Theorem ablfacrp2 20002

Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 20001 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ablfacrp2	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfacrp.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2		ablfacrp.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ablfacrp.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0mulcld 12471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
8		ablfacrp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9	8	fvexi 6849	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		hashclb 14285	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
12	7, 11	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		ablfacrp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
14	13	ssrab3 4035	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ⊆ 𝐵
15		ssfi 9101	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
16	12, 14, 15	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
17		hashcl 14283	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
19		ablfacrp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
20	2	nnzd 12518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		ablfacrp.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
22	21, 8	oddvdssubg 19788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	19, 20, 22	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
24	13, 23	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	8	lagsubg 19128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
26	24, 12, 25	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
27	2	nncnd 12165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	4	nncnd 12165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	27, 28	mulcomd 11157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
30	1, 29	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
31	26, 30	breqtrd 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
32		ablfacrp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
33		ablfacrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
34	8, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1	ablfacrplem 20000	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
35	18	nn0zd 12517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
36	4	nnzd 12518	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
37		coprmdvds 16584	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
38	35, 36, 20, 37	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
39	31, 34, 38	mp2and 700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀)
40	21, 8	oddvdssubg 19788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
41	19, 36, 40	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
42	32, 41	eqeltrid 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43	8	lagsubg 19128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
44	42, 12, 43	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
45	44, 1	breqtrd 5125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
46	20, 36	gcdcomd 16445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
47	46, 33	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
48	8, 21, 32, 13, 19, 4, 2, 47, 30	ablfacrplem 20000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
49	32	ssrab3 4035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ⊆ 𝐵
50		ssfi 9101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿 ⊆ 𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
51	12, 49, 50	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Fin)
52		hashcl 14283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
54	53	nn0zd 12517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℤ)
55		coprmdvds 16584	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
56	54, 20, 36, 55	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
57	45, 48, 56	mp2and 700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁)
58		dvdscmul 16213	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
59	54, 36, 20, 58	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
60	57, 59	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
61		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
62		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
63	8, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1, 61, 62	ablfacrp 20001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
64	63	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
65	64	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (♯‘𝐵))
66		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
67	63	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)})
68	66, 19, 24, 42	ablcntzd 19790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
69	62, 61, 66, 24, 42, 67, 68, 16, 51	lsmhash 19638	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
70	65, 69	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
71	70, 1	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
72	60, 71	breqtrrd 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
73	61	subg0cl 19068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐿)
74		ne0i 4294	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐿 → 𝐿 ≠ ∅)
75	42, 73, 74	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ ∅)
76		hashnncl 14293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
77	51, 76	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
78	75, 77	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ)
79	78	nnne0d 12199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) ≠ 0)
80		dvdsmulcr 16216	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
81	20, 35, 54, 79, 80	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
82	72, 81	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (♯‘𝐾))
83		dvdseq 16245	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾))) → (♯‘𝐾) = 𝑀)
84	18, 3, 39, 82, 83	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = 𝑀)
85		dvdsmulc 16214	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
86	35, 20, 36, 85	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
87	39, 86	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
88	87, 71	breqtrrd 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
89	84, 2	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
90	89	nnne0d 12199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
91		dvdscmulr 16215	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
92	36, 54, 35, 90, 91	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
93	88, 92	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ (♯‘𝐿))
94		dvdseq 16245	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝐿) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿))) → (♯‘𝐿) = 𝑁)
95	53, 5, 57, 93, 94	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐿) = 𝑁)
96	84, 95	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3400  Vcvv 3441   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  {csn 4581   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ♯chash 14257   ∥ cdvds 16183   gcd cgcd 16425  Basecbs 17140  0_gc0g 17363  SubGrpcsubg 19054  Cntzccntz 19248  odcod 19457  LSSumclsm 19567  Abelcabl 19714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-prm 16603  df-pc 16769  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-eqg 19059  df-ga 19223  df-cntz 19250  df-od 19461  df-lsm 19569  df-pj1 19570  df-cmn 19715  df-abl 19716

This theorem is referenced by:  ablfac1a  20004