Theorem addcan2ad 11488

Description: Cancelling a term on the right-hand side of a sum in an equality. Consequence of addcan2d 11486. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addcan2ad.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
addcan2ad	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem addcan2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcan2ad.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
2		muld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addcomd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		addcand.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	addcan2d 11486	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408  ℂcc 11170   + caddc 11175

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-ltxr 11320

This theorem is used by:  swrdf1  14767  sadadd2lem  16597  ramub1lem2  17167  efgredlemg  19918  heron  27130  1smat1  34370  ccatcan2d  43222  qirropth  43853  rmyluc  43882