MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1lmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1lmhm2 19598
Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1lmhm.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pj1lmhm.s = (LSSum‘𝑊)
pj1lmhm.z 0 = (0g𝑊)
pj1lmhm.p 𝑃 = (proj1𝑊)
pj1lmhm.1 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
pj1lmhm.2 (𝜑𝑇𝐿)
pj1lmhm.3 (𝜑𝑈𝐿)
pj1lmhm.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
pj1lmhm2 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom (𝑊s 𝑇)))

Proof of Theorem pj1lmhm2
StepHypRef Expression
1 pj1lmhm.l . . 3 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
2 pj1lmhm.s . . 3 = (LSSum‘𝑊)
3 pj1lmhm.z . . 3 0 = (0g𝑊)
4 pj1lmhm.p . . 3 𝑃 = (proj1𝑊)
5 pj1lmhm.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 pj1lmhm.2 . . 3 (𝜑𝑇𝐿)
7 pj1lmhm.3 . . 3 (𝜑𝑈𝐿)
8 pj1lmhm.4 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1lmhm 19597 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊))
10 eqid 2778 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
11 eqid 2778 . . . . 5 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
121lsssssubg 19455 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1413, 6sseldd 3861 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
1513, 7sseldd 3861 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16 lmodabl 19406 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
175, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
1811, 17, 14, 15ablcntzd 18736 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
1910, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4pj1f 18584 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
2019frnd 6353 . . 3 (𝜑 → ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇)
21 eqid 2778 . . . 4 (𝑊s 𝑇) = (𝑊s 𝑇)
2221, 1reslmhm2b 19551 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝐿 ∧ ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom (𝑊s 𝑇))))
235, 6, 20, 22syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom (𝑊s 𝑇))))
249, 23mpbid 224 1 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom (𝑊s 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1507  wcel 2050  cin 3830  wss 3831  {csn 4442  ran crn 5409  cfv 6190  (class class class)co 6978  s cress 16343  +gcplusg 16424  0gc0g 16572  SubGrpcsubg 18060  Cntzccntz 18219  LSSumclsm 18523  proj1cpj1 18524  Abelcabl 18670  LModclmod 19359  LSubSpclss 19428   LMHom clmhm 19516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-0g 16574  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-subg 18063  df-ghm 18130  df-cntz 18221  df-lsm 18525  df-pj1 18526  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-lmhm 19519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator