Theorem ostthlem2 27515

Description: Lemma for ostth 27526. Refine ostthlem1 27514 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))

Assertion

Ref	Expression
ostthlem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)

Proof of Theorem ostthlem2

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		ostthlem1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4		ostthlem1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
5		eluz2nn 12823	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘1))
7		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘1))
8	6, 7	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
9	8	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
10		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑦))
11		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑦))
12	10, 11	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
13	12	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))))
14		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑧))
15		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑧))
16	14, 15	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
17	16	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
18		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)))
19		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))
20	18, 19	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
21	20	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
22		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑛))
23		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑛))
24	22, 23	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
25	24	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))))
26		ax-1ne0 11113	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
27	1	qrng1 27509	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
28	1	qrng0 27508	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
29	2, 27, 28	abv1z 20709	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
30	3, 26, 29	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
31	2, 27, 28	abv1z 20709	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐺‘1) = 1)
32	4, 26, 31	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
33	30, 32	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34		ostthlem2.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))
35	34	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
36		jcab 517	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) ↔ ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
37		oveq12 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
38	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
39		eluzelz 12779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	39	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
41		zq 12889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑦 ∈ ℚ)
43		eluzelz 12779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
44	43	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑧 ∈ ℤ)
45		zq 12889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑧 ∈ ℚ)
47	1	qrngbas 27506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
48		qex 12896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ∈ V
49		cnfldmul 21248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
50	1, 49	ressmulr 17246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (.r‘𝑄))
51	48, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑄)
52	2, 47, 51	abvmul 20706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
53	38, 42, 46, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
54	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝐺 ∈ 𝐴)
55	2, 47, 51	abvmul 20706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
56	54, 42, 46, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
57	53, 56	eqeq12d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → ((𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧))))
58	37, 57	imbitrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
59	58	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝜑 → (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
60	59	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
61	36, 60	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
62	9, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61	prmind 16632	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
63	62	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
64	5, 63	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
65	1, 2, 3, 4, 64	ostthlem1 27514	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049  ℕcn 12162  2c2 12217  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ℚcq 12883  ℙcprime 16617   ↾_s cress 17176  ._rcmulr 17197  AbsValcabv 20693  ℂ_fldccnfld 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-prm 16618  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-subg 19031  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-abv 20694  df-cnfld 21241

This theorem is referenced by:  ostth1  27520  ostth3  27525