MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvexp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem qabvexp 27056
Description: Induct the product rule abvmul 20386 to find the absolute value of a power. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
Assertion
Ref Expression
qabvexp ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁))
Proof of Theorem qabvexp
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7401 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘€β†‘π‘˜) = (𝑀↑0))
21fveq2d 6882 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑀↑0)))
3 oveq2 7401 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘€)↑0))
42, 3eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘˜ = 0 β†’ ((πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑀↑0)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑0)))
54imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = 0 β†’ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑0)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑0))))
6 oveq2 7401 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘€β†‘π‘˜) = (𝑀↑𝑛))
76fveq2d 6882 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)))
8 oveq2 7401 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛))
97, 8eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)))
109imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛))))
11 oveq2 7401 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (π‘€β†‘π‘˜) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
1211fveq2d 6882 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))))
13 oveq2 7401 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1))))
1514imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)))))
16 oveq2 7401 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘€β†‘π‘˜) = (𝑀↑𝑁))
1716fveq2d 6882 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)))
18 oveq2 7401 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁)))
2019imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁))))
21 ax-1ne0 11161 . . . . . . 7 1 β‰  0
22 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
23 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
2423qrng1 27052 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π‘„)
2523qrng0 27051 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘„)
2622, 24, 25abv1z 20389 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0) β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
2721, 26mpan2 689 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
29 qcn 12929 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„š β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3130exp0d 14087 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (𝑀↑0) = 1)
3231fveq2d 6882 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑0)) = (πΉβ€˜1))
3323qrngbas 27049 . . . . . . . 8 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
3422, 33abvcl 20381 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
3534recnd 11224 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
3635exp0d 14087 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑0) = 1)
3728, 32, 363eqtr4d 2781 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑0)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑0))
38 oveq1 7400 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜π‘€)) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
39 expp1 14016 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀))
4030, 39sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀))
4140fveq2d 6882 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀)))
42 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
43 qexpcl 14025 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„š ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š)
4443adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š)
45 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„š)
46 qex 12927 . . . . . . . . . . . 12 β„š ∈ V
47 cnfldmul 20884 . . . . . . . . . . . . 13 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4823, 47ressmulr 17234 . . . . . . . . . . . 12 (β„š ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜π‘„))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜π‘„)
5022, 33, 49abvmul 20386 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀)) = ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
5142, 44, 45, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀)) = ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
5241, 51eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
53 expp1 14016 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
5435, 53sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
5552, 54eqeq12d 2747 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)) ↔ ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜π‘€)) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜π‘€))))
5638, 55imbitrrid 245 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1))))
5756expcom 414 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)))))
5857a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)) β†’ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)))))
595, 10, 15, 20, 37, 58nn0ind 12639 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁)))
6059com12 32 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁)))
61603impia 1117 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  Vcvv 3473  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393  β„‚cc 11090  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   Β· cmul 11097  β„•0cn0 12454  β„šcq 12914  β†‘cexp 14009   β†Ύs cress 17155  .rcmulr 17180  AbsValcabv 20373  β„‚fldccnfld 20878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-ico 13312  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-subg 18975  df-cmn 19614  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-drng 20267  df-subrg 20310  df-abv 20374  df-cnfld 20879
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  27064  ostth2lem3  27065  ostth3  27068
  Copyright terms: Public domain W3C validator