MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp2 19799
Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 19798 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrp2 (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2 ablfacrp.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12431 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 ablfacrp.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 12431 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5nn0mulcld 12436 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
8 ablfacrp.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
98fvexi 6853 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
10 hashclb 14212 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
127, 11sylibr 233 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
13 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
1413ssrab3 4038 . . . . 5 𝐾𝐵
15 ssfi 9075 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
1612, 14, 15sylancl 586 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
17 hashcl 14210 . . . 4 (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
19 ablfacrp.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
202nnzd 12484 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 ablfacrp.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
2221, 8oddvdssubg 19586 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2319, 20, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2413, 23eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
258lagsubg 18945 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
2624, 12, 25syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
272nncnd 12127 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
284nncnd 12127 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2927, 28mulcomd 11134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
301, 29eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
3126, 30breqtrd 5129 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
32 ablfacrp.l . . . . 5 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
33 ablfacrp.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
348, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1ablfacrplem 19797 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
3518nn0zd 12483 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
364nnzd 12484 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
37 coprmdvds 16483 . . . . 5 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
3835, 36, 20, 37syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
3931, 34, 38mp2and 697 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀)
4021, 8oddvdssubg 19586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4119, 36, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4232, 41eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
438lagsubg 18945 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
4442, 12, 43syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
4544, 1breqtrd 5129 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
4620, 36gcdcomd 16348 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4746, 33eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
488, 21, 32, 13, 19, 4, 2, 47, 30ablfacrplem 19797 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
4932ssrab3 4038 . . . . . . . . . . 11 𝐿𝐵
50 ssfi 9075 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
5112, 49, 50sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ Fin)
52 hashcl 14210 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ Fin → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
5453nn0zd 12483 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℤ)
55 coprmdvds 16483 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
5654, 20, 36, 55syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
5745, 48, 56mp2and 697 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁)
58 dvdscmul 16119 . . . . . . 7 (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5954, 36, 20, 58syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6057, 59mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
61 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
62 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
638, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1, 61, 62ablfacrp 19798 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = {(0g𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
6463simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
6564fveq2d 6843 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (♯‘𝐵))
66 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
6763simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐿) = {(0g𝐺)})
6866, 19, 24, 42ablcntzd 19588 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
6962, 61, 66, 24, 42, 67, 68, 16, 51lsmhash 19440 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7065, 69eqtr3d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7170, 1eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
7260, 71breqtrrd 5131 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7361subg0cl 18889 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐿)
74 ne0i 4292 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝐿𝐿 ≠ ∅)
7542, 73, 743syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ≠ ∅)
76 hashnncl 14220 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ Fin → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
7751, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
7875, 77mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ)
7978nnne0d 12161 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐿) ≠ 0)
80 dvdsmulcr 16122 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
8120, 35, 54, 79, 80syl112anc 1374 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
8272, 81mpbid 231 . . 3 (𝜑𝑀 ∥ (♯‘𝐾))
83 dvdseq 16150 . . 3 ((((♯‘𝐾) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀𝑀 ∥ (♯‘𝐾))) → (♯‘𝐾) = 𝑀)
8418, 3, 39, 82, 83syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐾) = 𝑀)
85 dvdsmulc 16120 . . . . . . 7 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8635, 20, 36, 85syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8739, 86mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
8887, 71breqtrrd 5131 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
8984, 2eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
9089nnne0d 12161 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
91 dvdscmulr 16121 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
9236, 54, 35, 90, 91syl112anc 1374 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
9388, 92mpbid 231 . . 3 (𝜑𝑁 ∥ (♯‘𝐿))
94 dvdseq 16150 . . 3 ((((♯‘𝐿) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁𝑁 ∥ (♯‘𝐿))) → (♯‘𝐿) = 𝑁)
9553, 5, 57, 93, 94syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐿) = 𝑁)
9684, 95jca 512 1 (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  {crab 3405  Vcvv 3443  cin 3907  wss 3908  c0 4280  {csn 4584   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014  cn 12111  0cn0 12371  cz 12457  chash 14184  cdvds 16090   gcd cgcd 16328  Basecbs 17037  0gc0g 17275  SubGrpcsubg 18875  Cntzccntz 19048  odcod 19259  LSSumclsm 19369  Abelcabl 19516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-oadd 8408  df-omul 8409  df-er 8606  df-ec 8608  df-qs 8612  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-dju 9795  df-card 9833  df-acn 9836  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-xnn0 12444  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-clim 15324  df-sum 15525  df-dvds 16091  df-gcd 16329  df-prm 16502  df-pc 16663  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-0g 17277  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-submnd 18556  df-grp 18705  df-minusg 18706  df-sbg 18707  df-mulg 18826  df-subg 18878  df-eqg 18880  df-ga 19023  df-cntz 19050  df-od 19263  df-lsm 19371  df-pj1 19372  df-cmn 19517  df-abl 19518
This theorem is referenced by:  ablfac1a  19801
  Copyright terms: Public domain W3C validator