Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpsmreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpsmreu 39091
Description: Lemma for lshpkrex 39100. Show uniqueness of ring multiplier 𝑘 when a vector 𝑋 is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 3363 for 𝑎 to 𝑐? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpsmreu.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpsmreu.a + = (+g𝑊)
lshpsmreu.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpsmreu.p = (LSSum‘𝑊)
lshpsmreu.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpsmreu.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpsmreu.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpsmreu.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpsmreu.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpsmreu.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpsmreu.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpsmreu.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpsmreu.t · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpsmreu (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘, +   𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑦   𝑈,𝑘,𝑦   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐷(𝑦,𝑘)   (𝑦,𝑘)   𝐻(𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpsmreu
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpsmreu.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
2 lshpsmreu.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
31, 2eleqtrrd 2842 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})))
4 lshpsmreu.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 21123 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 20974 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10 lshpsmreu.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11 lshpsmreu.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐻)
127, 10, 6, 11lshplss 38963 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
139, 12sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
14 lshpsmreu.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑉)
15 lshpsmreu.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
16 lshpsmreu.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1715, 7, 16lspsncl 20993 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
186, 14, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
199, 18sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20 lshpsmreu.a . . . . . . . 8 + = (+g𝑊)
21 lshpsmreu.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝑊)
2220, 21lsmelval 19682 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
2313, 19, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
243, 23mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧))
25 df-rex 3069 . . . . . . 7 (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
26 lshpsmreu.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
27 lshpsmreu.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐷)
28 lshpsmreu.t . . . . . . . . . . . . 13 · = ( ·𝑠𝑊)
2926, 27, 15, 28, 16ellspsn 21019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
306, 14, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
3130anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
32 r19.41v 3187 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
3331, 32bitr4di 289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
3433exbidv 1919 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
35 rexcom4 3286 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐾𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
36 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 · 𝑍) ∈ V
37 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑐 + 𝑧) = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
3837eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
3936, 38ceqsexv 3530 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4039rexbii 3092 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐾𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4135, 40bitr3i 277 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4234, 41bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4325, 42bitrid 283 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4443rexbidv 3177 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4524, 44mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
46 rexcom 3288 . . . 4 (∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4745, 46sylib 218 . . 3 (𝜑 → ∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
48 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
4948eqeq2d 2746 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑎 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))))
5049cbvrexvw 3236 . . . . . 6 (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑎𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
51 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
52 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
53 simp11l 1283 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝜑)
5453, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5553, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5615, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2lshpdisj 38969 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
5753, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
5853, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LVec)
5958, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LMod)
60 lmodabl 20924 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ Abel)
6252, 61, 54, 55ablcntzd 19890 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑍})))
63 simp12 1203 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑎𝑈)
64 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑐𝑈)
65 simp1rl 1237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑏𝐾)
66653ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏𝐾)
6753, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍𝑉)
6815, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67ellspsni 21017 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
69 simp1rr 1238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑙𝐾)
70693ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑙𝐾)
7115, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67ellspsni 21017 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑙 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
72 simp13 1204 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
73 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
7472, 73eqtr3d 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
7520, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74subgdisj2 19725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
7653, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈𝐻)
7753, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
7815, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77lshpne0 38968 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ≠ (0g𝑊))
7915, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78lvecvscan2 21132 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → ((𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍) ↔ 𝑏 = 𝑙))
8075, 79mpbid 232 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)
8180rexlimdv3a 3157 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙))
8281rexlimdv3a 3157 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → (∃𝑎𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
8350, 82biimtrid 242 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
8483impd 410 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
8584ralrimivva 3200 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏𝐾𝑙𝐾 ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
86 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑙 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
8786oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑙 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
8887eqeq2d 2746 . . . . 5 (𝑏 = 𝑙 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
8988rexbidv 3177 . . . 4 (𝑏 = 𝑙 → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
9089reu4 3740 . . 3 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ (∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∀𝑏𝐾𝑙𝐾 ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)))
9147, 85, 90sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → ∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
92 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑘 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑘 · 𝑍))
9392oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑘 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
9493eqeq2d 2746 . . . . 5 (𝑏 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
9594rexbidv 3177 . . . 4 (𝑏 = 𝑘 → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
9695cbvreuvw 3402 . . 3 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
97 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑦 → (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
9897eqeq2d 2746 . . . . 5 (𝑐 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
9998cbvrexvw 3236 . . . 4 (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10099reubii 3387 . . 3 (∃!𝑘𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10196, 100bitri 275 . 2 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10291, 101sylib 218 1 (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  ∃!wreu 3376  cin 3962  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  SubGrpcsubg 19151  Cntzccntz 19346  LSSumclsm 19667  Abelcabl 19814  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  LSHypclsh 38957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lshyp 38959
This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  39092  lshpkrlem2  39093  lshpkrlem3  39094  lshpkrcl  39098  dochfl1  41459
  Copyright terms: Public domain W3C validator