Theorem pj1lmhm2 21091

Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1lmhm.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pj1lmhm.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
pj1lmhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
pj1lmhm.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝑊)
pj1lmhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
pj1lmhm.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
pj1lmhm.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐿)
pj1lmhm.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
pj1lmhm2	⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇)))

Proof of Theorem pj1lmhm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1lmhm.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
2		pj1lmhm.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		pj1lmhm.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		pj1lmhm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝑊)
5		pj1lmhm.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		pj1lmhm.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐿)
7		pj1lmhm.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐿)
8		pj1lmhm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pj1lmhm 21090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom 𝑊))
10		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
11		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
12	1	lsssssubg 20948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
14	13, 6	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15	13, 7	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		lmodabl 20899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	5, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
18	11, 17, 14, 15	ablcntzd 19823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
19	10, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4	pj1f 19663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)
20	19	frnd 6663	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇)
21		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑇) = (𝑊 ↾s 𝑇)
22	21, 1	reslmhm2b 21044	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇))))
23	5, 6, 20, 22	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇))))
24	9, 23	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) LMHom (𝑊 ↾s 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↾_s cress 17191  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  SubGrpcsubg 19087  Cntzccntz 19281  LSSumclsm 19600  proj₁cpj1 19601  Abelcabl 19747  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921   LMHom clmhm 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-pj1 19603  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lmhm 21012

This theorem is referenced by: (None)