MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qabvexp 26135
Description: Induct the product rule abvmul 19536 to find the absolute value of a power. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
qabvexp ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem qabvexp
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7158 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑀𝑘) = (𝑀↑0))
21fveq2d 6673 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑0)))
3 oveq2 7158 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑0))
42, 3eqeq12d 2842 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0)))
54imbi2d 342 . . . 4 (𝑘 = 0 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0))))
6 oveq2 7158 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑛))
76fveq2d 6673 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀𝑛)))
8 oveq2 7158 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))
97, 8eqeq12d 2842 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
109imbi2d 342 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))))
11 oveq2 7158 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀𝑘) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
1211fveq2d 6673 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))))
13 oveq2 7158 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2842 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1))))
1514imbi2d 342 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
16 oveq2 7158 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑁))
1716fveq2d 6673 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀𝑁)))
18 oveq2 7158 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2842 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
2019imbi2d 342 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))))
21 ax-1ne0 10600 . . . . . . 7 1 ≠ 0
22 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
23 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2423qrng1 26131 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑄)
2523qrng0 26130 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑄)
2622, 24, 25abv1z 19539 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
2721, 26mpan2 687 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘1) = 1)
29 qcn 12357 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → 𝑀 ∈ ℂ)
3130exp0d 13499 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝑀↑0) = 1)
3231fveq2d 6673 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = (𝐹‘1))
3323qrngbas 26128 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
3422, 33abvcl 19531 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
3534recnd 10663 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3635exp0d 13499 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹𝑀)↑0) = 1)
3728, 32, 363eqtr4d 2871 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0))
38 oveq1 7157 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
39 expp1 13431 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀𝑛) · 𝑀))
4030, 39sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀𝑛) · 𝑀))
4140fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)))
42 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐴)
43 qexpcl 13440 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
4443adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
45 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
46 qex 12355 . . . . . . . . . . . 12 ℚ ∈ V
47 cnfldmul 20486 . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r‘ℂfld)
4823, 47ressmulr 16620 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝑄)
5022, 33, 49abvmul 19536 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
5142, 44, 45, 50syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
5241, 51eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
53 expp1 13431 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
5435, 53sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
5552, 54eqeq12d 2842 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀))))
5638, 55syl5ibr 247 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1))))
5756expcom 414 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
5857a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛)) → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
595, 10, 15, 20, 37, 58nn0ind 12071 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
6059com12 32 . 2 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
61603impia 1111 1 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  Vcvv 3500  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  0cn0 11891  cq 12342  cexp 13424  s cress 16479  .rcmulr 16561  AbsValcabv 19523  fldccnfld 20480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-ico 12739  df-fz 12888  df-seq 13365  df-exp 13425  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-subg 18221  df-cmn 18844  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-cring 19236  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-dvr 19369  df-drng 19440  df-subrg 19469  df-abv 19524  df-cnfld 20481
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  26143  ostth2lem3  26144  ostth3  26147
  Copyright terms: Public domain W3C validator