MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ostthlem2 27516
Description: Lemma for ostth 27527. Refine ostthlem1 27515 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
ostthlem1.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem2.3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
ostthlem2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   πœ‘,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)
Proof of Theorem ostthlem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
3 ostthlem1.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
4 ostthlem1.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
5 eluz2nn 12872 . . 3 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜1))
7 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜1))
86, 7eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑝 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1)))
98imbi2d 340 . . . . 5 (𝑝 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1))))
10 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘¦))
11 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘¦))
1210, 11eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)))
1312imbi2d 340 . . . . 5 (𝑝 = 𝑦 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))))
14 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘§))
15 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘§))
1614, 15eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)))
1716imbi2d 340 . . . . 5 (𝑝 = 𝑧 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
18 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))
19 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))
2018, 19eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧))))
2120imbi2d 340 . . . . 5 (𝑝 = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
22 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘›))
23 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 β†’ (πΊβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘›))
2422, 23eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›)))
2524imbi2d 340 . . . . 5 (𝑝 = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))))
26 ax-1ne0 11181 . . . . . . 7 1 β‰  0
271qrng1 27510 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π‘„)
281qrng0 27509 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘„)
292, 27, 28abv1z 20675 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0) β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
303, 26, 29sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
312, 27, 28abv1z 20675 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0) β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
324, 26, 31sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
3330, 32eqtr4d 2769 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜1))
34 ostthlem2.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘))
3534expcom 413 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)))
36 jcab 517 . . . . . 6 ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) ↔ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
37 oveq12 7414 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
383adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
39 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
4039ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
41 zq 12942 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„š)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑦 ∈ β„š)
43 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
4443ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
45 zq 12942 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ β„€ β†’ 𝑧 ∈ β„š)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝑧 ∈ β„š)
471qrngbas 27507 . . . . . . . . . . . 12 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
48 qex 12949 . . . . . . . . . . . . 13 β„š ∈ V
49 cnfldmul 21248 . . . . . . . . . . . . . 14 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
501, 49ressmulr 17261 . . . . . . . . . . . . 13 (β„š ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜π‘„))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.rβ€˜π‘„)
522, 47, 51abvmul 20672 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑧 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
5338, 42, 46, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
544adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
552, 47, 51abvmul 20672 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑧 ∈ β„š) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
5654, 42, 46, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
5753, 56eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
5837, 57imbitrrid 245 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧))))
5958expcom 413 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
6059a2d 29 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
6136, 60biimtrrid 242 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)))))
629, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61prmind 16630 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›)))
6362impcom 407 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
645, 63sylan2 592 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
651, 2, 3, 4, 64ostthlem1 27515 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„šcq 12936  β„™cprime 16615   β†Ύs cress 17182  .rcmulr 17207  AbsValcabv 20659  β„‚fldccnfld 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-prm 16616  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-abv 20660  df-cnfld 21241
This theorem is referenced by:  ostth1  27521  ostth3  27526
  Copyright terms: Public domain W3C validator