Theorem pj1lmhm2 21286

Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1lmhm.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pj1lmhm.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
pj1lmhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
pj1lmhm.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝑊)
pj1lmhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
pj1lmhm.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
pj1lmhm.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐿)
pj1lmhm.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
pj1lmhm2	⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇)))

Proof of Theorem pj1lmhm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1lmhm.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
2		pj1lmhm.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		pj1lmhm.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		pj1lmhm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝑊)
5		pj1lmhm.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		pj1lmhm.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
7		pj1lmhm.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐿)
8		pj1lmhm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pj1lmhm 21285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom 𝑊))
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
12	1	lsssssubg 21143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
13	5, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
14	13, 6	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15	13, 7	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		lmodabl 21094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	5, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
18	11, 17, 14, 15	ablcntzd 19985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
19	10, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4	pj1f 19825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)
20	19	frnd 6712	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇)
21		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑇) = (𝑊 ↾s 𝑇)
22	21, 1	reslmhm2b 21239	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇))))
23	5, 6, 20, 22	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇))))
24	9, 23	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↾_s cress 17323  +_gcplusg 17343  0_gc0g 17525  SubGrpcsubg 19244  Cntzccntz 19443  LSSumclsm 19762  proj₁cpj1 19763  Abelcabl 19909  LModclmod 21045  LSubSpclss 21116   LMHom clmhm 21204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-lsm 19764  df-pj1 19765  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lmhm 21207

This theorem is used by: (None)