Theorem ablfacrp2 18853

Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 18852 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ablfacrp2	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfacrp.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2		ablfacrp.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 11702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ablfacrp.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 11702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0mulcld 11707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	eqeltrd 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
8		ablfacrp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9	8	fvexi 6460	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		hashclb 13464	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
12	7, 11	sylibr 226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		ablfacrp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
14		ssrab2 3907	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
15	13, 14	eqsstri 3853	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ⊆ 𝐵
16		ssfi 8468	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
17	12, 15, 16	sylancl 580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
18		hashcl 13462	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
20		ablfacrp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
21	2	nnzd 11833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22		ablfacrp.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
23	22, 8	oddvdssubg 18644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
24	20, 21, 23	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	13, 24	syl5eqel 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
26	8	lagsubg 18040	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
27	25, 12, 26	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
28	2	nncnd 11392	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
29	4	nncnd 11392	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
30	28, 29	mulcomd 10398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
31	1, 30	eqtrd 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
32	27, 31	breqtrd 4912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
33		ablfacrp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
34		ablfacrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
35	8, 22, 13, 33, 20, 2, 4, 34, 1	ablfacrplem 18851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
36	19	nn0zd 11832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
37	4	nnzd 11833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
38		coprmdvds 15772	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
39	36, 37, 21, 38	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
40	32, 35, 39	mp2and 689	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀)
41	22, 8	oddvdssubg 18644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
42	20, 37, 41	syl2anc 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
43	33, 42	syl5eqel 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
44	8	lagsubg 18040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
45	43, 12, 44	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
46	45, 1	breqtrd 4912	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
47		gcdcom 15641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
48	21, 37, 47	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
49	48, 34	eqtr3d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
50	8, 22, 33, 13, 20, 4, 2, 49, 31	ablfacrplem 18851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
51		ssrab2 3907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
52	33, 51	eqsstri 3853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ⊆ 𝐵
53		ssfi 8468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿 ⊆ 𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
54	12, 52, 53	sylancl 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Fin)
55		hashcl 13462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
57	56	nn0zd 11832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℤ)
58		coprmdvds 15772	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
59	57, 21, 37, 58	syl3anc 1439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
60	46, 50, 59	mp2and 689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁)
61		dvdscmul 15415	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
62	57, 37, 21, 61	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
63	60, 62	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
64		eqid 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
65		eqid 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
66	8, 22, 13, 33, 20, 2, 4, 34, 1, 64, 65	ablfacrp 18852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
67	66	simprd 491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
68	67	fveq2d 6450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (♯‘𝐵))
69		eqid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
70	66	simpld 490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)})
71	69, 20, 25, 43	ablcntzd 18646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
72	65, 64, 69, 25, 43, 70, 71, 17, 54	lsmhash 18502	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
73	68, 72	eqtr3d 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
74	73, 1	eqtr3d 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
75	63, 74	breqtrrd 4914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
76	64	subg0cl 17986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐿)
77		ne0i 4148	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐿 → 𝐿 ≠ ∅)
78	43, 76, 77	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ ∅)
79		hashnncl 13472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
80	54, 79	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
81	78, 80	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ)
82	81	nnne0d 11425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ≠ 0)
83		dvdsmulcr 15418	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
84	21, 36, 57, 82, 83	syl112anc 1442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
85	75, 84	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (♯‘𝐾))
86		dvdseq 15443	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾))) → (♯‘𝐾) = 𝑀)
87	19, 3, 40, 85, 86	syl22anc 829	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = 𝑀)
88		dvdsmulc 15416	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
89	36, 21, 37, 88	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
90	40, 89	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
91	90, 74	breqtrrd 4914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
92	87, 2	eqeltrd 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
93	92	nnne0d 11425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
94		dvdscmulr 15417	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
95	37, 57, 36, 93, 94	syl112anc 1442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
96	91, 95	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ (♯‘𝐿))
97		dvdseq 15443	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝐿) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿))) → (♯‘𝐿) = 𝑁)
98	56, 5, 60, 96, 97	syl22anc 829	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) = 𝑁)
99	87, 98	jca 507	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  {crab 3093  Vcvv 3397   ∩ cin 3790   ⊆ wss 3791  ∅c0 4140  {csn 4397   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ♯chash 13435   ∥ cdvds 15387   gcd cgcd 15622  Basecbs 16255  0_gc0g 16486  SubGrpcsubg 17972  Cntzccntz 18131  odcod 18328  LSSumclsm 18433  Abelcabl 18580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-dvds 15388  df-gcd 15623  df-prm 15791  df-pc 15946  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-eqg 17977  df-ga 18106  df-cntz 18133  df-od 18332  df-lsm 18435  df-pj1 18436  df-cmn 18581  df-abl 18582

This theorem is referenced by:  ablfac1a  18855