Theorem lshpsmreu 39555

Description: Lemma for lshpkrex 39564. Show uniqueness of ring multiplier 𝑘 when a vector 𝑋 is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 3327 for 𝑎 to 𝑐? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpsmreu.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpsmreu.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpsmreu.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpsmreu.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpsmreu.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpsmreu.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpsmreu.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpsmreu.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpsmreu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpsmreu.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpsmreu.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpsmreu.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpsmreu.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpsmreu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑘, +   𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑦   𝑈,𝑘,𝑦   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐷(𝑦,𝑘)   ⊕ (𝑦,𝑘)   𝐻(𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpsmreu

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpsmreu.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		lshpsmreu.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
3	1, 2	eleqtrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
4		lshpsmreu.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8	7	lsssssubg 20953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10		lshpsmreu.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11		lshpsmreu.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12	7, 10, 6, 11	lshplss 39427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	9, 12	sseldd 3922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
14		lshpsmreu.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15		lshpsmreu.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		lshpsmreu.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17	15, 7, 16	lspsncl 20972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18	6, 14, 17	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	9, 18	sseldd 3922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20		lshpsmreu.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
21		lshpsmreu.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
22	20, 21	lsmelval 19624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
23	13, 19, 22	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
24	3, 23	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧))
25		df-rex 3062	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
26		lshpsmreu.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
27		lshpsmreu.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
28		lshpsmreu.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	26, 27, 15, 28, 16	ellspsn 20998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
30	6, 14, 29	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
31	30	anbi1d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
32		r19.41v 3167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
33	31, 32	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
34	33	exbidv 1923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
35		rexcom4 3264	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
36		ovex 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 · 𝑍) ∈ V
37		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑐 + 𝑧) = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
38	37	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
39	36, 38	ceqsexv 3478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
40	39	rexbii 3084	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
41	35, 40	bitr3i 277	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
42	34, 41	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
43	25, 42	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
44	43	rexbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
45	24, 44	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
46		rexcom 3266	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
47	45, 46	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
48		oveq1 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
49	48	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))))
50	49	cbvrexvw 3216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
51		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
52		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
53		simp11l 1286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝜑)
54	53, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
55	53, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
56	15, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2	lshpdisj 39433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g‘𝑊)})
57	53, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g‘𝑊)})
58	53, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LVec)
59	58, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LMod)
60		lmodabl 20904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ Abel)
62	52, 61, 54, 55	ablcntzd 19832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑍})))
63		simp12 1206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ 𝑈)
64		simp2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑐 ∈ 𝑈)
65		simp1rl 1240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑏 ∈ 𝐾)
66	65	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 ∈ 𝐾)
67	53, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑉)
68	15, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67	ellspsni 20996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
69		simp1rr 1241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑙 ∈ 𝐾)
70	69	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑙 ∈ 𝐾)
71	15, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67	ellspsni 20996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑙 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
72		simp13 1207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
73		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
74	72, 73	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
75	20, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74	subgdisj2 19667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
76	53, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ 𝐻)
77	53, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
78	15, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77	lshpne0 39432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ≠ (0g‘𝑊))
79	15, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78	lvecvscan2 21110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → ((𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍) ↔ 𝑏 = 𝑙))
80	75, 79	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)
81	80	rexlimdv3a 3142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙))
82	81	rexlimdv3a 3142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → (∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
83	50, 82	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
84	83	impd 410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
85	84	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑙 ∈ 𝐾 ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
86		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
87	86	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
88	87	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
89	88	rexbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
90	89	reu4 3677	. . 3 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑙 ∈ 𝐾 ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)))
91	47, 85, 90	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
92		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑘 · 𝑍))
93	92	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
94	93	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
95	94	rexbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
96	95	cbvreuvw 3364	. . 3 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
97		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
98	97	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
99	98	cbvrexvw 3216	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
100	99	reubii 3351	. . 3 ⊢ (∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
101	96, 100	bitri 275	. 2 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
102	91, 101	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ∃!wreu 3340   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  SubGrpcsubg 19096  Cntzccntz 19290  LSSumclsm 19609  Abelcabl 19756  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966  LVecclvec 21097  LSHypclsh 39421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lshyp 39423

This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  39556  lshpkrlem2  39557  lshpkrlem3  39558  lshpkrcl  39562  dochfl1  41922