MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1lmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1lmhm2 21000
Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1lmhm.l ๐ฟ = (LSubSpโ€˜๐‘Š)
pj1lmhm.s โŠ• = (LSSumโ€˜๐‘Š)
pj1lmhm.z 0 = (0gโ€˜๐‘Š)
pj1lmhm.p ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐‘Š)
pj1lmhm.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ LMod)
pj1lmhm.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ฟ)
pj1lmhm.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ฟ)
pj1lmhm.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
pj1lmhm2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom (๐‘Š โ†พs ๐‘‡)))

Proof of Theorem pj1lmhm2
StepHypRef Expression
1 pj1lmhm.l . . 3 ๐ฟ = (LSubSpโ€˜๐‘Š)
2 pj1lmhm.s . . 3 โŠ• = (LSSumโ€˜๐‘Š)
3 pj1lmhm.z . . 3 0 = (0gโ€˜๐‘Š)
4 pj1lmhm.p . . 3 ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐‘Š)
5 pj1lmhm.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ LMod)
6 pj1lmhm.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ฟ)
7 pj1lmhm.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ฟ)
8 pj1lmhm.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1lmhm 20999 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom ๐‘Š))
10 eqid 2728 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘Š) = (+gโ€˜๐‘Š)
11 eqid 2728 . . . . 5 (Cntzโ€˜๐‘Š) = (Cntzโ€˜๐‘Š)
121lsssssubg 20856 . . . . . . 7 (๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ ๐ฟ โІ (SubGrpโ€˜๐‘Š))
135, 12syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โІ (SubGrpโ€˜๐‘Š))
1413, 6sseldd 3983 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘Š))
1513, 7sseldd 3983 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘Š))
16 lmodabl 20806 . . . . . . 7 (๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ ๐‘Š โˆˆ Abel)
175, 16syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ Abel)
1811, 17, 14, 15ablcntzd 19826 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ ((Cntzโ€˜๐‘Š)โ€˜๐‘ˆ))
1910, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4pj1f 19666 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘‡)
2019frnd 6735 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ran (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โІ ๐‘‡)
21 eqid 2728 . . . 4 (๐‘Š โ†พs ๐‘‡) = (๐‘Š โ†พs ๐‘‡)
2221, 1reslmhm2b 20953 . . 3 ((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ฟ โˆง ran (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โІ ๐‘‡) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom ๐‘Š) โ†” (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom (๐‘Š โ†พs ๐‘‡))))
235, 6, 20, 22syl3anc 1368 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom ๐‘Š) โ†” (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom (๐‘Š โ†พs ๐‘‡))))
249, 23mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐‘Š โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) LMHom (๐‘Š โ†พs ๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆฉ cin 3948   โІ wss 3949  {csn 4632  ran crn 5683  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โ†พs cress 17218  +gcplusg 17242  0gc0g 17430  SubGrpcsubg 19089  Cntzccntz 19280  LSSumclsm 19603  proj1cpj1 19604  Abelcabl 19750  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829   LMHom clmhm 20918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-lsm 19605  df-pj1 19606  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lmhm 20921
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator