MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp2 19860
Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 19859 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrp2 (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2 ablfacrp.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12482 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 ablfacrp.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 12482 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5nn0mulcld 12487 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6eqeltrd 2832 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
8 ablfacrp.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
98fvexi 6861 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
10 hashclb 14268 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
127, 11sylibr 233 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
13 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
1413ssrab3 4045 . . . . 5 𝐾𝐵
15 ssfi 9124 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
1612, 14, 15sylancl 586 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
17 hashcl 14266 . . . 4 (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
19 ablfacrp.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
202nnzd 12535 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 ablfacrp.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
2221, 8oddvdssubg 19647 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2319, 20, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2413, 23eqeltrid 2836 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
258lagsubg 19006 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
2624, 12, 25syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
272nncnd 12178 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
284nncnd 12178 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2927, 28mulcomd 11185 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
301, 29eqtrd 2771 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
3126, 30breqtrd 5136 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
32 ablfacrp.l . . . . 5 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
33 ablfacrp.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
348, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1ablfacrplem 19858 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
3518nn0zd 12534 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
364nnzd 12535 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
37 coprmdvds 16540 . . . . 5 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
3835, 36, 20, 37syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
3931, 34, 38mp2and 697 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀)
4021, 8oddvdssubg 19647 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4119, 36, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4232, 41eqeltrid 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
438lagsubg 19006 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
4442, 12, 43syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
4544, 1breqtrd 5136 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
4620, 36gcdcomd 16405 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4746, 33eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
488, 21, 32, 13, 19, 4, 2, 47, 30ablfacrplem 19858 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
4932ssrab3 4045 . . . . . . . . . . 11 𝐿𝐵
50 ssfi 9124 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
5112, 49, 50sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ Fin)
52 hashcl 14266 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ Fin → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
5453nn0zd 12534 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℤ)
55 coprmdvds 16540 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
5654, 20, 36, 55syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
5745, 48, 56mp2and 697 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁)
58 dvdscmul 16176 . . . . . . 7 (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5954, 36, 20, 58syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6057, 59mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
61 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
62 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
638, 21, 13, 32, 19, 2, 4, 33, 1, 61, 62ablfacrp 19859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = {(0g𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
6463simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
6564fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (♯‘𝐵))
66 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
6763simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐿) = {(0g𝐺)})
6866, 19, 24, 42ablcntzd 19649 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
6962, 61, 66, 24, 42, 67, 68, 16, 51lsmhash 19501 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7065, 69eqtr3d 2773 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7170, 1eqtr3d 2773 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
7260, 71breqtrrd 5138 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7361subg0cl 18950 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐿)
74 ne0i 4299 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝐿𝐿 ≠ ∅)
7542, 73, 743syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ≠ ∅)
76 hashnncl 14276 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ Fin → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
7751, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
7875, 77mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ)
7978nnne0d 12212 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐿) ≠ 0)
80 dvdsmulcr 16179 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
8120, 35, 54, 79, 80syl112anc 1374 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
8272, 81mpbid 231 . . 3 (𝜑𝑀 ∥ (♯‘𝐾))
83 dvdseq 16207 . . 3 ((((♯‘𝐾) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀𝑀 ∥ (♯‘𝐾))) → (♯‘𝐾) = 𝑀)
8418, 3, 39, 82, 83syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐾) = 𝑀)
85 dvdsmulc 16177 . . . . . . 7 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8635, 20, 36, 85syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8739, 86mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
8887, 71breqtrrd 5138 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
8984, 2eqeltrd 2832 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
9089nnne0d 12212 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
91 dvdscmulr 16178 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
9236, 54, 35, 90, 91syl112anc 1374 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
9388, 92mpbid 231 . . 3 (𝜑𝑁 ∥ (♯‘𝐿))
94 dvdseq 16207 . . 3 ((((♯‘𝐿) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁𝑁 ∥ (♯‘𝐿))) → (♯‘𝐿) = 𝑁)
9553, 5, 57, 93, 94syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐿) = 𝑁)
9684, 95jca 512 1 (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  {crab 3405  Vcvv 3446  cin 3912  wss 3913  c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  0cc0 11060  1c1 11061   · cmul 11065  cn 12162  0cn0 12422  cz 12508  chash 14240  cdvds 16147   gcd cgcd 16385  Basecbs 17094  0gc0g 17335  SubGrpcsubg 18936  Cntzccntz 19109  odcod 19320  LSSumclsm 19430  Abelcabl 19577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-dju 9846  df-card 9884  df-acn 9887  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-xnn0 12495  df-z 12509  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978  df-fac 14184  df-bc 14213  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-sum 15583  df-dvds 16148  df-gcd 16386  df-prm 16559  df-pc 16720  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-0g 17337  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-mulg 18887  df-subg 18939  df-eqg 18941  df-ga 19084  df-cntz 19111  df-od 19324  df-lsm 19432  df-pj1 19433  df-cmn 19578  df-abl 19579
This theorem is referenced by:  ablfac1a  19862
  Copyright terms: Public domain W3C validator