Theorem aks6d1c2p2 40305

Description: Injective condition for countability argument assuming that 𝑁 is not a prime power. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c2p2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c2p2.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c2p2.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c2p2.4	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
aks6d1c2p2.5	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
aks6d1c2p2.6	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑁)
aks6d1c2p2.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c2p2	⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)–1-1→ℕ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c2p2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c2p2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		aks6d1c2p2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		aks6d1c2p2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
4		aks6d1c2p2.4	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
5	1, 2, 3, 4	aks6d1c2p1 40304	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)
6		neneq 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ≠ 𝑑 → ¬ 𝑏 = 𝑑)
7	6	orcd 870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ≠ 𝑑 → (¬ 𝑏 = 𝑑 ∨ ¬ 𝑎 = 𝑐))
8		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → 𝑎 ≠ 𝑐)
9	8	neneqd 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → ¬ 𝑎 = 𝑐)
10	9	olcd 871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → (¬ 𝑏 = 𝑑 ∨ ¬ 𝑎 = 𝑐))
11	7, 10	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (¬ 𝑏 = 𝑑 ∨ ¬ 𝑎 = 𝑐))
12		neqne 2949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑏 = 𝑑 → 𝑏 ≠ 𝑑)
13	12	orcd 870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
14		neqne 2949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑐 → 𝑎 ≠ 𝑐)
15	14	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐))
16	15	olcd 871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
17	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ ¬ 𝑏 = 𝑑) → (𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
18	16, 17	pm2.61dan 810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑐 → (𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
19	13, 18	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 𝑏 = 𝑑 ∨ ¬ 𝑎 = 𝑐) → (𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
20	11, 19	impbii 208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (¬ 𝑏 = 𝑑 ∨ ¬ 𝑎 = 𝑐))
21		orcom 867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝑏 = 𝑑 ∨ ¬ 𝑎 = 𝑐) ↔ (¬ 𝑎 = 𝑐 ∨ ¬ 𝑏 = 𝑑))
22	20, 21	bitri 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (¬ 𝑎 = 𝑐 ∨ ¬ 𝑏 = 𝑑))
23		ianor 979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) ↔ (¬ 𝑎 = 𝑐 ∨ ¬ 𝑏 = 𝑑))
24	23	bicomi 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝑎 = 𝑐 ∨ ¬ 𝑏 = 𝑑) ↔ ¬ (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑))
25	22, 24	bitri 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ ¬ (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑))
26		aks6d1c2p2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
27	26	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → 𝑄 ∈ ℙ)
28		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) ∧ 𝑝 = 𝑄) → 𝑝 = 𝑄)
29	28	oveq1d 7330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) ∧ 𝑝 = 𝑄) → (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
30	28	oveq1d 7330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) ∧ 𝑝 = 𝑄) → (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
31	29, 30	neeq12d 3003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) ∧ 𝑝 = 𝑄) → ((𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) ↔ (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
32		0cnd 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → 0 ∈ ℂ)
33		prmnn 16449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
34	2, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
35	1, 34	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
36		nndivdvds 16044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
38	3, 37	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
41	40	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
43		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → 𝑏 ∈ ℕ0)
44	42, 43	nnexpcld 14033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ∈ ℕ)
45	27, 44	pccld 16621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ∈ ℕ0)
46	45	nn0cnd 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ∈ ℂ)
47		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℕ0)
48	42, 47	nnexpcld 14033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ∈ ℕ)
49	27, 48	pccld 16621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ∈ ℕ0)
50	49	nn0cnd 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ∈ ℂ)
51		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → 𝑏 ≠ 𝑑)
52	43	nn0cnd 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → 𝑏 ∈ ℂ)
53	47	nn0cnd 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
54	27, 42	pccld 16621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℕ0)
55	54	nn0cnd 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℂ)
56		simp-5l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → 𝜑)
57		aks6d1c2p2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑁)
58	1	nncnd 12062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
59	34	nncnd 12062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
60	34	nnne0d 12096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
61	58, 59, 60	divcan2d 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)) = 𝑁)
62	61	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)))
63	62	breq2d 5099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ 𝑁 ↔ 𝑄 ∥ (𝑃 · (𝑁 / 𝑃))))
64	57, 63	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)))
65	34	nnzd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
66	38	nnzd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
67		euclemma 16488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ) → (𝑄 ∥ (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)) ↔ (𝑄 ∥ 𝑃 ∨ 𝑄 ∥ (𝑁 / 𝑃))))
68	26, 65, 66, 67	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)) ↔ (𝑄 ∥ 𝑃 ∨ 𝑄 ∥ (𝑁 / 𝑃))))
69	68	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)) → (𝑄 ∥ 𝑃 ∨ 𝑄 ∥ (𝑁 / 𝑃))))
70	64, 69	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ 𝑃 ∨ 𝑄 ∥ (𝑁 / 𝑃)))
71		aks6d1c2p2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
72		necom 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑄 ≠ 𝑃)
73	72	imbi2i 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄) ↔ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑃))
74	71, 73	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑃)
75	74	neneqd 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 = 𝑃)
76		1red 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
77		prmgt1 16472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 1 < 𝑄)
78	26, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑄)
79	76, 78	ltned 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑄)
80	79	necomd 2997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 1)
81	80	neneqd 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 = 1)
82	75, 81	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 = 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 = 1))
83		pm4.56 986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((¬ 𝑄 = 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 = 1) ↔ ¬ (𝑄 = 𝑃 ∨ 𝑄 = 1))
84	82, 83	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄 = 𝑃 ∨ 𝑄 = 1))
85		prmnn 16449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
86	26, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
87		dvdsprime 16462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (𝑄 ∥ 𝑃 ↔ (𝑄 = 𝑃 ∨ 𝑄 = 1)))
88	2, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ 𝑃 ↔ (𝑄 = 𝑃 ∨ 𝑄 = 1)))
89	84, 88	mtbird 324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 𝑃)
90	70, 89	orcnd 876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 / 𝑃))
91	26, 38	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
92		pcelnn 16641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℕ ↔ 𝑄 ∥ (𝑁 / 𝑃)))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℕ ↔ 𝑄 ∥ (𝑁 / 𝑃)))
94	90, 93	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℕ)
95	56, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℕ)
96	95	nnne0d 12096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃)) ≠ 0)
97	52, 53, 55, 96	mulcan2d 11682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → ((𝑏 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))) = (𝑑 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))) ↔ 𝑏 = 𝑑))
98	97	necon3bid 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → ((𝑏 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))) ≠ (𝑑 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))) ↔ 𝑏 ≠ 𝑑))
99	51, 98	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑏 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))) ≠ (𝑑 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))))
100	26	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑄 ∈ ℙ)
101		nnq 12775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℚ)
102	41, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℚ)
103	1	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
104	103	nncnd 12062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
105	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
107	106	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
108	107	nncnd 12062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
109	103	nnne0d 12096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
110	107	nnne0d 12096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
111	104, 108, 109, 110	divne0d 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ≠ 0)
112	102, 111	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℚ ∧ (𝑁 / 𝑃) ≠ 0))
113		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℕ0)
114	113	nn0zd 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℤ)
115	100, 112, 114	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℚ ∧ (𝑁 / 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
116		pcexp 16630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℚ ∧ (𝑁 / 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) = (𝑏 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) = (𝑏 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))))
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) = (𝑏 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))))
119	118	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑏 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))) = (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)))
120		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℕ0)
121	120	nn0zd 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℤ)
122	100, 112, 121	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℚ ∧ (𝑁 / 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝑑 ∈ ℤ))
123		pcexp 16630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℚ ∧ (𝑁 / 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) = (𝑑 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))))
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) = (𝑑 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))))
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) = (𝑑 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))))
126	125	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑑 · (𝑄 pCnt (𝑁 / 𝑃))) = (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))
127	99, 119, 126	3netr3d 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ≠ (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))
128	32, 46, 50, 127	addneintrd 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (0 + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (0 + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
129	75	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑄 = 𝑃)
130	2	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
131		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
132		prmdvdsexpr 16492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ (𝑃↑𝑎) → 𝑄 = 𝑃))
133	100, 130, 131, 132	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ (𝑃↑𝑎) → 𝑄 = 𝑃))
134	133	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑄 = 𝑃 → ¬ 𝑄 ∥ (𝑃↑𝑎)))
135	129, 134	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑄 ∥ (𝑃↑𝑎))
136		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
137	106, 136	nnexpcld 14033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑎) ∈ ℕ)
138	137	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑎) ∈ ℕ)
139	100, 138	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝑎) ∈ ℕ))
140		pceq0 16642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝑎) ∈ ℕ) → ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑎)) = 0 ↔ ¬ 𝑄 ∥ (𝑃↑𝑎)))
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑎)) = 0 ↔ ¬ 𝑄 ∥ (𝑃↑𝑎)))
142	135, 141	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 pCnt (𝑃↑𝑎)) = 0)
143	142	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 0 = (𝑄 pCnt (𝑃↑𝑎)))
144	143	oveq1d 7330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (0 + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (0 + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
146		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑐 ∈ ℕ0)
147		prmdvdsexpr 16492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ (𝑃↑𝑐) → 𝑄 = 𝑃))
148	100, 130, 146, 147	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ (𝑃↑𝑐) → 𝑄 = 𝑃))
149	129, 148	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑄 ∥ (𝑃↑𝑐))
150	107, 146	nnexpcld 14033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑐) ∈ ℕ)
151	100, 150	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝑐) ∈ ℕ))
152		pceq0 16642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝑐) ∈ ℕ) → ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑐)) = 0 ↔ ¬ 𝑄 ∥ (𝑃↑𝑐)))
153	151, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑐)) = 0 ↔ ¬ 𝑄 ∥ (𝑃↑𝑐)))
154	149, 153	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 pCnt (𝑃↑𝑐)) = 0)
155	154	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 0 = (𝑄 pCnt (𝑃↑𝑐)))
156	155	oveq1d 7330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (0 + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (0 + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
158	128, 145, 157	3netr3d 3018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
159	107	nnzd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
160	159, 131	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0))
161		zexpcl 13870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑎) ∈ ℤ)
162	160, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑎) ∈ ℤ)
163	131	nn0zd 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℤ)
164	108, 110, 163	expne0d 13943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑎) ≠ 0)
165	162, 164	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑎) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑎) ≠ 0))
166	41	nnzd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
167	166, 113	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0))
168		zexpcl 13870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ∈ ℤ)
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ∈ ℤ)
170	104, 108, 110	divcld 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℂ)
171	170, 111, 114	expne0d 13943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ≠ 0)
172	169, 171	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ≠ 0))
173	100, 165, 172	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑎) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑎) ≠ 0) ∧ (((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ≠ 0)))
174		pcmul 16622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑎) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑎) ≠ 0) ∧ (((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ≠ 0)) → (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
176	175	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
177	176	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
178	150	nnzd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑐) ∈ ℤ)
179	150	nnne0d 12096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑐) ≠ 0)
180	178, 179	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑐) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑐) ≠ 0))
181	41, 120	nnexpcld 14033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ∈ ℕ)
182	181	nnzd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ∈ ℤ)
183	181	nnne0d 12096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ≠ 0)
184	182, 183	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ≠ 0))
185	100, 180, 184	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑐) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑐) ≠ 0) ∧ (((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ≠ 0)))
186		pcmul 16622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑐) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑐) ≠ 0) ∧ (((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ≠ 0)) → (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
188	187	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
189	188	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → ((𝑄 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑄 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
190	158, 177, 189	3netr3d 3018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑄 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
191	27, 31, 190	rspcedvd 3572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
192	2	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ∈ ℙ)
193		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
194	193	oveq1d 7330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
195	193	oveq1d 7330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
196	194, 195	neeq12d 3003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑝 = 𝑃) → ((𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) ↔ (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
197	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ∈ ℙ)
198	197, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ∈ ℕ)
199		simp-5r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
200	198, 199	nnexpcld 14033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃↑𝑎) ∈ ℕ)
201	197, 200	pccld 16621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) ∈ ℕ0)
202	201	nn0cnd 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) ∈ ℂ)
203		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → 𝑐 ∈ ℕ0)
204	198, 203	nnexpcld 14033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃↑𝑐) ∈ ℕ)
205	197, 204	pccld 16621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) ∈ ℕ0)
206	205	nn0cnd 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) ∈ ℂ)
207	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
208		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
209	207, 208	nnexpcld 14033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ∈ ℕ)
210	197, 209	pccld 16621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ∈ ℕ0)
211	210	nn0cnd 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ∈ ℂ)
212	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → 𝑎 ≠ 𝑐)
213	197, 199	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0))
214		pcidlem 16643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) = 𝑎)
215	213, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) = 𝑎)
216	215	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → 𝑎 = (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)))
217	197, 203	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑐 ∈ ℕ0))
218		pcidlem 16643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) = 𝑐)
219	217, 218	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) = 𝑐)
220	219	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → 𝑐 = (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)))
221	212, 216, 220	3netr3d 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) ≠ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)))
222	202, 206, 211, 221	addneintr2d 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
223		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
224		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → 𝑏 = 𝑑)
225	224	oveq2d 7331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))
226	225	oveq2d 7331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) = (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))
227	226	oveq2d 7331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
228	222, 223, 227	3netr3d 3018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
229	130, 165, 172	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑎) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑎) ≠ 0) ∧ (((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ≠ 0)))
230		pcmul 16622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑎) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑎) ≠ 0) ∧ (((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
231	229, 230	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
232	231	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
233	232	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑎)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))))
234	130, 180, 184	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑐) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑐) ≠ 0) ∧ (((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ≠ 0)))
235		pcmul 16622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑐) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑐) ≠ 0) ∧ (((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
236	235	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑐) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑐) ≠ 0) ∧ (((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑) ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
237	234, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
238	237	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑐)) + (𝑃 pCnt ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) = (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
239	228, 233, 238	3netr3d 3018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
240	192, 196, 239	rspcedvd 3572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
241	191, 240	jaodan 955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
242		biidd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) = ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ↔ ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) = ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
243	242	necon3abid 2978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ≠ ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ↔ ¬ ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) = ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
244		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℕ0)
245	40, 244	nnexpcld 14033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏) ∈ ℕ)
246	137, 245	nnmulcld 12099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ∈ ℕ)
247	246	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ∈ ℕ)
248	247	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ∈ ℕ)
249	248	nnnn0d 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ∈ ℕ0)
250	150, 181	nnmulcld 12099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ∈ ℕ)
251	250	nnnn0d 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ∈ ℕ0)
252	249, 251	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ∈ ℕ0))
253		pc11 16651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) = ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
254	252, 253	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) = ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
255	254	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (¬ ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) = ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
256	243, 255	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ≠ ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
257		rexnal 3100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
258	257	bicomi 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
260	256, 259	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ≠ ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
261		biidd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) ↔ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
262	261	necon3bbid 2979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (¬ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) ↔ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
263	262	rexbidv 3172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) = (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
264	260, 263	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ≠ ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
265	264	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐))) → (((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ≠ ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))) ≠ (𝑝 pCnt ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))))
266	241, 265	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ≠ 𝑑 ∨ (𝑏 = 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐))) → ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ≠ ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))
267	25, 266	sylan2br 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑)) → ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ≠ ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))
268	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))))
269		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 = 𝑎 ∧ 𝑙 = 𝑏)) → 𝑘 = 𝑎)
270	269	oveq2d 7331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 = 𝑎 ∧ 𝑙 = 𝑏)) → (𝑃↑𝑘) = (𝑃↑𝑎))
271		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 = 𝑎 ∧ 𝑙 = 𝑏)) → 𝑙 = 𝑏)
272	271	oveq2d 7331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 = 𝑎 ∧ 𝑙 = 𝑏)) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏))
273	270, 272	oveq12d 7333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 = 𝑎 ∧ 𝑙 = 𝑏)) → ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) = ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)))
274	268, 273, 131, 113, 248	ovmpod 7465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑎𝐸𝑏) = ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)))
275		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 = 𝑐 ∧ 𝑙 = 𝑑)) → 𝑘 = 𝑐)
276	275	oveq2d 7331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 = 𝑐 ∧ 𝑙 = 𝑑)) → (𝑃↑𝑘) = (𝑃↑𝑐))
277		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 = 𝑐 ∧ 𝑙 = 𝑑)) → 𝑙 = 𝑑)
278	277	oveq2d 7331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 = 𝑐 ∧ 𝑙 = 𝑑)) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))
279	276, 278	oveq12d 7333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 = 𝑐 ∧ 𝑙 = 𝑑)) → ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) = ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))
280	268, 279, 146, 120, 250	ovmpod 7465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑐𝐸𝑑) = ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑)))
281	274, 280	neeq12d 3003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑎𝐸𝑏) ≠ (𝑐𝐸𝑑) ↔ ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ≠ ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
282	281	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑)) → ((𝑎𝐸𝑏) ≠ (𝑐𝐸𝑑) ↔ ((𝑃↑𝑎) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑏)) ≠ ((𝑃↑𝑐) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑑))))
283	267, 282	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑)) → (𝑎𝐸𝑏) ≠ (𝑐𝐸𝑑))
284	283	neneqd 2946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑)) → ¬ (𝑎𝐸𝑏) = (𝑐𝐸𝑑))
285	284	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (¬ (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ¬ (𝑎𝐸𝑏) = (𝑐𝐸𝑑)))
286	285	con4d 115	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑎𝐸𝑏) = (𝑐𝐸𝑑) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑)))
287	286	ralrimiva 3140	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((𝑎𝐸𝑏) = (𝑐𝐸𝑑) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑)))
288	287	ralrimiva 3140	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((𝑎𝐸𝑏) = (𝑐𝐸𝑑) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑)))
289	288	ralrimiva 3140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((𝑎𝐸𝑏) = (𝑐𝐸𝑑) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑)))
290	289	ralrimiva 3140	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑏 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((𝑎𝐸𝑏) = (𝑐𝐸𝑑) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑)))
291	5, 290	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑏 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((𝑎𝐸𝑏) = (𝑐𝐸𝑑) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑))))
292		f1opr 7371	. 2 ⊢ (𝐸:(ℕ0 × ℕ0)–1-1→ℕ ↔ (𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑏 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((𝑎𝐸𝑏) = (𝑐𝐸𝑑) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑))))
293	291, 292	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)–1-1→ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5087   × cxp 5605  ⟶wf 6461  –1-1→wf1 6462  (class class class)co 7315   ∈ cmpo 7317  0cc0 10944  1c1 10945   + caddc 10947   · cmul 10949   < clt 11082   / cdiv 11705  ℕcn 12046  ℕ₀cn0 12306  ℤcz 12392  ℚcq 12761  ↑cexp 13855   ∥ cdvds 16035  ℙcprime 16446   pCnt cpc 16607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-2o 8345  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-sup 9271  df-inf 9272  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-q 12762  df-rp 12804  df-fz 13313  df-fl 13585  df-mod 13663  df-seq 13795  df-exp 13856  df-cj 14882  df-re 14883  df-im 14884  df-sqrt 15018  df-abs 15019  df-dvds 16036  df-gcd 16274  df-prm 16447  df-pc 16608

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