MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsubg2 19768
Description: The sum of two subgroups is a subgroup. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmcom.s โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
lsmsubg2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))

Proof of Theorem lsmsubg2
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2 simp3 1138 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
3 eqid 2732 . . 3 (Cntzโ€˜๐บ) = (Cntzโ€˜๐บ)
4 simp1 1136 . . 3 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
53, 4, 1, 2ablcntzd 19766 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘‡ โŠ† ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ˆ))
6 lsmcom.s . . 3 โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
76, 3lsmsubg 19563 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
81, 2, 5, 7syl3anc 1371 1 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3948  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  SubGrpcsubg 19036  Cntzccntz 19220  LSSumclsm 19543  Abelcabl 19690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692
This theorem is referenced by:  lsm4  19769  ablfacrp  19977  pgpfac1lem1  19985  pgpfac1lem2  19986  pgpfac1lem3a  19987  pgpfac1lem3  19988  lsmcl  20838
  Copyright terms: Public domain W3C validator