Theorem addneintrd 11275

Description: Introducing a term on the left-hand side of a sum in a negated equality. Contrapositive of addcanad 11273. Consequence of addcand 11271. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addneintrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
addneintrd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶))

Proof of Theorem addneintrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addneintrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
2		muld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addcomd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		addcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	addcand 11271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
6	5	necon3bid 2985	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
7	1, 6	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  (class class class)co 7329  ℂcc 10962   + caddc 10967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-ltxr 11107

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13323  chordthmlem  26080  aks6d1c2p2  40347  fourierdlem53  44025