MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qabvexp 27670
Description: Induct the product rule abvmul 20822 to find the absolute value of a power. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
qabvexp ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem qabvexp
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑀𝑘) = (𝑀↑0))
21fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑0)))
3 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑0))
42, 3eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0)))
54imbi2d 340 . . . 4 (𝑘 = 0 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0))))
6 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑛))
76fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀𝑛)))
8 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))
97, 8eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
109imbi2d 340 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))))
11 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀𝑘) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
1211fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))))
13 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1))))
1514imbi2d 340 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
16 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑁))
1716fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀𝑁)))
18 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
2019imbi2d 340 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))))
21 ax-1ne0 11224 . . . . . . 7 1 ≠ 0
22 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
23 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2423qrng1 27666 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑄)
2523qrng0 27665 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑄)
2622, 24, 25abv1z 20825 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
2721, 26mpan2 691 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
2827adantr 480 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘1) = 1)
29 qcn 13005 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → 𝑀 ∈ ℂ)
3130exp0d 14180 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝑀↑0) = 1)
3231fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = (𝐹‘1))
3323qrngbas 27663 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
3422, 33abvcl 20817 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
3534recnd 11289 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3635exp0d 14180 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹𝑀)↑0) = 1)
3728, 32, 363eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0))
38 oveq1 7438 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
39 expp1 14109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀𝑛) · 𝑀))
4030, 39sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀𝑛) · 𝑀))
4140fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)))
42 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐴)
43 qexpcl 14118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
4443adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
45 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
46 qex 13003 . . . . . . . . . . . 12 ℚ ∈ V
47 cnfldmul 21372 . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r‘ℂfld)
4823, 47ressmulr 17351 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝑄)
5022, 33, 49abvmul 20822 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
5142, 44, 45, 50syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
5241, 51eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
53 expp1 14109 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
5435, 53sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
5552, 54eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀))))
5638, 55imbitrrid 246 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1))))
5756expcom 413 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
5857a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛)) → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
595, 10, 15, 20, 37, 58nn0ind 12713 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
6059com12 32 . 2 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
61603impia 1118 1 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  0cn0 12526  cq 12990  cexp 14102  s cress 17274  .rcmulr 17298  AbsValcabv 20809  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-ico 13393  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-abv 20810  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  27678  ostth2lem3  27679  ostth3  27682
  Copyright terms: Public domain W3C validator