MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvexp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem qabvexp 27474
Description: Induct the product rule abvmul 20668 to find the absolute value of a power. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
Assertion
Ref Expression
qabvexp ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁))
Proof of Theorem qabvexp
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7420 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘€β†‘π‘˜) = (𝑀↑0))
21fveq2d 6895 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑀↑0)))
3 oveq2 7420 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘€)↑0))
42, 3eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘˜ = 0 β†’ ((πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑀↑0)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑0)))
54imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = 0 β†’ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑0)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑0))))
6 oveq2 7420 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘€β†‘π‘˜) = (𝑀↑𝑛))
76fveq2d 6895 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)))
8 oveq2 7420 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛))
97, 8eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)))
109imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛))))
11 oveq2 7420 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (π‘€β†‘π‘˜) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
1211fveq2d 6895 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))))
13 oveq2 7420 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1))))
1514imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)))))
16 oveq2 7420 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘€β†‘π‘˜) = (𝑀↑𝑁))
1716fveq2d 6895 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)))
18 oveq2 7420 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁)))
2019imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘˜)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁))))
21 ax-1ne0 11185 . . . . . . 7 1 β‰  0
22 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
23 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
2423qrng1 27470 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π‘„)
2523qrng0 27469 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘„)
2622, 24, 25abv1z 20671 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0) β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
2721, 26mpan2 688 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
2827adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
29 qcn 12954 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„š β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3130exp0d 14112 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (𝑀↑0) = 1)
3231fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑0)) = (πΉβ€˜1))
3323qrngbas 27467 . . . . . . . 8 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
3422, 33abvcl 20663 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
3534recnd 11249 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
3635exp0d 14112 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑0) = 1)
3728, 32, 363eqtr4d 2781 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑0)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑0))
38 oveq1 7419 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜π‘€)) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
39 expp1 14041 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀))
4030, 39sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀))
4140fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀)))
42 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
43 qexpcl 14050 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„š ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š)
4443adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š)
45 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„š)
46 qex 12952 . . . . . . . . . . . 12 β„š ∈ V
47 cnfldmul 21240 . . . . . . . . . . . . 13 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4823, 47ressmulr 17259 . . . . . . . . . . . 12 (β„š ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜π‘„))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜π‘„)
5022, 33, 49abvmul 20668 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ β„š ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀)) = ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
5142, 44, 45, 50syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜((𝑀↑𝑛) Β· 𝑀)) = ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
5241, 51eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
53 expp1 14041 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
5435, 53sylan 579 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜π‘€)))
5552, 54eqeq12d 2747 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)) ↔ ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) Β· (πΉβ€˜π‘€)) = (((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) Β· (πΉβ€˜π‘€))))
5638, 55imbitrrid 245 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1))))
5756expcom 413 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)))))
5857a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑛)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑛)) β†’ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((πΉβ€˜π‘€)↑(𝑛 + 1)))))
595, 10, 15, 20, 37, 58nn0ind 12664 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁)))
6059com12 32 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁)))
61603impia 1116 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑀↑𝑁)) = ((πΉβ€˜π‘€)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   Β· cmul 11121  β„•0cn0 12479  β„šcq 12939  β†‘cexp 14034   β†Ύs cress 17180  .rcmulr 17205  AbsValcabv 20655  β„‚fldccnfld 21234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-ico 13337  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-abv 20656  df-cnfld 21235
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  27482  ostth2lem3  27483  ostth3  27486
  Copyright terms: Public domain W3C validator