MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsubg2 18470
Description: The sum of two subgroups is a subgroup. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmcom.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmsubg2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem lsmsubg2
StepHypRef Expression
1 simp2 1131 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 simp3 1132 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2771 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
4 simp1 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Abel)
53, 4, 1, 2ablcntzd 18468 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝑈))
6 lsmcom.s . . 3 = (LSSum‘𝐺)
76, 3lsmsubg 18277 . 2 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝑈)) → (𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
81, 2, 5, 7syl3anc 1476 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3724  cfv 6032  (class class class)co 6794  SubGrpcsubg 17797  Cntzccntz 17956  LSSumclsm 18257  Abelcabl 18402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-0g 16311  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-grp 17634  df-minusg 17635  df-subg 17800  df-cntz 17958  df-lsm 18259  df-cmn 18403  df-abl 18404
This theorem is referenced by:  lsm4  18471  ablfacrp  18674  pgpfac1lem1  18682  pgpfac1lem2  18683  pgpfac1lem3a  18684  pgpfac1lem3  18685  lsmcl  19297
  Copyright terms: Public domain W3C validator