| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | lshpsmreu.x | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉) | 
| 2 |  | lshpsmreu.e | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉) | 
| 3 | 1, 2 | eleqtrrd 2844 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍}))) | 
| 4 |  | lshpsmreu.w | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec) | 
| 5 |  | lveclmod 21105 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod) | 
| 6 | 4, 5 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod) | 
| 7 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . 10
⊢
(LSubSp‘𝑊) =
(LSubSp‘𝑊) | 
| 8 | 7 | lsssssubg 20956 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑊 ∈ LMod →
(LSubSp‘𝑊) ⊆
(SubGrp‘𝑊)) | 
| 9 | 6, 8 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊)) | 
| 10 |  | lshpsmreu.h | . . . . . . . . 9
⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊) | 
| 11 |  | lshpsmreu.u | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻) | 
| 12 | 7, 10, 6, 11 | lshplss 38982 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) | 
| 13 | 9, 12 | sseldd 3984 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) | 
| 14 |  | lshpsmreu.z | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉) | 
| 15 |  | lshpsmreu.v | . . . . . . . . . 10
⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊) | 
| 16 |  | lshpsmreu.n | . . . . . . . . . 10
⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊) | 
| 17 | 15, 7, 16 | lspsncl 20975 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) | 
| 18 | 6, 14, 17 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) | 
| 19 | 9, 18 | sseldd 3984 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) | 
| 20 |  | lshpsmreu.a | . . . . . . . 8
⊢  + =
(+g‘𝑊) | 
| 21 |  | lshpsmreu.p | . . . . . . . 8
⊢  ⊕ =
(LSSum‘𝑊) | 
| 22 | 20, 21 | lsmelval 19667 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧))) | 
| 23 | 13, 19, 22 | syl2anc 584 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧))) | 
| 24 | 3, 23 | mpbid 232 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) | 
| 25 |  | df-rex 3071 | . . . . . . 7
⊢
(∃𝑧 ∈
(𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))) | 
| 26 |  | lshpsmreu.d | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊) | 
| 27 |  | lshpsmreu.k | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷) | 
| 28 |  | lshpsmreu.t | . . . . . . . . . . . . 13
⊢  · = (
·𝑠 ‘𝑊) | 
| 29 | 26, 27, 15, 28, 16 | ellspsn 21001 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍))) | 
| 30 | 6, 14, 29 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍))) | 
| 31 | 30 | anbi1d 631 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))) | 
| 32 |  | r19.41v 3189 | . . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑏 ∈
𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))) | 
| 33 | 31, 32 | bitr4di 289 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))) | 
| 34 | 33 | exbidv 1921 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))) | 
| 35 |  | rexcom4 3288 | . . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑏 ∈
𝐾 ∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))) | 
| 36 |  | ovex 7464 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 · 𝑍) ∈ V | 
| 37 |  | oveq2 7439 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑐 + 𝑧) = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))) | 
| 38 | 37 | eqeq2d 2748 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))) | 
| 39 | 36, 38 | ceqsexv 3532 | . . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))) | 
| 40 | 39 | rexbii 3094 | . . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑏 ∈
𝐾 ∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))) | 
| 41 | 35, 40 | bitr3i 277 | . . . . . . . 8
⊢
(∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))) | 
| 42 | 34, 41 | bitrdi 287 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))) | 
| 43 | 25, 42 | bitrid 283 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))) | 
| 44 | 43 | rexbidv 3179 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))) | 
| 45 | 24, 44 | mpbid 232 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))) | 
| 46 |  | rexcom 3290 | . . . 4
⊢
(∃𝑐 ∈
𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))) | 
| 47 | 45, 46 | sylib 218 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))) | 
| 48 |  | oveq1 7438 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) | 
| 49 | 48 | eqeq2d 2748 | . . . . . . 7
⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))) | 
| 50 | 49 | cbvrexvw 3238 | . . . . . 6
⊢
(∃𝑐 ∈
𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) | 
| 51 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . 10
⊢
(0g‘𝑊) = (0g‘𝑊) | 
| 52 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . 10
⊢
(Cntz‘𝑊) =
(Cntz‘𝑊) | 
| 53 |  | simp11l 1285 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝜑) | 
| 54 | 53, 13 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) | 
| 55 | 53, 19 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) | 
| 56 | 15, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2 | lshpdisj 38988 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g‘𝑊)}) | 
| 57 | 53, 56 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g‘𝑊)}) | 
| 58 | 53, 4 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LVec) | 
| 59 | 58, 5 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LMod) | 
| 60 |  | lmodabl 20907 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel) | 
| 61 | 59, 60 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ Abel) | 
| 62 | 52, 61, 54, 55 | ablcntzd 19875 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑍}))) | 
| 63 |  | simp12 1205 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ 𝑈) | 
| 64 |  | simp2 1138 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑐 ∈ 𝑈) | 
| 65 |  | simp1rl 1239 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑏 ∈ 𝐾) | 
| 66 | 65 | 3ad2ant1 1134 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 ∈ 𝐾) | 
| 67 | 53, 14 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑉) | 
| 68 | 15, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67 | ellspsni 20999 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍})) | 
| 69 |  | simp1rr 1240 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑙 ∈ 𝐾) | 
| 70 | 69 | 3ad2ant1 1134 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑙 ∈ 𝐾) | 
| 71 | 15, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67 | ellspsni 20999 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑙 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍})) | 
| 72 |  | simp13 1206 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) | 
| 73 |  | simp3 1139 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) | 
| 74 | 72, 73 | eqtr3d 2779 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) | 
| 75 | 20, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74 | subgdisj2 19710 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍)) | 
| 76 | 53, 11 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ 𝐻) | 
| 77 | 53, 2 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉) | 
| 78 | 15, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77 | lshpne0 38987 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ≠ (0g‘𝑊)) | 
| 79 | 15, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78 | lvecvscan2 21114 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → ((𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍) ↔ 𝑏 = 𝑙)) | 
| 80 | 75, 79 | mpbid 232 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙) | 
| 81 | 80 | rexlimdv3a 3159 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)) | 
| 82 | 81 | rexlimdv3a 3159 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → (∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙))) | 
| 83 | 50, 82 | biimtrid 242 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙))) | 
| 84 | 83 | impd 410 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)) | 
| 85 | 84 | ralrimivva 3202 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑙 ∈ 𝐾 ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)) | 
| 86 |  | oveq1 7438 | . . . . . . 7
⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍)) | 
| 87 | 86 | oveq2d 7447 | . . . . . 6
⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) | 
| 88 | 87 | eqeq2d 2748 | . . . . 5
⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))) | 
| 89 | 88 | rexbidv 3179 | . . . 4
⊢ (𝑏 = 𝑙 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))) | 
| 90 | 89 | reu4 3737 | . . 3
⊢
(∃!𝑏 ∈
𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑙 ∈ 𝐾 ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))) | 
| 91 | 47, 85, 90 | sylanbrc 583 | . 2
⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))) | 
| 92 |  | oveq1 7438 | . . . . . . 7
⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑘 · 𝑍)) | 
| 93 | 92 | oveq2d 7447 | . . . . . 6
⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))) | 
| 94 | 93 | eqeq2d 2748 | . . . . 5
⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))) | 
| 95 | 94 | rexbidv 3179 | . . . 4
⊢ (𝑏 = 𝑘 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))) | 
| 96 | 95 | cbvreuvw 3404 | . . 3
⊢
(∃!𝑏 ∈
𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))) | 
| 97 |  | oveq1 7438 | . . . . . 6
⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) | 
| 98 | 97 | eqeq2d 2748 | . . . . 5
⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) | 
| 99 | 98 | cbvrexvw 3238 | . . . 4
⊢
(∃𝑐 ∈
𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) | 
| 100 | 99 | reubii 3389 | . . 3
⊢
(∃!𝑘 ∈
𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) | 
| 101 | 96, 100 | bitri 275 | . 2
⊢
(∃!𝑏 ∈
𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) | 
| 102 | 91, 101 | sylib 218 | 1
⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) |