Theorem ostthlem2 27591

Description: Lemma for ostth 27602. Refine ostthlem1 27590 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))

Assertion

Ref	Expression
ostthlem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)

Proof of Theorem ostthlem2

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		ostthlem1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4		ostthlem1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
5		eluz2nn 12838	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘1))
7		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘1))
8	6, 7	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
9	8	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
10		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑦))
11		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑦))
12	10, 11	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
13	12	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))))
14		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑧))
15		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑧))
16	14, 15	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
17	16	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
18		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)))
19		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))
20	18, 19	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
21	20	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
22		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑛))
23		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑛))
24	22, 23	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
25	24	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))))
26		ax-1ne0 11107	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
27	1	qrng1 27585	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
28	1	qrng0 27584	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
29	2, 27, 28	abv1z 20801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
30	3, 26, 29	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
31	2, 27, 28	abv1z 20801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐺‘1) = 1)
32	4, 26, 31	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
33	30, 32	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34		ostthlem2.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))
35	34	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
36		jcab 517	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) ↔ ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
37		oveq12 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
38	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
39		eluzelz 12798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	39	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
41		zq 12904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑦 ∈ ℚ)
43		eluzelz 12798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
44	43	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑧 ∈ ℤ)
45		zq 12904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑧 ∈ ℚ)
47	1	qrngbas 27582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
48		qex 12911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ∈ V
49		cnfldmul 21360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
50	1, 49	ressmulr 17270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (.r‘𝑄))
51	48, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑄)
52	2, 47, 51	abvmul 20798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
53	38, 42, 46, 52	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
54	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝐺 ∈ 𝐴)
55	2, 47, 51	abvmul 20798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
56	54, 42, 46, 55	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
57	53, 56	eqeq12d 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → ((𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧))))
58	37, 57	imbitrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
59	58	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝜑 → (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
60	59	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
61	36, 60	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
62	9, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61	prmind 16655	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
63	62	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
64	5, 63	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
65	1, 2, 3, 4, 64	ostthlem1 27590	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℚcq 12898  ℙcprime 16640   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221  AbsValcabv 20785  ℂ_fldccnfld 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-abv 20786  df-cnfld 21353

This theorem is referenced by:  ostth1  27596  ostth3  27601