MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostthlem2 26992
Description: Lemma for ostth 27003. Refine ostthlem1 26991 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
ostthlem1.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem2.3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
ostthlem2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   πœ‘,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)

Proof of Theorem ostthlem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
3 ostthlem1.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
4 ostthlem1.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
5 eluz2nn 12816 . . 3 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜1))
7 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜1))
86, 7eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑝 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1)))
98imbi2d 341 . . . . 5 (𝑝 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1))))
10 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘¦))
11 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘¦))
1210, 11eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)))
1312imbi2d 341 . . . . 5 (𝑝 = 𝑦 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))))
14 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘§))
15 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘§))
1614, 15eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)))
1716imbi2d 341 . . . . 5 (𝑝 = 𝑧 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
18 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))
19 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))
2018, 19eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧))))
2120imbi2d 341 . . . . 5 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
22 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘›))
23 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘›))
2422, 23eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›)))
2524imbi2d 341 . . . . 5 (𝑝 = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))))
26 ax-1ne0 11127 . . . . . . 7 1 β‰  0
271qrng1 26986 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π‘„)
281qrng0 26985 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘„)
292, 27, 28abv1z 20307 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0) β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
303, 26, 29sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
312, 27, 28abv1z 20307 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0) β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
324, 26, 31sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
3330, 32eqtr4d 2780 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1))
34 ostthlem2.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘))
3534expcom 415 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)))
36 jcab 519 . . . . . 6 ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
37 oveq12 7371 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
383adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
39 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
41 zq 12886 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„š)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑦 ∈ β„š)
43 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
4443ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
45 zq 12886 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ β„€ β†’ 𝑧 ∈ β„š)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑧 ∈ β„š)
471qrngbas 26983 . . . . . . . . . . . 12 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
48 qex 12893 . . . . . . . . . . . . 13 β„š ∈ V
49 cnfldmul 20818 . . . . . . . . . . . . . 14 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
501, 49ressmulr 17195 . . . . . . . . . . . . 13 (β„š ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜π‘„))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.rβ€˜π‘„)
522, 47, 51abvmul 20304 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑧 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
5338, 42, 46, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
544adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
552, 47, 51abvmul 20304 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑧 ∈ β„š) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
5654, 42, 46, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
5753, 56eqeq12d 2753 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
5837, 57syl5ibr 246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧))))
5958expcom 415 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
6059a2d 29 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
6136, 60biimtrrid 242 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
629, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61prmind 16569 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›)))
6362impcom 409 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
645, 63sylan2 594 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
651, 2, 3, 4, 64ostthlem1 26991 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063  β„•cn 12160  2c2 12215  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„šcq 12880  β„™cprime 16554   β†Ύs cress 17119  .rcmulr 17141  AbsValcabv 20291  β„‚fldccnfld 20812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-subg 18932  df-cmn 19571  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-abv 20292  df-cnfld 20813
This theorem is referenced by:  ostth1  26997  ostth3  27002
  Copyright terms: Public domain W3C validator