MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1lmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1lmhm2 20949
Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1lmhm.l ๐ฟ = (LSubSpโ€˜๐‘Š)
pj1lmhm.s โŠ• = (LSSumโ€˜๐‘Š)
pj1lmhm.z 0 = (0gโ€˜๐‘Š)
pj1lmhm.p ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐‘Š)
pj1lmhm.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ LMod)
pj1lmhm.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ฟ)
pj1lmhm.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ฟ)
pj1lmhm.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
pj1lmhm2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom (๐‘Š โ†พs ๐‘‡)))

Proof of Theorem pj1lmhm2
StepHypRef Expression
1 pj1lmhm.l . . 3 ๐ฟ = (LSubSpโ€˜๐‘Š)
2 pj1lmhm.s . . 3 โŠ• = (LSSumโ€˜๐‘Š)
3 pj1lmhm.z . . 3 0 = (0gโ€˜๐‘Š)
4 pj1lmhm.p . . 3 ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐‘Š)
5 pj1lmhm.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ LMod)
6 pj1lmhm.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ฟ)
7 pj1lmhm.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ฟ)
8 pj1lmhm.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1lmhm 20948 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom ๐‘Š))
10 eqid 2726 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘Š) = (+gโ€˜๐‘Š)
11 eqid 2726 . . . . 5 (Cntzโ€˜๐‘Š) = (Cntzโ€˜๐‘Š)
121lsssssubg 20805 . . . . . . 7 (๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ ๐ฟ โІ (SubGrpโ€˜๐‘Š))
135, 12syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โІ (SubGrpโ€˜๐‘Š))
1413, 6sseldd 3978 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘Š))
1513, 7sseldd 3978 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘Š))
16 lmodabl 20755 . . . . . . 7 (๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ ๐‘Š โˆˆ Abel)
175, 16syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ Abel)
1811, 17, 14, 15ablcntzd 19777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ ((Cntzโ€˜๐‘Š)โ€˜๐‘ˆ))
1910, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4pj1f 19617 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘‡)
2019frnd 6719 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ran (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โІ ๐‘‡)
21 eqid 2726 . . . 4 (๐‘Š โ†พs ๐‘‡) = (๐‘Š โ†พs ๐‘‡)
2221, 1reslmhm2b 20902 . . 3 ((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ฟ โˆง ran (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โІ ๐‘‡) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom ๐‘Š) โ†” (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom (๐‘Š โ†พs ๐‘‡))))
235, 6, 20, 22syl3anc 1368 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom ๐‘Š) โ†” (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom (๐‘Š โ†พs ๐‘‡))))
249, 23mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom (๐‘Š โ†พs ๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  {csn 4623  ran crn 5670  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โ†พs cress 17182  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  SubGrpcsubg 19047  Cntzccntz 19231  LSSumclsm 19554  proj1cpj1 19555  Abelcabl 19701  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778   LMHom clmhm 20867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-pj1 19557  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lmhm 20870
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator