Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpsmreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpsmreu 34997
Description: Lemma for lshpkrex 35006. Show uniqueness of ring multiplier 𝑘 when a vector 𝑋 is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 3320 for 𝑎 to 𝑐? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpsmreu.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpsmreu.a + = (+g𝑊)
lshpsmreu.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpsmreu.p = (LSSum‘𝑊)
lshpsmreu.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpsmreu.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpsmreu.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpsmreu.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpsmreu.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpsmreu.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpsmreu.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpsmreu.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpsmreu.t · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpsmreu (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘, +   𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑦   𝑈,𝑘,𝑦   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐷(𝑦,𝑘)   (𝑦,𝑘)   𝐻(𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpsmreu
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpsmreu.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
2 lshpsmreu.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
31, 2eleqtrrd 2847 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})))
4 lshpsmreu.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19378 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 19230 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10 lshpsmreu.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11 lshpsmreu.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐻)
127, 10, 6, 11lshplss 34869 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
139, 12sseldd 3762 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
14 lshpsmreu.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑉)
15 lshpsmreu.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
16 lshpsmreu.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1715, 7, 16lspsncl 19249 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
186, 14, 17syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
199, 18sseldd 3762 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20 lshpsmreu.a . . . . . . . 8 + = (+g𝑊)
21 lshpsmreu.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝑊)
2220, 21lsmelval 18330 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
2313, 19, 22syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
243, 23mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧))
25 df-rex 3061 . . . . . . 7 (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
26 lshpsmreu.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
27 lshpsmreu.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐷)
28 lshpsmreu.t . . . . . . . . . . . . 13 · = ( ·𝑠𝑊)
2926, 27, 15, 28, 16lspsnel 19275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
306, 14, 29syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
3130anbi1d 623 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
32 r19.41v 3236 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
3331, 32syl6bbr 280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
3433exbidv 2016 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
35 rexcom4 3378 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐾𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
36 ovex 6874 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 · 𝑍) ∈ V
37 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑐 + 𝑧) = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
3837eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
3936, 38ceqsexv 3395 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4039rexbii 3188 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐾𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4135, 40bitr3i 268 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4234, 41syl6bb 278 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4325, 42syl5bb 274 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4443rexbidv 3199 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4524, 44mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
46 rexcom 3246 . . . 4 (∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4745, 46sylib 209 . . 3 (𝜑 → ∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
48 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
4948eqeq2d 2775 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑎 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))))
5049cbvrexv 3320 . . . . . 6 (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑎𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
51 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
52 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
53 simp11l 1383 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝜑)
5453, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5553, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5615, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2lshpdisj 34875 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
5753, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
5853, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LVec)
5958, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LMod)
60 lmodabl 19179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ Abel)
6252, 61, 54, 55ablcntzd 18526 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑍})))
63 simp12 1261 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑎𝑈)
64 simp2 1167 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑐𝑈)
65 simp1rl 1319 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑏𝐾)
66653ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏𝐾)
6753, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍𝑉)
6815, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67lspsneli 19273 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
69 simp1rr 1320 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑙𝐾)
70693ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑙𝐾)
7115, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67lspsneli 19273 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑙 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
72 simp13 1262 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
73 simp3 1168 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
7472, 73eqtr3d 2801 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
7520, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74subgdisj2 18371 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
7653, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈𝐻)
7753, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
7815, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77lshpne0 34874 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ≠ (0g𝑊))
7915, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78lvecvscan2 19384 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → ((𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍) ↔ 𝑏 = 𝑙))
8075, 79mpbid 223 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)
8180rexlimdv3a 3180 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙))
8281rexlimdv3a 3180 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → (∃𝑎𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
8350, 82syl5bi 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
8483impd 398 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
8584ralrimivva 3118 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏𝐾𝑙𝐾 ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
86 oveq1 6849 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑙 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
8786oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑙 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
8887eqeq2d 2775 . . . . 5 (𝑏 = 𝑙 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
8988rexbidv 3199 . . . 4 (𝑏 = 𝑙 → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
9089reu4 3559 . . 3 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ (∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∀𝑏𝐾𝑙𝐾 ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)))
9147, 85, 90sylanbrc 578 . 2 (𝜑 → ∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
92 oveq1 6849 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑘 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑘 · 𝑍))
9392oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑘 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
9493eqeq2d 2775 . . . . 5 (𝑏 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
9594rexbidv 3199 . . . 4 (𝑏 = 𝑘 → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
9695cbvreuv 3321 . . 3 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
97 oveq1 6849 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑦 → (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
9897eqeq2d 2775 . . . . 5 (𝑐 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
9998cbvrexv 3320 . . . 4 (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10099reubii 3276 . . 3 (∃!𝑘𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10196, 100bitri 266 . 2 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10291, 101sylib 209 1 (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  ∃!wreu 3057  cin 3731  wss 3732  {csn 4334  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  +gcplusg 16216  Scalarcsca 16219   ·𝑠 cvsca 16220  0gc0g 16368  SubGrpcsubg 17854  Cntzccntz 18013  LSSumclsm 18315  Abelcabl 18460  LModclmod 19132  LSubSpclss 19201  LSpanclspn 19243  LVecclvec 19374  LSHypclsh 34863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-subg 17857  df-cntz 18015  df-lsm 18317  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lvec 19375  df-lshyp 34865
This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  34998  lshpkrlem2  34999  lshpkrlem3  35000  lshpkrcl  35004  dochfl1  37364
  Copyright terms: Public domain W3C validator