Theorem qabvexp 27983

Description: Induct the product rule abvmul 21108 to find the absolute value of a power. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
qabvexp	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem qabvexp

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑0))
2	1	fveq2d 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑0)))
3		oveq2 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0)))
5	4	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0))))
6		oveq2 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑𝑛))
7	6	fveq2d 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑𝑛)))
8		oveq2 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛))
9	7, 8	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛)))
10	9	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛))))
11		oveq2 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
12	11	fveq2d 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))))
13		oveq2 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1))))
15	14	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
16		oveq2 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑𝑁))
17	16	fveq2d 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑𝑁)))
18		oveq2 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))))
21		ax-1ne0 11296	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
22		qabsabv.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
23		qrng.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
24	23	qrng1 27979	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
25	23	qrng0 27978	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
26	22, 24, 25	abv1z 21111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
27	21, 26	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘1) = 1)
29		qcn 13117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
30	29	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → 𝑀 ∈ ℂ)
31	30	exp0d 14310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑀↑0) = 1)
32	31	fveq2d 6912	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = (𝐹‘1))
33	23	qrngbas 27976	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
34	22, 33	abvcl 21103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
36	35	exp0d 14310	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑀)↑0) = 1)
37	28, 32, 36	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0))
38		oveq1 7450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
39		expp1 14238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) · 𝑀))
40	30, 39	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) · 𝑀))
41	40	fveq2d 6912	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)))
42		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐴)
43		qexpcl 14247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ)
44	43	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ)
45		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
46		qex 13115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ∈ V
47		cnfldmul 21716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
48	23, 47	ressmulr 17507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (.r‘𝑄))
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑄)
50	22, 33, 49	abvmul 21108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
51	42, 44, 45, 50	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
52	41, 51	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
53		expp1 14238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
54	35, 53	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
55	52, 54	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀))))
56	38, 55	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1))))
57	56	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
58	57	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛)) → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
59	5, 10, 15, 20, 37, 58	nn0ind 12821	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
60	59	com12 33	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
61	60	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232  ℕ₀cn0 12633  ℚcq 13102  ↑cexp 14231   ↾_s cress 17437  ._rcmulr 17458  AbsValcabv 21095  ℂ_fldccnfld 21708

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-ico 13509  df-fz 13667  df-seq 14172  df-exp 14232  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-subg 19362  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-drng 21012  df-abv 21096  df-cnfld 21709

This theorem is used by:  ostth2lem2  27991  ostth2lem3  27992  ostth3  27995