MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostthlem2 26376
Description: Lemma for ostth 26387. Refine ostthlem1 26375 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostthlem1.2 (𝜑𝐺𝐴)
ostthlem2.3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
Assertion
Ref Expression
ostthlem2 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)

Proof of Theorem ostthlem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 ostthlem1.1 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 ostthlem1.2 . 2 (𝜑𝐺𝐴)
5 eluz2nn 12378 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
6 fveq2 6686 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (𝐹𝑝) = (𝐹‘1))
7 fveq2 6686 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (𝐺𝑝) = (𝐺‘1))
86, 7eqeq12d 2755 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
98imbi2d 344 . . . . 5 (𝑝 = 1 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
10 fveq2 6686 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑦))
11 fveq2 6686 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑦))
1210, 11eqeq12d 2755 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
1312imbi2d 344 . . . . 5 (𝑝 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))))
14 fveq2 6686 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑧))
15 fveq2 6686 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑧))
1614, 15eqeq12d 2755 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑧 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
1716imbi2d 344 . . . . 5 (𝑝 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))))
18 fveq2 6686 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐹𝑝) = (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)))
19 fveq2 6686 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐺𝑝) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))
2018, 19eqeq12d 2755 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
2120imbi2d 344 . . . . 5 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
22 fveq2 6686 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑛))
23 fveq2 6686 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑛))
2422, 23eqeq12d 2755 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛)))
2524imbi2d 344 . . . . 5 (𝑝 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))))
26 ax-1ne0 10696 . . . . . . 7 1 ≠ 0
271qrng1 26370 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑄)
281qrng0 26369 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑄)
292, 27, 28abv1z 19734 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
303, 26, 29sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
312, 27, 28abv1z 19734 . . . . . . 7 ((𝐺𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐺‘1) = 1)
324, 26, 31sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
3330, 32eqtr4d 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34 ostthlem2.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
3534expcom 417 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
36 jcab 521 . . . . . 6 ((𝜑 → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) ↔ ((𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))))
37 oveq12 7191 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
383adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝐹𝐴)
39 eluzelz 12346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
4039ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
41 zq 12448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑦 ∈ ℚ)
43 eluzelz 12346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
4443ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑧 ∈ ℤ)
45 zq 12448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑧 ∈ ℚ)
471qrngbas 26367 . . . . . . . . . . . 12 ℚ = (Base‘𝑄)
48 qex 12455 . . . . . . . . . . . . 13 ℚ ∈ V
49 cnfldmul 20235 . . . . . . . . . . . . . 14 · = (.r‘ℂfld)
501, 49ressmulr 16740 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r𝑄)
522, 47, 51abvmul 19731 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
5338, 42, 46, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
544adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝐺𝐴)
552, 47, 51abvmul 19731 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐴𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
5654, 42, 46, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
5753, 56eqeq12d 2755 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → ((𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧))))
5837, 57syl5ibr 249 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
5958expcom 417 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝜑 → (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
6059a2d 29 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝜑 → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
6136, 60syl5bir 246 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
629, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61prmind 16139 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛)))
6362impcom 411 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
645, 63sylan2 596 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
651, 2, 3, 4, 64ostthlem1 26375 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  Vcvv 3400  cfv 6349  (class class class)co 7182  0cc0 10627  1c1 10628   · cmul 10632  cn 11728  2c2 11783  cz 12074  cuz 12336  cq 12442  cprime 16124  s cress 16599  .rcmulr 16681  AbsValcabv 19718  fldccnfld 20229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705  ax-addf 10706  ax-mulf 10707
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-tpos 7933  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-sup 8991  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-ico 12839  df-fz 12994  df-seq 13473  df-exp 13534  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-dvds 15712  df-prm 16125  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-starv 16695  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-unif 16703  df-0g 16830  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-subg 18406  df-cmn 19038  df-mgp 19371  df-ur 19383  df-ring 19430  df-cring 19431  df-oppr 19507  df-dvdsr 19525  df-unit 19526  df-invr 19556  df-dvr 19567  df-drng 19635  df-subrg 19664  df-abv 19719  df-cnfld 20230
This theorem is referenced by:  ostth1  26381  ostth3  26386
  Copyright terms: Public domain W3C validator