Theorem qabvexp 27685

Description: Induct the product rule abvmul 20839 to find the absolute value of a power. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
qabvexp	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem qabvexp

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑0))
2	1	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑0)))
3		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0)))
5	4	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0))))
6		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑𝑛))
7	6	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑𝑛)))
8		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛))
9	7, 8	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛)))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛))))
11		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
12	11	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))))
13		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
16		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀↑𝑘) = (𝑀↑𝑁))
17	16	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑𝑁)))
18		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))))
21		ax-1ne0 11222	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
22		qabsabv.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
23		qrng.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
24	23	qrng1 27681	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
25	23	qrng0 27680	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
26	22, 24, 25	abv1z 20842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
27	21, 26	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘1) = 1)
29		qcn 13003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → 𝑀 ∈ ℂ)
31	30	exp0d 14177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑀↑0) = 1)
32	31	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = (𝐹‘1))
33	23	qrngbas 27678	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
34	22, 33	abvcl 20834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
36	35	exp0d 14177	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑀)↑0) = 1)
37	28, 32, 36	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹‘𝑀)↑0))
38		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
39		expp1 14106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) · 𝑀))
40	30, 39	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀↑𝑛) · 𝑀))
41	40	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)))
42		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐴)
43		qexpcl 14115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ)
44	43	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ)
45		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
46		qex 13001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ∈ V
47		cnfldmul 21390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
48	23, 47	ressmulr 17353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (.r‘𝑄))
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑄)
50	22, 33, 49	abvmul 20839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑀↑𝑛) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
51	42, 44, 45, 50	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑀↑𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
52	41, 51	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)))
53		expp1 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
54	35, 53	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀)))
55	52, 54	eqeq12d 2751	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) · (𝐹‘𝑀)) = (((𝐹‘𝑀)↑𝑛) · (𝐹‘𝑀))))
56	38, 55	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1))))
57	56	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
58	57	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑛)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑛)) → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
59	5, 10, 15, 20, 37, 58	nn0ind 12711	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
60	59	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁)))
61	60	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑𝑁)) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  ℕ₀cn0 12524  ℚcq 12988  ↑cexp 14099   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17299  AbsValcabv 20826  ℂ_fldccnfld 21382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-ico 13390  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-abv 20827  df-cnfld 21383

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  27693  ostth2lem3  27694  ostth3  27697