Theorem pj1lmhm2 21023

Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1lmhm.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pj1lmhm.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
pj1lmhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
pj1lmhm.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝑊)
pj1lmhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
pj1lmhm.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
pj1lmhm.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐿)
pj1lmhm.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
pj1lmhm2	⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇)))

Proof of Theorem pj1lmhm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1lmhm.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
2		pj1lmhm.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		pj1lmhm.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		pj1lmhm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝑊)
5		pj1lmhm.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		pj1lmhm.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
7		pj1lmhm.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐿)
8		pj1lmhm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pj1lmhm 21022	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom 𝑊))
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
12	1	lsssssubg 20879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
14	13, 6	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15	13, 7	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		lmodabl 20830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	5, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
18	11, 17, 14, 15	ablcntzd 19754	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
19	10, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4	pj1f 19594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)
20	19	frnd 6664	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇)
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑇) = (𝑊 ↾s 𝑇)
22	21, 1	reslmhm2b 20976	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇))))
23	5, 6, 20, 22	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇))))
24	9, 23	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ran crn 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↾_s cress 17159  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361  SubGrpcsubg 19017  Cntzccntz 19212  LSSumclsm 19531  proj₁cpj1 19532  Abelcabl 19678  LModclmod 20781  LSubSpclss 20852   LMHom clmhm 20941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-lsm 19533  df-pj1 19534  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lmhm 20944

This theorem is referenced by: (None)