MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp2 19847
Description: The factors ๐พ, ๐ฟ of ablfacrp 19846 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose ๐บ into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfacrp.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfacrp.k ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
ablfacrp.l ๐ฟ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}
ablfacrp.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfacrp.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
ablfacrp.2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
Assertion
Ref Expression
ablfacrp2 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = ๐‘€ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ฟ) = ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘‚   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐พ(๐‘ฅ)   ๐ฟ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ablfacrp2
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
2 ablfacrp.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32nnnn0d 12474 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4 ablfacrp.n . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54nnnn0d 12474 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
63, 5nn0mulcld 12479 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
71, 6eqeltrd 2838 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
8 ablfacrp.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
98fvexi 6857 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ V
10 hashclb 14259 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0))
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
127, 11sylibr 233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
13 ablfacrp.k . . . . . 6 ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
1413ssrab3 4041 . . . . 5 ๐พ โŠ† ๐ต
15 ssfi 9118 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐พ โŠ† ๐ต) โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
1612, 14, 15sylancl 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
17 hashcl 14257 . . . 4 (๐พ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
1816, 17syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
19 ablfacrp.g . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
202nnzd 12527 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
21 ablfacrp.o . . . . . . . . 9 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
2221, 8oddvdssubg 19634 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2319, 20, 22syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2413, 23eqeltrid 2842 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
258lagsubg 18993 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
2624, 12, 25syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
272nncnd 12170 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
284nncnd 12170 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2927, 28mulcomd 11177 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
301, 29eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘ ยท ๐‘€))
3126, 30breqtrd 5132 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€))
32 ablfacrp.l . . . . 5 ๐ฟ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}
33 ablfacrp.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
348, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1ablfacrplem 19845 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1)
3518nn0zd 12526 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
364nnzd 12527 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
37 coprmdvds 16530 . . . . 5 (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€))
3835, 36, 20, 37syl3anc 1372 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€))
3931, 34, 38mp2and 698 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€)
4021, 8oddvdssubg 19634 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4119, 36, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4232, 41eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
438lagsubg 18993 . . . . . . . . 9 ((๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
4442, 12, 43syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
4544, 1breqtrd 5132 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
4620, 36gcdcomd 16395 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐‘€))
4746, 33eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = 1)
488, 21, 32, 13, 19, 4, 2, 47, 30ablfacrplem 19845 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) gcd ๐‘€) = 1)
4932ssrab3 4041 . . . . . . . . . . 11 ๐ฟ โŠ† ๐ต
50 ssfi 9118 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐ฟ โŠ† ๐ต) โ†’ ๐ฟ โˆˆ Fin)
5112, 49, 50sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ Fin)
52 hashcl 14257 . . . . . . . . . 10 (๐ฟ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„•0)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„•0)
5453nn0zd 12526 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„ค)
55 coprmdvds 16530 . . . . . . . 8 (((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘))
5654, 20, 36, 55syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘))
5745, 48, 56mp2and 698 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘)
58 dvdscmul 16166 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
5954, 36, 20, 58syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
6057, 59mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
61 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
62 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (LSSumโ€˜๐บ) = (LSSumโ€˜๐บ)
638, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1, 61, 62ablfacrp 19846 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โˆฉ ๐ฟ) = {(0gโ€˜๐บ)} โˆง (๐พ(LSSumโ€˜๐บ)๐ฟ) = ๐ต))
6463simprd 497 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ(LSSumโ€˜๐บ)๐ฟ) = ๐ต)
6564fveq2d 6847 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐พ(LSSumโ€˜๐บ)๐ฟ)) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
66 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Cntzโ€˜๐บ) = (Cntzโ€˜๐บ)
6763simpld 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆฉ ๐ฟ) = {(0gโ€˜๐บ)})
6866, 19, 24, 42ablcntzd 19636 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โŠ† ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜๐ฟ))
6962, 61, 66, 24, 42, 67, 68, 16, 51lsmhash 19488 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐พ(LSSumโ€˜๐บ)๐ฟ)) = ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
7065, 69eqtr3d 2779 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
7170, 1eqtr3d 2779 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
7260, 71breqtrrd 5134 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
7361subg0cl 18937 . . . . . . . 8 (๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ฟ)
74 ne0i 4295 . . . . . . . 8 ((0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ฟ โ†’ ๐ฟ โ‰  โˆ…)
7542, 73, 743syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โ‰  โˆ…)
76 hashnncl 14267 . . . . . . . 8 (๐ฟ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„• โ†” ๐ฟ โ‰  โˆ…))
7751, 76syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„• โ†” ๐ฟ โ‰  โˆ…))
7875, 77mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„•)
7978nnne0d 12204 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โ‰  0)
80 dvdsmulcr 16169 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โ†” ๐‘€ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)))
8120, 35, 54, 79, 80syl112anc 1375 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โ†” ๐‘€ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)))
8272, 81mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ))
83 dvdseq 16197 . . 3 ((((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) = ๐‘€)
8418, 3, 39, 82, 83syl22anc 838 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) = ๐‘€)
85 dvdsmulc 16167 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
8635, 20, 36, 85syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
8739, 86mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
8887, 71breqtrrd 5134 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
8984, 2eqeltrd 2838 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
9089nnne0d 12204 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โ‰  0)
91 dvdscmulr 16168 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„ค โˆง ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐พ) โ‰  0)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โ†” ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
9236, 54, 35, 90, 91syl112anc 1375 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โ†” ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
9388, 92mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ฟ))
94 dvdseq 16197 . . 3 ((((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ฟ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) = ๐‘)
9553, 5, 57, 93, 94syl22anc 838 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) = ๐‘)
9684, 95jca 513 1 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = ๐‘€ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ฟ) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  {crab 3408  Vcvv 3446   โˆฉ cin 3910   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057  โ„•cn 12154  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โ™ฏchash 14231   โˆฅ cdvds 16137   gcd cgcd 16375  Basecbs 17084  0gc0g 17322  SubGrpcsubg 18923  Cntzccntz 19096  odcod 19307  LSSumclsm 19417  Abelcabl 19564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-acn 9879  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-fac 14175  df-bc 14204  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-pc 16710  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mulg 18874  df-subg 18926  df-eqg 18928  df-ga 19071  df-cntz 19098  df-od 19311  df-lsm 19419  df-pj1 19420  df-cmn 19565  df-abl 19566
This theorem is referenced by:  ablfac1a  19849
  Copyright terms: Public domain W3C validator