MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp2 19978
Description: The factors ๐พ, ๐ฟ of ablfacrp 19977 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose ๐บ into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfacrp.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfacrp.k ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
ablfacrp.l ๐ฟ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}
ablfacrp.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfacrp.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
ablfacrp.2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
Assertion
Ref Expression
ablfacrp2 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = ๐‘€ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ฟ) = ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘‚   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐พ(๐‘ฅ)   ๐ฟ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ablfacrp2
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
2 ablfacrp.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32nnnn0d 12536 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4 ablfacrp.n . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54nnnn0d 12536 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
63, 5nn0mulcld 12541 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
71, 6eqeltrd 2831 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
8 ablfacrp.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
98fvexi 6904 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ V
10 hashclb 14322 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0))
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
127, 11sylibr 233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
13 ablfacrp.k . . . . . 6 ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
1413ssrab3 4079 . . . . 5 ๐พ โІ ๐ต
15 ssfi 9175 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐พ โІ ๐ต) โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
1612, 14, 15sylancl 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
17 hashcl 14320 . . . 4 (๐พ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
1816, 17syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
19 ablfacrp.g . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
202nnzd 12589 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
21 ablfacrp.o . . . . . . . . 9 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
2221, 8oddvdssubg 19764 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2319, 20, 22syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2413, 23eqeltrid 2835 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
258lagsubg 19110 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
2624, 12, 25syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
272nncnd 12232 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
284nncnd 12232 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2927, 28mulcomd 11239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
301, 29eqtrd 2770 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘ ยท ๐‘€))
3126, 30breqtrd 5173 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€))
32 ablfacrp.l . . . . 5 ๐ฟ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}
33 ablfacrp.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
348, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1ablfacrplem 19976 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1)
3518nn0zd 12588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
364nnzd 12589 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
37 coprmdvds 16594 . . . . 5 (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€))
3835, 36, 20, 37syl3anc 1369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€))
3931, 34, 38mp2and 695 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€)
4021, 8oddvdssubg 19764 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4119, 36, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4232, 41eqeltrid 2835 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
438lagsubg 19110 . . . . . . . . 9 ((๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
4442, 12, 43syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
4544, 1breqtrd 5173 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
4620, 36gcdcomd 16459 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐‘€))
4746, 33eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = 1)
488, 21, 32, 13, 19, 4, 2, 47, 30ablfacrplem 19976 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) gcd ๐‘€) = 1)
4932ssrab3 4079 . . . . . . . . . . 11 ๐ฟ โІ ๐ต
50 ssfi 9175 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐ฟ โІ ๐ต) โ†’ ๐ฟ โˆˆ Fin)
5112, 49, 50sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ Fin)
52 hashcl 14320 . . . . . . . . . 10 (๐ฟ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„•0)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„•0)
5453nn0zd 12588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„ค)
55 coprmdvds 16594 . . . . . . . 8 (((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘))
5654, 20, 36, 55syl3anc 1369 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘))
5745, 48, 56mp2and 695 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘)
58 dvdscmul 16230 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
5954, 36, 20, 58syl3anc 1369 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
6057, 59mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
61 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
62 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (LSSumโ€˜๐บ) = (LSSumโ€˜๐บ)
638, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1, 61, 62ablfacrp 19977 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โˆฉ ๐ฟ) = {(0gโ€˜๐บ)} โˆง (๐พ(LSSumโ€˜๐บ)๐ฟ) = ๐ต))
6463simprd 494 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ(LSSumโ€˜๐บ)๐ฟ) = ๐ต)
6564fveq2d 6894 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐พ(LSSumโ€˜๐บ)๐ฟ)) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
66 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Cntzโ€˜๐บ) = (Cntzโ€˜๐บ)
6763simpld 493 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆฉ ๐ฟ) = {(0gโ€˜๐บ)})
6866, 19, 24, 42ablcntzd 19766 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โІ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜๐ฟ))
6962, 61, 66, 24, 42, 67, 68, 16, 51lsmhash 19614 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐พ(LSSumโ€˜๐บ)๐ฟ)) = ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
7065, 69eqtr3d 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
7170, 1eqtr3d 2772 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
7260, 71breqtrrd 5175 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
7361subg0cl 19050 . . . . . . . 8 (๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ฟ)
74 ne0i 4333 . . . . . . . 8 ((0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ฟ โ†’ ๐ฟ โ‰  โˆ…)
7542, 73, 743syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โ‰  โˆ…)
76 hashnncl 14330 . . . . . . . 8 (๐ฟ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„• โ†” ๐ฟ โ‰  โˆ…))
7751, 76syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„• โ†” ๐ฟ โ‰  โˆ…))
7875, 77mpbird 256 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„•)
7978nnne0d 12266 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โ‰  0)
80 dvdsmulcr 16233 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โ†” ๐‘€ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)))
8120, 35, 54, 79, 80syl112anc 1372 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โ†” ๐‘€ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)))
8272, 81mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ))
83 dvdseq 16261 . . 3 ((((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) = ๐‘€)
8418, 3, 39, 82, 83syl22anc 835 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) = ๐‘€)
85 dvdsmulc 16231 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
8635, 20, 36, 85syl3anc 1369 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
8739, 86mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
8887, 71breqtrrd 5175 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
8984, 2eqeltrd 2831 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
9089nnne0d 12266 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โ‰  0)
91 dvdscmulr 16232 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„ค โˆง ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐พ) โ‰  0)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โ†” ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
9236, 54, 35, 90, 91syl112anc 1372 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท ๐‘) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ฟ)) โ†” ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ฟ)))
9388, 92mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ฟ))
94 dvdseq 16261 . . 3 ((((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ฟ) โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ฟ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) = ๐‘)
9553, 5, 57, 93, 94syl22anc 835 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ฟ) = ๐‘)
9684, 95jca 510 1 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = ๐‘€ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ฟ) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  {crab 3430  Vcvv 3472   โˆฉ cin 3946   โІ wss 3947  โˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ™ฏchash 14294   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  Basecbs 17148  0gc0g 17389  SubGrpcsubg 19036  Cntzccntz 19220  odcod 19433  LSSumclsm 19543  Abelcabl 19690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-eqg 19041  df-ga 19195  df-cntz 19222  df-od 19437  df-lsm 19545  df-pj1 19546  df-cmn 19691  df-abl 19692
This theorem is referenced by:  ablfac1a  19980
  Copyright terms: Public domain W3C validator