Theorem ostthlem2 27556

Description: Lemma for ostth 27567. Refine ostthlem1 27555 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))

Assertion

Ref	Expression
ostthlem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)

Proof of Theorem ostthlem2

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		ostthlem1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4		ostthlem1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
5		eluz2nn 12808	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘1))
7		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘1))
8	6, 7	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
9	8	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
10		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑦))
11		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑦))
12	10, 11	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
13	12	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))))
14		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑧))
15		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑧))
16	14, 15	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
17	16	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
18		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)))
19		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))
20	18, 19	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
21	20	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
22		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑛))
23		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑛))
24	22, 23	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
25	24	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))))
26		ax-1ne0 11097	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
27	1	qrng1 27550	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
28	1	qrng0 27549	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
29	2, 27, 28	abv1z 20728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
30	3, 26, 29	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
31	2, 27, 28	abv1z 20728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐺‘1) = 1)
32	4, 26, 31	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
33	30, 32	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34		ostthlem2.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))
35	34	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
36		jcab 517	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) ↔ ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
37		oveq12 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
38	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
39		eluzelz 12764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	39	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
41		zq 12874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑦 ∈ ℚ)
43		eluzelz 12764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
44	43	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑧 ∈ ℤ)
45		zq 12874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑧 ∈ ℚ)
47	1	qrngbas 27547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
48		qex 12881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ∈ V
49		cnfldmul 21288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
50	1, 49	ressmulr 17230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (.r‘𝑄))
51	48, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑄)
52	2, 47, 51	abvmul 20725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
53	38, 42, 46, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
54	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝐺 ∈ 𝐴)
55	2, 47, 51	abvmul 20725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
56	54, 42, 46, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
57	53, 56	eqeq12d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → ((𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧))))
58	37, 57	imbitrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
59	58	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝜑 → (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
60	59	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
61	36, 60	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
62	9, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61	prmind 16616	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
63	62	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
64	5, 63	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
65	1, 2, 3, 4, 64	ostthlem1 27555	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3438  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033  ℕcn 12147  2c2 12202  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12754  ℚcq 12868  ℙcprime 16601   ↾_s cress 17160  ._rcmulr 17181  AbsValcabv 20712  ℂ_fldccnfld 21280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-ico 13273  df-fz 13430  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-dvds 16183  df-prm 16602  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-subg 19021  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-cring 20140  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-dvr 20305  df-subrng 20450  df-subrg 20474  df-drng 20635  df-abv 20713  df-cnfld 21281

This theorem is referenced by:  ostth1  27561  ostth3  27566