Theorem qabvexp 26210

Description: Induct the product rule abvmul 19593 to find the absolute value of a power. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
qabvexp	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem qabvexp

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑0))
2	1	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑0)))
3		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0)))
5	4	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0))))
6		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑𝑛))
7	6	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑𝑛)))
8		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛))
9	7, 8	eqeq12d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛)))
10	9	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛))))
11		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
12	11	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))))
13		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1))))
15	14	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
16		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑𝑁))
17	16	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑𝑁)))
18		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))))
21		ax-1ne0 10595	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
22		qabsabv.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
23		qrng.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
24	23	qrng1 26206	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
25	23	qrng0 26205	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
26	22, 24, 25	abv1z 19596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
27	21, 26	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
28	27	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘1) = 1)
29		qcn 12350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
30	29	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → 𝑀 ∈ ℂ)
31	30	exp0d 13500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑀↑0) = 1)
32	31	fveq2d 6649	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = (𝐹‘1))
33	23	qrngbas 26203	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
34	22, 33	abvcl 19588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
35	34	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
36	35	exp0d 13500	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑀)↑0) = 1)
37	28, 32, 36	3eqtr4d 2843	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0))
38		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
39		expp1 13432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) · 𝑀))
40	30, 39	sylan 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) · 𝑀))
41	40	fveq2d 6649	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)))
42		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐴)
43		qexpcl 13441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ)
44	43	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ)
45		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
46		qex 12348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ∈ V
47		cnfldmul 20097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
48	23, 47	ressmulr 16617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (.r‘𝑄))
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑄)
50	22, 33, 49	abvmul 19593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
51	42, 44, 45, 50	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
52	41, 51	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
53		expp1 13432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
54	35, 53	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
55	52, 54	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀))))
56	38, 55	syl5ibr 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1))))
57	56	expcom 417	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
58	57	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛)) → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
59	5, 10, 15, 20, 37, 58	nn0ind 12065	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
60	59	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
61	60	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  ℕ₀cn0 11885  ℚcq 12336  ↑cexp 13425   ↾_s cress 16476  ._rcmulr 16558  AbsValcabv 19580  ℂ_fldccnfld 20091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-ico 12732  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-cnfld 20092

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  26218  ostth2lem3  26219  ostth3  26222