Theorem lshpsmreu 37050

Description: Lemma for lshpkrex 37059. Show uniqueness of ring multiplier 𝑘 when a vector 𝑋 is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 3378 for 𝑎 to 𝑐? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpsmreu.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpsmreu.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpsmreu.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpsmreu.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpsmreu.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpsmreu.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpsmreu.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpsmreu.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpsmreu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpsmreu.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpsmreu.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpsmreu.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpsmreu.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpsmreu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑘, +   𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑦   𝑈,𝑘,𝑦   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐷(𝑦,𝑘)   ⊕ (𝑦,𝑘)   𝐻(𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpsmreu

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpsmreu.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		lshpsmreu.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
3	1, 2	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
4		lshpsmreu.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 20283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8	7	lsssssubg 20135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10		lshpsmreu.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11		lshpsmreu.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12	7, 10, 6, 11	lshplss 36922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	9, 12	sseldd 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
14		lshpsmreu.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15		lshpsmreu.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		lshpsmreu.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17	15, 7, 16	lspsncl 20154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18	6, 14, 17	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	9, 18	sseldd 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20		lshpsmreu.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
21		lshpsmreu.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
22	20, 21	lsmelval 19169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
23	13, 19, 22	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
24	3, 23	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧))
25		df-rex 3069	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
26		lshpsmreu.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
27		lshpsmreu.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
28		lshpsmreu.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	26, 27, 15, 28, 16	lspsnel 20180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
30	6, 14, 29	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
31	30	anbi1d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
32		r19.41v 3273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
33	31, 32	bitr4di 288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
34	33	exbidv 1925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
35		rexcom4 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
36		ovex 7288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 · 𝑍) ∈ V
37		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑐 + 𝑧) = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
38	37	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
39	36, 38	ceqsexv 3469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
40	39	rexbii 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
41	35, 40	bitr3i 276	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
42	34, 41	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
43	25, 42	syl5bb 282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
44	43	rexbidv 3225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
45	24, 44	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
46		rexcom 3281	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
47	45, 46	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
48		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
49	48	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))))
50	49	cbvrexvw 3373	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
51		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
52		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
53		simp11l 1282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝜑)
54	53, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
55	53, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
56	15, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2	lshpdisj 36928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g‘𝑊)})
57	53, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g‘𝑊)})
58	53, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LVec)
59	58, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LMod)
60		lmodabl 20085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ Abel)
62	52, 61, 54, 55	ablcntzd 19373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑍})))
63		simp12 1202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ 𝑈)
64		simp2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑐 ∈ 𝑈)
65		simp1rl 1236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑏 ∈ 𝐾)
66	65	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 ∈ 𝐾)
67	53, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑉)
68	15, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67	lspsneli 20178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
69		simp1rr 1237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑙 ∈ 𝐾)
70	69	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑙 ∈ 𝐾)
71	15, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67	lspsneli 20178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑙 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
72		simp13 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
73		simp3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
74	72, 73	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
75	20, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74	subgdisj2 19213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
76	53, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ 𝐻)
77	53, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
78	15, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77	lshpne0 36927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ≠ (0g‘𝑊))
79	15, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78	lvecvscan2 20289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → ((𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍) ↔ 𝑏 = 𝑙))
80	75, 79	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)
81	80	rexlimdv3a 3214	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙))
82	81	rexlimdv3a 3214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → (∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
83	50, 82	syl5bi 241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
84	83	impd 410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
85	84	ralrimivva 3114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑙 ∈ 𝐾 ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
86		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
87	86	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
88	87	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
89	88	rexbidv 3225	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
90	89	reu4 3661	. . 3 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑙 ∈ 𝐾 ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)))
91	47, 85, 90	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
92		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑘 · 𝑍))
93	92	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
94	93	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
95	94	rexbidv 3225	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
96	95	cbvreuvw 3375	. . 3 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
97		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
98	97	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
99	98	cbvrexvw 3373	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
100	99	reubii 3317	. . 3 ⊢ (∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
101	96, 100	bitri 274	. 2 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
102	91, 101	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  SubGrpcsubg 18664  Cntzccntz 18836  LSSumclsm 19154  Abelcabl 19302  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279  LSHypclsh 36916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lshyp 36918

This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  37051  lshpkrlem2  37052  lshpkrlem3  37053  lshpkrcl  37057  dochfl1  39417