Theorem ablfacrp2 19189

Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 19188 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ablfacrp2	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfacrp.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2		ablfacrp.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 11956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ablfacrp.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 11956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0mulcld 11961	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	eqeltrd 2913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
8		ablfacrp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9	8	fvexi 6684	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		hashclb 13720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
12	7, 11	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		ablfacrp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
14	13	ssrab3 4057	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ⊆ 𝐵
15		ssfi 8738	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
16	12, 14, 15	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
17		hashcl 13718	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
19		ablfacrp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
20	2	nnzd 12087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		ablfacrp.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
22	21, 8	oddvdssubg 18975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	19, 20, 22	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
24	13, 23	eqeltrid 2917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	8	lagsubg 18342	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
26	24, 12, 25	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
27	2	nncnd 11654	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	4	nncnd 11654	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	27, 28	mulcomd 10662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
30	1, 29	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
31	26, 30	breqtrd 5092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
32		ablfacrp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
33		ablfacrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
34	8, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1	ablfacrplem 19187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
35	18	nn0zd 12086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
36	4	nnzd 12087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
37		coprmdvds 15997	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
38	35, 36, 20, 37	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
39	31, 34, 38	mp2and 697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀)
40	21, 8	oddvdssubg 18975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
41	19, 36, 40	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
42	32, 41	eqeltrid 2917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43	8	lagsubg 18342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
44	42, 12, 43	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
45	44, 1	breqtrd 5092	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
46		gcdcom 15862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
47	20, 36, 46	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
48	47, 33	eqtr3d 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
49	8, 21, 32, 13, 19, 4, 2, 48, 30	ablfacrplem 19187	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
50	32	ssrab3 4057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ⊆ 𝐵
51		ssfi 8738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿 ⊆ 𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
52	12, 50, 51	sylancl 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Fin)
53		hashcl 13718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
55	54	nn0zd 12086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℤ)
56		coprmdvds 15997	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
57	55, 20, 36, 56	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
58	45, 49, 57	mp2and 697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁)
59		dvdscmul 15636	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
60	55, 36, 20, 59	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
61	58, 60	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
62		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
63		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
64	8, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1, 62, 63	ablfacrp 19188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
65	64	simprd 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
66	65	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (♯‘𝐵))
67		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
68	64	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)})
69	67, 19, 24, 42	ablcntzd 18977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
70	63, 62, 67, 24, 42, 68, 69, 16, 52	lsmhash 18831	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
71	66, 70	eqtr3d 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
72	71, 1	eqtr3d 2858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
73	61, 72	breqtrrd 5094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
74	62	subg0cl 18287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐿)
75		ne0i 4300	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐿 → 𝐿 ≠ ∅)
76	42, 74, 75	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ ∅)
77		hashnncl 13728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
78	52, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
79	76, 78	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ)
80	79	nnne0d 11688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ≠ 0)
81		dvdsmulcr 15639	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
82	20, 35, 55, 80, 81	syl112anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
83	73, 82	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (♯‘𝐾))
84		dvdseq 15664	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾))) → (♯‘𝐾) = 𝑀)
85	18, 3, 39, 83, 84	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = 𝑀)
86		dvdsmulc 15637	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
87	35, 20, 36, 86	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
88	39, 87	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
89	88, 72	breqtrrd 5094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
90	85, 2	eqeltrd 2913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
91	90	nnne0d 11688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
92		dvdscmulr 15638	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
93	36, 55, 35, 91, 92	syl112anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
94	89, 93	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ (♯‘𝐿))
95		dvdseq 15664	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝐿) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿))) → (♯‘𝐿) = 𝑁)
96	54, 5, 58, 94, 95	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) = 𝑁)
97	85, 96	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  {crab 3142  Vcvv 3494   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ♯chash 13691   ∥ cdvds 15607   gcd cgcd 15843  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  SubGrpcsubg 18273  Cntzccntz 18445  odcod 18652  LSSumclsm 18759  Abelcabl 18907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-disj 5032  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-ec 8291  df-qs 8295  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-acn 9371  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-pc 16174  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-eqg 18278  df-ga 18420  df-cntz 18447  df-od 18656  df-lsm 18761  df-pj1 18762  df-cmn 18908  df-abl 18909

This theorem is referenced by:  ablfac1a  19191