Theorem lshpsmreu 36247

Description: Lemma for lshpkrex 36256. Show uniqueness of ring multiplier 𝑘 when a vector 𝑋 is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 3455 for 𝑎 to 𝑐? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpsmreu.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpsmreu.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpsmreu.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpsmreu.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpsmreu.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpsmreu.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpsmreu.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpsmreu.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpsmreu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpsmreu.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpsmreu.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpsmreu.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpsmreu.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpsmreu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑘, +   𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑦   𝑈,𝑘,𝑦   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐷(𝑦,𝑘)   ⊕ (𝑦,𝑘)   𝐻(𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpsmreu

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpsmreu.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		lshpsmreu.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
3	1, 2	eleqtrrd 2918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
4		lshpsmreu.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 19880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8	7	lsssssubg 19732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10		lshpsmreu.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11		lshpsmreu.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12	7, 10, 6, 11	lshplss 36119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	9, 12	sseldd 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
14		lshpsmreu.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15		lshpsmreu.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		lshpsmreu.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17	15, 7, 16	lspsncl 19751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18	6, 14, 17	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	9, 18	sseldd 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20		lshpsmreu.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
21		lshpsmreu.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
22	20, 21	lsmelval 18776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
23	13, 19, 22	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
24	3, 23	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧))
25		df-rex 3146	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
26		lshpsmreu.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
27		lshpsmreu.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
28		lshpsmreu.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	26, 27, 15, 28, 16	lspsnel 19777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
30	6, 14, 29	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
31	30	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
32		r19.41v 3349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
33	31, 32	syl6bbr 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
34	33	exbidv 1922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
35		rexcom4 3251	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
36		ovex 7191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 · 𝑍) ∈ V
37		oveq2 7166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑐 + 𝑧) = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
38	37	eqeq2d 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
39	36, 38	ceqsexv 3543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
40	39	rexbii 3249	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
41	35, 40	bitr3i 279	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
42	34, 41	syl6bb 289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
43	25, 42	syl5bb 285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
44	43	rexbidv 3299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
45	24, 44	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
46		rexcom 3357	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
47	45, 46	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
48		oveq1 7165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
49	48	eqeq2d 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))))
50	49	cbvrexvw 3452	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
51		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
52		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
53		simp11l 1280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝜑)
54	53, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
55	53, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
56	15, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2	lshpdisj 36125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g‘𝑊)})
57	53, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g‘𝑊)})
58	53, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LVec)
59	58, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LMod)
60		lmodabl 19683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ Abel)
62	52, 61, 54, 55	ablcntzd 18979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑍})))
63		simp12 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ 𝑈)
64		simp2 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑐 ∈ 𝑈)
65		simp1rl 1234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑏 ∈ 𝐾)
66	65	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 ∈ 𝐾)
67	53, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑉)
68	15, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67	lspsneli 19775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
69		simp1rr 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑙 ∈ 𝐾)
70	69	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑙 ∈ 𝐾)
71	15, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67	lspsneli 19775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑙 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
72		simp13 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
73		simp3 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
74	72, 73	eqtr3d 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
75	20, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74	subgdisj2 18820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
76	53, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ 𝐻)
77	53, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
78	15, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77	lshpne0 36124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ≠ (0g‘𝑊))
79	15, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78	lvecvscan2 19886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → ((𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍) ↔ 𝑏 = 𝑙))
80	75, 79	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)
81	80	rexlimdv3a 3288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙))
82	81	rexlimdv3a 3288	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → (∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
83	50, 82	syl5bi 244	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
84	83	impd 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
85	84	ralrimivva 3193	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑙 ∈ 𝐾 ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
86		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
87	86	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
88	87	eqeq2d 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
89	88	rexbidv 3299	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
90	89	reu4 3724	. . 3 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑙 ∈ 𝐾 ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)))
91	47, 85, 90	sylanbrc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
92		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑘 · 𝑍))
93	92	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
94	93	eqeq2d 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
95	94	rexbidv 3299	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
96	95	cbvreuvw 3453	. . 3 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
97		oveq1 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
98	97	eqeq2d 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
99	98	cbvrexvw 3452	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
100	99	reubii 3393	. . 3 ⊢ (∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
101	96, 100	bitri 277	. 2 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
102	91, 101	sylib 220	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  ∃!wreu 3142   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  {csn 4569  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  0_gc0g 16715  SubGrpcsubg 18275  Cntzccntz 18447  LSSumclsm 18761  Abelcabl 18909  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  LSpanclspn 19745  LVecclvec 19876  LSHypclsh 36113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-lshyp 36115

This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  36248  lshpkrlem2  36249  lshpkrlem3  36250  lshpkrcl  36254  dochfl1  38614