Theorem qabvexp 27688

Description: Induct the product rule abvmul 20844 to find the absolute value of a power. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
qabvexp	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem qabvexp

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑0))
2	1	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑0)))
3		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2756	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0)))
5	4	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0))))
6		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑𝑛))
7	6	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑𝑛)))
8		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛))
9	7, 8	eqeq12d 2756	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛)))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛))))
11		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
12	11	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))))
13		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2756	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
16		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑𝑁))
17	16	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑𝑁)))
18		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2756	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))))
21		ax-1ne0 11253	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
22		qabsabv.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
23		qrng.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
24	23	qrng1 27684	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
25	23	qrng0 27683	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
26	22, 24, 25	abv1z 20847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
27	21, 26	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘1) = 1)
29		qcn 13028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → 𝑀 ∈ ℂ)
31	30	exp0d 14190	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑀↑0) = 1)
32	31	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = (𝐹‘1))
33	23	qrngbas 27681	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
34	22, 33	abvcl 20839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
36	35	exp0d 14190	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑀)↑0) = 1)
37	28, 32, 36	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0))
38		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
39		expp1 14119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) · 𝑀))
40	30, 39	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) · 𝑀))
41	40	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)))
42		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐴)
43		qexpcl 14128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ)
44	43	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ)
45		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
46		qex 13026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ∈ V
47		cnfldmul 21395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
48	23, 47	ressmulr 17366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (.r‘𝑄))
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑄)
50	22, 33, 49	abvmul 20844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
51	42, 44, 45, 50	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
52	41, 51	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
53		expp1 14119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
54	35, 53	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
55	52, 54	eqeq12d 2756	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀))))
56	38, 55	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1))))
57	56	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
58	57	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛)) → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
59	5, 10, 15, 20, 37, 58	nn0ind 12738	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
60	59	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
61	60	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℕ₀cn0 12553  ℚcq 13013  ↑cexp 14112   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312  AbsValcabv 20831  ℂ_fldccnfld 21387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-ico 13413  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-abv 20832  df-cnfld 21388

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  27696  ostth2lem3  27697  ostth3  27700