Theorem ablfacrp2 19585

Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 19584 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ablfacrp2	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfacrp.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2		ablfacrp.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ablfacrp.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0mulcld 12228	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
8		ablfacrp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9	8	fvexi 6770	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		hashclb 14001	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
12	7, 11	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		ablfacrp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
14	13	ssrab3 4011	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ⊆ 𝐵
15		ssfi 8918	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
16	12, 14, 15	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
17		hashcl 13999	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
19		ablfacrp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
20	2	nnzd 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		ablfacrp.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
22	21, 8	oddvdssubg 19371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	19, 20, 22	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
24	13, 23	eqeltrid 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	8	lagsubg 18733	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
26	24, 12, 25	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
27	2	nncnd 11919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	4	nncnd 11919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	27, 28	mulcomd 10927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
30	1, 29	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
31	26, 30	breqtrd 5096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
32		ablfacrp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
33		ablfacrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
34	8, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1	ablfacrplem 19583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
35	18	nn0zd 12353	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
36	4	nnzd 12354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
37		coprmdvds 16286	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
38	35, 36, 20, 37	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
39	31, 34, 38	mp2and 695	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀)
40	21, 8	oddvdssubg 19371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
41	19, 36, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
42	32, 41	eqeltrid 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43	8	lagsubg 18733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
44	42, 12, 43	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
45	44, 1	breqtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
46	20, 36	gcdcomd 16149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
47	46, 33	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
48	8, 21, 32, 13, 19, 4, 2, 47, 30	ablfacrplem 19583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
49	32	ssrab3 4011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ⊆ 𝐵
50		ssfi 8918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿 ⊆ 𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
51	12, 49, 50	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Fin)
52		hashcl 13999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
54	53	nn0zd 12353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℤ)
55		coprmdvds 16286	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
56	54, 20, 36, 55	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
57	45, 48, 56	mp2and 695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁)
58		dvdscmul 15920	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
59	54, 36, 20, 58	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
60	57, 59	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
61		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
62		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
63	8, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1, 61, 62	ablfacrp 19584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
64	63	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
65	64	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (♯‘𝐵))
66		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
67	63	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)})
68	66, 19, 24, 42	ablcntzd 19373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
69	62, 61, 66, 24, 42, 67, 68, 16, 51	lsmhash 19226	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
70	65, 69	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
71	70, 1	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
72	60, 71	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
73	61	subg0cl 18678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐿)
74		ne0i 4265	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐿 → 𝐿 ≠ ∅)
75	42, 73, 74	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ ∅)
76		hashnncl 14009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
77	51, 76	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
78	75, 77	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ)
79	78	nnne0d 11953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ≠ 0)
80		dvdsmulcr 15923	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
81	20, 35, 54, 79, 80	syl112anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
82	72, 81	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (♯‘𝐾))
83		dvdseq 15951	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾))) → (♯‘𝐾) = 𝑀)
84	18, 3, 39, 82, 83	syl22anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = 𝑀)
85		dvdsmulc 15921	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
86	35, 20, 36, 85	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
87	39, 86	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
88	87, 71	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
89	84, 2	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
90	89	nnne0d 11953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
91		dvdscmulr 15922	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
92	36, 54, 35, 90, 91	syl112anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
93	88, 92	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ (♯‘𝐿))
94		dvdseq 15951	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝐿) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿))) → (♯‘𝐿) = 𝑁)
95	53, 5, 57, 93, 94	syl22anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) = 𝑁)
96	84, 95	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ♯chash 13972   ∥ cdvds 15891   gcd cgcd 16129  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  SubGrpcsubg 18664  Cntzccntz 18836  odcod 19047  LSSumclsm 19154  Abelcabl 19302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-pc 16466  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-eqg 18669  df-ga 18811  df-cntz 18838  df-od 19051  df-lsm 19156  df-pj1 19157  df-cmn 19303  df-abl 19304

This theorem is referenced by:  ablfac1a  19587