Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpsmreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpsmreu 39110
Description: Lemma for lshpkrex 39119. Show uniqueness of ring multiplier 𝑘 when a vector 𝑋 is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 3365 for 𝑎 to 𝑐? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpsmreu.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpsmreu.a + = (+g𝑊)
lshpsmreu.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpsmreu.p = (LSSum‘𝑊)
lshpsmreu.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpsmreu.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpsmreu.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpsmreu.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpsmreu.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpsmreu.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpsmreu.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpsmreu.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpsmreu.t · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpsmreu (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘, +   𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑦   𝑈,𝑘,𝑦   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐷(𝑦,𝑘)   (𝑦,𝑘)   𝐻(𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpsmreu
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpsmreu.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
2 lshpsmreu.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
31, 2eleqtrrd 2844 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})))
4 lshpsmreu.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 21105 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 20956 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10 lshpsmreu.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11 lshpsmreu.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐻)
127, 10, 6, 11lshplss 38982 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
139, 12sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
14 lshpsmreu.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑉)
15 lshpsmreu.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
16 lshpsmreu.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1715, 7, 16lspsncl 20975 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
186, 14, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
199, 18sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20 lshpsmreu.a . . . . . . . 8 + = (+g𝑊)
21 lshpsmreu.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝑊)
2220, 21lsmelval 19667 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
2313, 19, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
243, 23mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧))
25 df-rex 3071 . . . . . . 7 (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
26 lshpsmreu.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
27 lshpsmreu.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐷)
28 lshpsmreu.t . . . . . . . . . . . . 13 · = ( ·𝑠𝑊)
2926, 27, 15, 28, 16ellspsn 21001 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
306, 14, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
3130anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
32 r19.41v 3189 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
3331, 32bitr4di 289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
3433exbidv 1921 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
35 rexcom4 3288 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐾𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
36 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 · 𝑍) ∈ V
37 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑐 + 𝑧) = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
3837eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
3936, 38ceqsexv 3532 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4039rexbii 3094 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐾𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4135, 40bitr3i 277 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝑏𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4234, 41bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4325, 42bitrid 283 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4443rexbidv 3179 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑐𝑈𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
4524, 44mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
46 rexcom 3290 . . . 4 (∃𝑐𝑈𝑏𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
4745, 46sylib 218 . . 3 (𝜑 → ∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
48 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
4948eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑎 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))))
5049cbvrexvw 3238 . . . . . 6 (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑎𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
51 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
52 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
53 simp11l 1285 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝜑)
5453, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5553, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5615, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2lshpdisj 38988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
5753, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
5853, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LVec)
5958, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LMod)
60 lmodabl 20907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ Abel)
6252, 61, 54, 55ablcntzd 19875 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑍})))
63 simp12 1205 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑎𝑈)
64 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑐𝑈)
65 simp1rl 1239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑏𝐾)
66653ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏𝐾)
6753, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍𝑉)
6815, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67ellspsni 20999 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
69 simp1rr 1240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑙𝐾)
70693ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑙𝐾)
7115, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67ellspsni 20999 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑙 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
72 simp13 1206 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
73 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
7472, 73eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
7520, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74subgdisj2 19710 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
7653, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈𝐻)
7753, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
7815, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77lshpne0 38987 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ≠ (0g𝑊))
7915, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78lvecvscan2 21114 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → ((𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍) ↔ 𝑏 = 𝑙))
8075, 79mpbid 232 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐𝑈𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)
8180rexlimdv3a 3159 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) ∧ 𝑎𝑈𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙))
8281rexlimdv3a 3159 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → (∃𝑎𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
8350, 82biimtrid 242 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
8483impd 410 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐾𝑙𝐾)) → ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
8584ralrimivva 3202 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏𝐾𝑙𝐾 ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
86 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑙 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
8786oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑙 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
8887eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑏 = 𝑙 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
8988rexbidv 3179 . . . 4 (𝑏 = 𝑙 → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
9089reu4 3737 . . 3 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ (∃𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∀𝑏𝐾𝑙𝐾 ((∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)))
9147, 85, 90sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → ∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
92 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑘 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑘 · 𝑍))
9392oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑘 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
9493eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑏 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
9594rexbidv 3179 . . . 4 (𝑏 = 𝑘 → (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
9695cbvreuvw 3404 . . 3 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
97 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑦 → (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
9897eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑐 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
9998cbvrexvw 3238 . . . 4 (∃𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10099reubii 3389 . . 3 (∃!𝑘𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10196, 100bitri 275 . 2 (∃!𝑏𝐾𝑐𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
10291, 101sylib 218 1 (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378  cin 3950  wss 3951  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  SubGrpcsubg 19138  Cntzccntz 19333  LSSumclsm 19652  Abelcabl 19799  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LSHypclsh 38976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lshyp 38978
This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  39111  lshpkrlem2  39112  lshpkrlem3  39113  lshpkrcl  39117  dochfl1  41478
  Copyright terms: Public domain W3C validator