MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostthlem2 27657
Description: Lemma for ostth 27668. Refine ostthlem1 27656 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostthlem1.2 (𝜑𝐺𝐴)
ostthlem2.3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
Assertion
Ref Expression
ostthlem2 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)

Proof of Theorem ostthlem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 ostthlem1.1 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 ostthlem1.2 . 2 (𝜑𝐺𝐴)
5 eluz2nn 12920 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
6 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (𝐹𝑝) = (𝐹‘1))
7 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (𝐺𝑝) = (𝐺‘1))
86, 7eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
98imbi2d 339 . . . . 5 (𝑝 = 1 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
10 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑦))
11 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑦))
1210, 11eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
1312imbi2d 339 . . . . 5 (𝑝 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))))
14 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑧))
15 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑧))
1614, 15eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑧 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
1716imbi2d 339 . . . . 5 (𝑝 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))))
18 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐹𝑝) = (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)))
19 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐺𝑝) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))
2018, 19eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
2120imbi2d 339 . . . . 5 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
22 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑛))
23 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑛))
2422, 23eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛)))
2524imbi2d 339 . . . . 5 (𝑝 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))))
26 ax-1ne0 11227 . . . . . . 7 1 ≠ 0
271qrng1 27651 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑄)
281qrng0 27650 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑄)
292, 27, 28abv1z 20803 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
303, 26, 29sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
312, 27, 28abv1z 20803 . . . . . . 7 ((𝐺𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐺‘1) = 1)
324, 26, 31sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
3330, 32eqtr4d 2769 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34 ostthlem2.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
3534expcom 412 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
36 jcab 516 . . . . . 6 ((𝜑 → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) ↔ ((𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))))
37 oveq12 7433 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
383adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝐹𝐴)
39 eluzelz 12884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
4039ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
41 zq 12990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑦 ∈ ℚ)
43 eluzelz 12884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
4443ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑧 ∈ ℤ)
45 zq 12990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑧 ∈ ℚ)
471qrngbas 27648 . . . . . . . . . . . 12 ℚ = (Base‘𝑄)
48 qex 12997 . . . . . . . . . . . . 13 ℚ ∈ V
49 cnfldmul 21351 . . . . . . . . . . . . . 14 · = (.r‘ℂfld)
501, 49ressmulr 17321 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r𝑄)
522, 47, 51abvmul 20800 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
5338, 42, 46, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
544adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝐺𝐴)
552, 47, 51abvmul 20800 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐴𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
5654, 42, 46, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
5753, 56eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → ((𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧))))
5837, 57imbitrrid 245 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
5958expcom 412 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝜑 → (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
6059a2d 29 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝜑 → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
6136, 60biimtrrid 242 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
629, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61prmind 16687 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛)))
6362impcom 406 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
645, 63sylan2 591 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
651, 2, 3, 4, 64ostthlem1 27656 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163  cn 12264  2c2 12319  cz 12610  cuz 12874  cq 12984  cprime 16672  s cress 17242  .rcmulr 17267  AbsValcabv 20787  fldccnfld 21343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-ico 13384  df-fz 13539  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-prm 16673  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-subg 19117  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-abv 20788  df-cnfld 21344
This theorem is referenced by:  ostth1  27662  ostth3  27667
  Copyright terms: Public domain W3C validator