MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostthlem2 25608
Description: Lemma for ostth 25619. Refine ostthlem1 25607 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostthlem1.2 (𝜑𝐺𝐴)
ostthlem2.3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
Assertion
Ref Expression
ostthlem2 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)

Proof of Theorem ostthlem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 ostthlem1.1 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 ostthlem1.2 . 2 (𝜑𝐺𝐴)
5 eluz2nn 11926 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
6 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (𝐹𝑝) = (𝐹‘1))
7 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (𝐺𝑝) = (𝐺‘1))
86, 7eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
98imbi2d 331 . . . . 5 (𝑝 = 1 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
10 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑦))
11 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑦))
1210, 11eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
1312imbi2d 331 . . . . 5 (𝑝 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))))
14 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑧))
15 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑧))
1614, 15eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑧 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
1716imbi2d 331 . . . . 5 (𝑝 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))))
18 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐹𝑝) = (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)))
19 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐺𝑝) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))
2018, 19eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
2120imbi2d 331 . . . . 5 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
22 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑛))
23 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑛))
2422, 23eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛)))
2524imbi2d 331 . . . . 5 (𝑝 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))))
26 ax-1ne0 10258 . . . . . . 7 1 ≠ 0
271qrng1 25602 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑄)
281qrng0 25601 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑄)
292, 27, 28abv1z 19101 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
303, 26, 29sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
312, 27, 28abv1z 19101 . . . . . . 7 ((𝐺𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐺‘1) = 1)
324, 26, 31sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
3330, 32eqtr4d 2802 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34 ostthlem2.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
3534expcom 402 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
36 jcab 513 . . . . . 6 ((𝜑 → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) ↔ ((𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))))
37 oveq12 6851 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
383adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝐹𝐴)
39 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
4039ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
41 zq 11995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑦 ∈ ℚ)
43 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
4443ad2antll 720 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑧 ∈ ℤ)
45 zq 11995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑧 ∈ ℚ)
471qrngbas 25599 . . . . . . . . . . . 12 ℚ = (Base‘𝑄)
48 qex 12001 . . . . . . . . . . . . 13 ℚ ∈ V
49 cnfldmul 20025 . . . . . . . . . . . . . 14 · = (.r‘ℂfld)
501, 49ressmulr 16280 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r𝑄)
522, 47, 51abvmul 19098 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
5338, 42, 46, 52syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
544adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝐺𝐴)
552, 47, 51abvmul 19098 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐴𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
5654, 42, 46, 55syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
5753, 56eqeq12d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → ((𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧))))
5837, 57syl5ibr 237 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
5958expcom 402 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝜑 → (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
6059a2d 29 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝜑 → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
6136, 60syl5bir 234 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
629, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61prmind 15681 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛)))
6362impcom 396 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
645, 63sylan2 586 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
651, 2, 3, 4, 64ostthlem1 25607 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  cfv 6068  (class class class)co 6842  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194  cn 11274  2c2 11327  cz 11624  cuz 11886  cq 11989  cprime 15667  s cress 16133  .rcmulr 16217  AbsValcabv 19085  fldccnfld 20019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-ico 12383  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-dvds 15268  df-prm 15668  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-subg 17857  df-cmn 18461  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-drng 19018  df-subrg 19047  df-abv 19086  df-cnfld 20020
This theorem is referenced by:  ostth1  25613  ostth3  25618
  Copyright terms: Public domain W3C validator