19		lmodabl 20085	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
20	6, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
21	3, 20, 11, 16	ablcntzd 19373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
22		lvecindp.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
23		lvecindp.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
24		lvecindp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
25		lvecindp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
26	8, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7	lspsneli 20178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
27		lvecindp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
28	8, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7	lspsneli 20178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
29		lvecindp.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
30		lvecindp.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
31		lvecindp.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))
32	1, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31	subgdisj1 19212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋))
33	2, 12, 6, 15, 17	lssvneln0 20128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
34	8, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 33	lvecvscan2 20289	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))
35	32, 34	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
36	1, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31	subgdisj2 19213	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)
37	35, 36	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑌 = 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  SubGrpcsubg 18664  Cntzccntz 18836  Abelcabl 19302  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280

This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  39648  baerlem5alem1  39649  baerlem5blem1  39650