Theorem qabvexp 27544

Description: Induct the product rule abvmul 20737 to find the absolute value of a power. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
qabvexp	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem qabvexp

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑0))
2	1	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑0)))
3		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0)))
5	4	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0))))
6		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑𝑛))
7	6	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑𝑛)))
8		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛))
9	7, 8	eqeq12d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛)))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛))))
11		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
12	11	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))))
13		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
16		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑𝑁))
17	16	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑𝑁)))
18		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))))
21		ax-1ne0 11144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
22		qabsabv.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
23		qrng.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
24	23	qrng1 27540	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
25	23	qrng0 27539	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
26	22, 24, 25	abv1z 20740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
27	21, 26	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘1) = 1)
29		qcn 12929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → 𝑀 ∈ ℂ)
31	30	exp0d 14112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑀↑0) = 1)
32	31	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = (𝐹‘1))
33	23	qrngbas 27537	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
34	22, 33	abvcl 20732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
36	35	exp0d 14112	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑀)↑0) = 1)
37	28, 32, 36	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0))
38		oveq1 7397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
39		expp1 14040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) · 𝑀))
40	30, 39	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) · 𝑀))
41	40	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)))
42		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐴)
43		qexpcl 14049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ)
44	43	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ)
45		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
46		qex 12927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ∈ V
47		cnfldmul 21279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
48	23, 47	ressmulr 17277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (.r‘𝑄))
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑄)
50	22, 33, 49	abvmul 20737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
51	42, 44, 45, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
52	41, 51	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
53		expp1 14040	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
54	35, 53	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
55	52, 54	eqeq12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀))))
56	38, 55	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1))))
57	56	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
58	57	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛)) → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
59	5, 10, 15, 20, 37, 58	nn0ind 12636	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
60	59	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
61	60	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  ℕ₀cn0 12449  ℚcq 12914  ↑cexp 14033   ↾_s cress 17207  ._rcmulr 17228  AbsValcabv 20724  ℂ_fldccnfld 21271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-ico 13319  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-abv 20725  df-cnfld 21272

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  27552  ostth2lem3  27553  ostth3  27556