Theorem ostthlem2 27687

Description: Lemma for ostth 27698. Refine ostthlem1 27686 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))

Assertion

Ref	Expression
ostthlem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)

Proof of Theorem ostthlem2

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		ostthlem1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4		ostthlem1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
5		eluz2nn 12922	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘1))
7		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘1))
8	6, 7	eqeq12d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
9	8	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
10		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑦))
11		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑦))
12	10, 11	eqeq12d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
13	12	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))))
14		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑧))
15		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑧))
16	14, 15	eqeq12d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
17	16	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
18		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)))
19		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))
20	18, 19	eqeq12d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
21	20	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
22		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑛))
23		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑛))
24	22, 23	eqeq12d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
25	24	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))))
26		ax-1ne0 11222	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
27	1	qrng1 27681	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
28	1	qrng0 27680	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
29	2, 27, 28	abv1z 20842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
30	3, 26, 29	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
31	2, 27, 28	abv1z 20842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐺‘1) = 1)
32	4, 26, 31	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
33	30, 32	eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34		ostthlem2.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))
35	34	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
36		jcab 517	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) ↔ ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
37		oveq12 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
38	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
39		eluzelz 12886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	39	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
41		zq 12994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑦 ∈ ℚ)
43		eluzelz 12886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
44	43	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑧 ∈ ℤ)
45		zq 12994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑧 ∈ ℚ)
47	1	qrngbas 27678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
48		qex 13001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ∈ V
49		cnfldmul 21390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
50	1, 49	ressmulr 17353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (.r‘𝑄))
51	48, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑄)
52	2, 47, 51	abvmul 20839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
53	38, 42, 46, 52	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
54	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝐺 ∈ 𝐴)
55	2, 47, 51	abvmul 20839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
56	54, 42, 46, 55	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
57	53, 56	eqeq12d 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → ((𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧))))
58	37, 57	imbitrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
59	58	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝜑 → (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
60	59	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
61	36, 60	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
62	9, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61	prmind 16720	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
63	62	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
64	5, 63	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
65	1, 2, 3, 4, 64	ostthlem1 27686	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  ℕcn 12264  2c2 12319  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ℚcq 12988  ℙcprime 16705   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17299  AbsValcabv 20826  ℂ_fldccnfld 21382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-abv 20827  df-cnfld 21383

This theorem is referenced by:  ostth1  27692  ostth3  27697