MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ostthlem2 27579
Description: Lemma for ostth 27590. Refine ostthlem1 27578 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
ostthlem1.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem2.3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
ostthlem2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   πœ‘,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)
Proof of Theorem ostthlem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
3 ostthlem1.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
4 ostthlem1.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
5 eluz2nn 12898 . . 3 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜1))
7 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜1))
86, 7eqeq12d 2741 . . . . . 6 (𝑝 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1)))
98imbi2d 339 . . . . 5 (𝑝 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1))))
10 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘¦))
11 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘¦))
1210, 11eqeq12d 2741 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)))
1312imbi2d 339 . . . . 5 (𝑝 = 𝑦 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))))
14 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘§))
15 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘§))
1614, 15eqeq12d 2741 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)))
1716imbi2d 339 . . . . 5 (𝑝 = 𝑧 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
18 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))
19 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))
2018, 19eqeq12d 2741 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧))))
2120imbi2d 339 . . . . 5 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
22 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘›))
23 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘›))
2422, 23eqeq12d 2741 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›)))
2524imbi2d 339 . . . . 5 (𝑝 = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))))
26 ax-1ne0 11207 . . . . . . 7 1 β‰  0
271qrng1 27573 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π‘„)
281qrng0 27572 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘„)
292, 27, 28abv1z 20716 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0) β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
303, 26, 29sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
312, 27, 28abv1z 20716 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0) β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
324, 26, 31sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
3330, 32eqtr4d 2768 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1))
34 ostthlem2.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘))
3534expcom 412 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)))
36 jcab 516 . . . . . 6 ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
37 oveq12 7425 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
383adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
39 eluzelz 12862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
4039ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
41 zq 12968 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„š)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑦 ∈ β„š)
43 eluzelz 12862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
4443ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
45 zq 12968 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ β„€ β†’ 𝑧 ∈ β„š)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑧 ∈ β„š)
471qrngbas 27570 . . . . . . . . . . . 12 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
48 qex 12975 . . . . . . . . . . . . 13 β„š ∈ V
49 cnfldmul 21291 . . . . . . . . . . . . . 14 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
501, 49ressmulr 17287 . . . . . . . . . . . . 13 (β„š ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜π‘„))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.rβ€˜π‘„)
522, 47, 51abvmul 20713 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑧 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
5338, 42, 46, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
544adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
552, 47, 51abvmul 20713 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑧 ∈ β„š) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
5654, 42, 46, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
5753, 56eqeq12d 2741 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
5837, 57imbitrrid 245 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧))))
5958expcom 412 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
6059a2d 29 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
6136, 60biimtrrid 242 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
629, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61prmind 16656 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›)))
6362impcom 406 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
645, 63sylan2 591 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
651, 2, 3, 4, 64ostthlem1 27578 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143  β„•cn 12242  2c2 12297  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  β„šcq 12962  β„™cprime 16641   β†Ύs cress 17208  .rcmulr 17233  AbsValcabv 20700  β„‚fldccnfld 21283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-ico 13362  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-prm 16642  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-abv 20701  df-cnfld 21284
This theorem is referenced by:  ostth1  27584  ostth3  27589
  Copyright terms: Public domain W3C validator