MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ostthlem2 27120
Description: Lemma for ostth 27131. Refine ostthlem1 27119 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
ostthlem1.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem2.3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
ostthlem2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   πœ‘,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)
Proof of Theorem ostthlem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
3 ostthlem1.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
4 ostthlem1.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
5 eluz2nn 12864 . . 3 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜1))
7 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜1))
86, 7eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑝 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1)))
98imbi2d 340 . . . . 5 (𝑝 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1))))
10 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘¦))
11 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘¦))
1210, 11eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)))
1312imbi2d 340 . . . . 5 (𝑝 = 𝑦 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))))
14 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘§))
15 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘§))
1614, 15eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)))
1716imbi2d 340 . . . . 5 (𝑝 = 𝑧 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
18 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))
19 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))
2018, 19eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧))))
2120imbi2d 340 . . . . 5 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
22 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘›))
23 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘›))
2422, 23eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›)))
2524imbi2d 340 . . . . 5 (𝑝 = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))))
26 ax-1ne0 11175 . . . . . . 7 1 β‰  0
271qrng1 27114 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π‘„)
281qrng0 27113 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘„)
292, 27, 28abv1z 20432 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0) β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
303, 26, 29sylancl 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
312, 27, 28abv1z 20432 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0) β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
324, 26, 31sylancl 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
3330, 32eqtr4d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1))
34 ostthlem2.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘))
3534expcom 414 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)))
36 jcab 518 . . . . . 6 ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
37 oveq12 7414 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
383adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
39 eluzelz 12828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
4039ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
41 zq 12934 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„š)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑦 ∈ β„š)
43 eluzelz 12828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
4443ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
45 zq 12934 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ β„€ β†’ 𝑧 ∈ β„š)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑧 ∈ β„š)
471qrngbas 27111 . . . . . . . . . . . 12 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
48 qex 12941 . . . . . . . . . . . . 13 β„š ∈ V
49 cnfldmul 20942 . . . . . . . . . . . . . 14 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
501, 49ressmulr 17248 . . . . . . . . . . . . 13 (β„š ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜π‘„))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.rβ€˜π‘„)
522, 47, 51abvmul 20429 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑧 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
5338, 42, 46, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
544adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
552, 47, 51abvmul 20429 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑧 ∈ β„š) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
5654, 42, 46, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
5753, 56eqeq12d 2748 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
5837, 57imbitrrid 245 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧))))
5958expcom 414 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
6059a2d 29 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
6136, 60biimtrrid 242 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
629, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61prmind 16619 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›)))
6362impcom 408 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
645, 63sylan2 593 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
651, 2, 3, 4, 64ostthlem1 27119 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111  β„•cn 12208  2c2 12263  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„šcq 12928  β„™cprime 16604   β†Ύs cress 17169  .rcmulr 17194  AbsValcabv 20416  β„‚fldccnfld 20936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-prm 16605  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-cnfld 20937
This theorem is referenced by:  ostth1  27125  ostth3  27130
  Copyright terms: Public domain W3C validator