Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp2 19186
 Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 19185 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrp2 (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2 ablfacrp.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11947 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 ablfacrp.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11947 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5nn0mulcld 11952 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6eqeltrd 2893 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
8 ablfacrp.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
98fvexi 6663 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
10 hashclb 13719 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
127, 11sylibr 237 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
13 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
1413ssrab3 4011 . . . . 5 𝐾𝐵
15 ssfi 8726 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
1612, 14, 15sylancl 589 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
17 hashcl 13717 . . . 4 (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
19 ablfacrp.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
202nnzd 12078 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 ablfacrp.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
2221, 8oddvdssubg 18972 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2319, 20, 22syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2413, 23eqeltrid 2897 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
258lagsubg 18338 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
2624, 12, 25syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
272nncnd 11645 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
284nncnd 11645 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2927, 28mulcomd 10655 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
301, 29eqtrd 2836 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
3126, 30breqtrd 5059 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
32 ablfacrp.l . . . . 5 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
33 ablfacrp.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
348, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1ablfacrplem 19184 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
3518nn0zd 12077 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
364nnzd 12078 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
37 coprmdvds 15991 . . . . 5 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
3835, 36, 20, 37syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
3931, 34, 38mp2and 698 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀)
4021, 8oddvdssubg 18972 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4119, 36, 40syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4232, 41eqeltrid 2897 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
438lagsubg 18338 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
4442, 12, 43syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
4544, 1breqtrd 5059 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
46 gcdcom 15856 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4720, 36, 46syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4847, 33eqtr3d 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
498, 21, 32, 13, 19, 4, 2, 48, 30ablfacrplem 19184 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
5032ssrab3 4011 . . . . . . . . . . 11 𝐿𝐵
51 ssfi 8726 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
5212, 50, 51sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ Fin)
53 hashcl 13717 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ Fin → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
5554nn0zd 12077 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℤ)
56 coprmdvds 15991 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
5755, 20, 36, 56syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
5845, 49, 57mp2and 698 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁)
59 dvdscmul 15632 . . . . . . 7 (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6055, 36, 20, 59syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6158, 60mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
62 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
63 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
648, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1, 62, 63ablfacrp 19185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = {(0g𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
6564simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
6665fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (♯‘𝐵))
67 eqid 2801 . . . . . . . 8 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
6864simpld 498 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐿) = {(0g𝐺)})
6967, 19, 24, 42ablcntzd 18974 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
7063, 62, 67, 24, 42, 68, 69, 16, 52lsmhash 18827 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7166, 70eqtr3d 2838 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7271, 1eqtr3d 2838 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
7361, 72breqtrrd 5061 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7462subg0cl 18283 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐿)
75 ne0i 4253 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝐿𝐿 ≠ ∅)
7642, 74, 753syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ≠ ∅)
77 hashnncl 13727 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ Fin → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
7852, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
7976, 78mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ)
8079nnne0d 11679 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐿) ≠ 0)
81 dvdsmulcr 15635 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
8220, 35, 55, 80, 81syl112anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
8373, 82mpbid 235 . . 3 (𝜑𝑀 ∥ (♯‘𝐾))
84 dvdseq 15660 . . 3 ((((♯‘𝐾) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀𝑀 ∥ (♯‘𝐾))) → (♯‘𝐾) = 𝑀)
8518, 3, 39, 83, 84syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐾) = 𝑀)
86 dvdsmulc 15633 . . . . . . 7 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8735, 20, 36, 86syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8839, 87mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
8988, 72breqtrrd 5061 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
9085, 2eqeltrd 2893 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
9190nnne0d 11679 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
92 dvdscmulr 15634 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
9336, 55, 35, 91, 92syl112anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
9489, 93mpbid 235 . . 3 (𝜑𝑁 ∥ (♯‘𝐿))
95 dvdseq 15660 . . 3 ((((♯‘𝐿) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁𝑁 ∥ (♯‘𝐿))) → (♯‘𝐿) = 𝑁)
9654, 5, 58, 94, 95syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐿) = 𝑁)
9785, 96jca 515 1 (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  {crab 3113  Vcvv 3444   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  {csn 4528   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ♯chash 13690   ∥ cdvds 15603   gcd cgcd 15837  Basecbs 16479  0gc0g 16709  SubGrpcsubg 18269  Cntzccntz 18441  odcod 18648  LSSumclsm 18755  Abelcabl 18903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-eqg 18274  df-ga 18416  df-cntz 18443  df-od 18652  df-lsm 18757  df-pj1 18758  df-cmn 18904  df-abl 18905 This theorem is referenced by:  ablfac1a  19188
 Copyright terms: Public domain W3C validator