Theorem ablfacrp2 19979

Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 19978 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ablfacrp2	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfacrp.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2		ablfacrp.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ablfacrp.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0mulcld 12542	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	eqeltrd 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
8		ablfacrp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9	8	fvexi 6905	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		hashclb 14323	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
12	7, 11	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		ablfacrp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
14	13	ssrab3 4080	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ⊆ 𝐵
15		ssfi 9177	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
16	12, 14, 15	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
17		hashcl 14321	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
19		ablfacrp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
20	2	nnzd 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		ablfacrp.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
22	21, 8	oddvdssubg 19765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	19, 20, 22	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
24	13, 23	eqeltrid 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	8	lagsubg 19111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
26	24, 12, 25	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
27	2	nncnd 12233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	4	nncnd 12233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	27, 28	mulcomd 11240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
30	1, 29	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
31	26, 30	breqtrd 5174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
32		ablfacrp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
33		ablfacrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
34	8, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1	ablfacrplem 19977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
35	18	nn0zd 12589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
36	4	nnzd 12590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
37		coprmdvds 16595	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
38	35, 36, 20, 37	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
39	31, 34, 38	mp2and 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀)
40	21, 8	oddvdssubg 19765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
41	19, 36, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
42	32, 41	eqeltrid 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43	8	lagsubg 19111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
44	42, 12, 43	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
45	44, 1	breqtrd 5174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
46	20, 36	gcdcomd 16460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
47	46, 33	eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
48	8, 21, 32, 13, 19, 4, 2, 47, 30	ablfacrplem 19977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
49	32	ssrab3 4080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ⊆ 𝐵
50		ssfi 9177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿 ⊆ 𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
51	12, 49, 50	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Fin)
52		hashcl 14321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
54	53	nn0zd 12589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℤ)
55		coprmdvds 16595	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
56	54, 20, 36, 55	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
57	45, 48, 56	mp2and 696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁)
58		dvdscmul 16231	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
59	54, 36, 20, 58	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
60	57, 59	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
61		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
62		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
63	8, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1, 61, 62	ablfacrp 19978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
64	63	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
65	64	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (♯‘𝐵))
66		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
67	63	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)})
68	66, 19, 24, 42	ablcntzd 19767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
69	62, 61, 66, 24, 42, 67, 68, 16, 51	lsmhash 19615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
70	65, 69	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
71	70, 1	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
72	60, 71	breqtrrd 5176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
73	61	subg0cl 19051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐿)
74		ne0i 4334	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐿 → 𝐿 ≠ ∅)
75	42, 73, 74	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ ∅)
76		hashnncl 14331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
77	51, 76	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
78	75, 77	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ)
79	78	nnne0d 12267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ≠ 0)
80		dvdsmulcr 16234	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
81	20, 35, 54, 79, 80	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
82	72, 81	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (♯‘𝐾))
83		dvdseq 16262	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾))) → (♯‘𝐾) = 𝑀)
84	18, 3, 39, 82, 83	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = 𝑀)
85		dvdsmulc 16232	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
86	35, 20, 36, 85	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
87	39, 86	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
88	87, 71	breqtrrd 5176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
89	84, 2	eqeltrd 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
90	89	nnne0d 12267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
91		dvdscmulr 16233	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
92	36, 54, 35, 90, 91	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
93	88, 92	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ (♯‘𝐿))
94		dvdseq 16262	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝐿) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿))) → (♯‘𝐿) = 𝑁)
95	53, 5, 57, 93, 94	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) = 𝑁)
96	84, 95	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  {crab 3431  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  0cc0 11114  1c1 11115   · cmul 11119  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ℤcz 12563  ♯chash 14295   ∥ cdvds 16202   gcd cgcd 16440  Basecbs 17149  0_gc0g 17390  SubGrpcsubg 19037  Cntzccntz 19221  odcod 19434  LSSumclsm 19544  Abelcabl 19691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-eqg 19042  df-ga 19196  df-cntz 19223  df-od 19438  df-lsm 19546  df-pj1 19547  df-cmn 19692  df-abl 19693

This theorem is referenced by:  ablfac1a  19981