Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpsmreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpsmreu 36404
Description: Lemma for lshpkrex 36413. Show uniqueness of ring multiplier 𝑘 when a vector 𝑋 is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 3403 for 𝑎 to 𝑐? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpsmreu.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpsmreu.a + = (+g𝑊)
lshpsmreu.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpsmreu.p = (LSSum‘𝑊)
lshpsmreu.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpsmreu.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpsmreu.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpsmreu.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpsmreu.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpsmreu.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpsmreu.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpsmreu.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpsmreu.t · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpsmreu (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘, +   𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑦   𝑈,𝑘,𝑦   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐷(𝑦,𝑘)   (𝑦,𝑘)   𝐻(𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpsmreu
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpsmreu.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
2 lshpsmreu.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
31, 2eleqtrrd 2896 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})))
4 lshpsmreu.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19875 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 19727 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10 lshpsmreu.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11 lshpsmreu.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐻)
127, 10, 6, 11lshplss 36276 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
139, 12sseldd 3919 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
14 lshpsmreu.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑉)
15 lshpsmreu.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
16 lshpsmreu.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1715, 7, 16lspsncl 19746 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
186, 14, 17syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
199, 18sseldd 3919 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20 lshpsmreu.a . . . . . . . 8 + = (+g𝑊)
21 lshpsmreu.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝑊)
2220, 21lsmelval 18770 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
2313, 19, 22syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
243, 23mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧))
25 df-rex 3115 . . . . . . 7 (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
26 lshpsmreu.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
27 lshpsmreu.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐷)
28 lshpsmreu.t . . . . . . . . . . . . 13 · = ( ·𝑠𝑊)
2926, 27, 15, 28, 16lspsnel 19772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
306, 14, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
3130anbi1d 632 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
32 r19.41v 3303 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
3331, 32syl6bbr 292 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
3433exbidv 1922 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
35 rexcom4 3215 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐾𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
36 ovex 7172 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 · 𝑍) ∈ V
37 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑐 + 𝑧) = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
3837eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
3936, 38ceqsexv 3492 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4039rexbii 3213 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐾𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4135, 40bitr3i 280 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4234, 41syl6bb 290 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4325, 42syl5bb 286 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4443rexbidv 3259 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4524, 44mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
46 rexcom 3311 . . . 4 (∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4745, 46sylib 221 . . 3 (𝜑 → ∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
48 oveq1 7146 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
4948eqeq2d 2812 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑎 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))))
5049cbvrexvw 3400 . . . . . 6 (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑎𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
51 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
52 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
53 simp11l 1281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝜑)
5453, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5553, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5615, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2lshpdisj 36282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
5753, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
5853, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LVec)
5958, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LMod)
60 lmodabl 19678 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ Abel)
6252, 61, 54, 55ablcntzd 18974 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑍})))
63 simp12 1201 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑎𝑈)
64 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑐𝑈)
65 simp1rl 1235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑏𝐾)
66653ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏𝐾)
6753, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍𝑉)
6815, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67lspsneli 19770 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
69 simp1rr 1236 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑙𝐾)
70693ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑙𝐾)
7115, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67lspsneli 19770 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑙 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
72 simp13 1202 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
73 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
7472, 73eqtr3d 2838 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
7520, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74subgdisj2 18814 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
7653, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈𝐻)
7753, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
7815, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77lshpne0 36281 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ≠ (0g𝑊))
7915, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78lvecvscan2 19881 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → ((𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍) ↔ 𝑏 = 𝑙))
8075, 79mpbid 235 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)
8180rexlimdv3a 3248 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙))
8281rexlimdv3a 3248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → (∃𝑎𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
8350, 82syl5bi 245 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
8483impd 414 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
8584ralrimivva 3159 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏𝐾𝑙𝐾 ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
86 oveq1 7146 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑙 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
8786oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑙 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
8887eqeq2d 2812 . . . . 5 (𝑏 = 𝑙 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
8988rexbidv 3259 . . . 4 (𝑏 = 𝑙 → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
9089reu4 3673 . . 3 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ (∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∀𝑏𝐾𝑙𝐾 ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)))
9147, 85, 90sylanbrc 586 . 2 (𝜑 → ∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
92 oveq1 7146 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑘 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑘 · 𝑍))
9392oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑘 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
9493eqeq2d 2812 . . . . 5 (𝑏 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
9594rexbidv 3259 . . . 4 (𝑏 = 𝑘 → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
9695cbvreuvw 3401 . . 3 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
97 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑦 → (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
9897eqeq2d 2812 . . . . 5 (𝑐 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
9998cbvrexvw 3400 . . . 4 (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10099reubii 3347 . . 3 (∃!𝑘𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10196, 100bitri 278 . 2 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10291, 101sylib 221 1 (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  ∃!wreu 3111  cin 3883  wss 3884  {csn 4528  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  Scalarcsca 16564   ·𝑠 cvsca 16565  0gc0g 16709  SubGrpcsubg 18269  Cntzccntz 18441  LSSumclsm 18755  Abelcabl 18903  LModclmod 19631  LSubSpclss 19700  LSpanclspn 19740  LVecclvec 19871  LSHypclsh 36270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19501  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-lvec 19872  df-lshyp 36272
This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  36405  lshpkrlem2  36406  lshpkrlem3  36407  lshpkrcl  36411  dochfl1  38771
  Copyright terms: Public domain W3C validator