Theorem xov1plusxeqvd 13442

Description: A complex number 𝑋 is positive real iff 𝑋 / (1 + 𝑋) is in (0(,)1). Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xov1plusxeqvd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
xov1plusxeqvd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ -1)

Assertion

Ref	Expression
xov1plusxeqvd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem xov1plusxeqvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
3		1rp 12937	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
5	4, 1	rpaddcld 12992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ+)
6	2, 5	rerpdivcld 13008	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
7	5	rprecred 12988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
8		1red 11136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
9		0red 11138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
10	8, 2	readdcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
11	8, 1	ltaddrpd 13010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑋))
12		recgt1i 12044	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 + 𝑋)) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
13	10, 11, 12	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
14	13	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
15		1m0e1 12288	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
16	14, 15	breqtrrdi 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
17	7, 8, 9, 16	ltsub13d 11747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
18		1cnd 11130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19		xov1plusxeqvd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	18, 19	addcld 11155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
21	18	negcld 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22		xov1plusxeqvd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ -1)
23	18, 19, 21, 22	addneintrd 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ (1 + -1))
24		1pneg1e0 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + -1) = 0)
26	23, 25	neeqtrd 3003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ 0)
27	20, 18, 20, 26	divsubdird 11961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))))
28	18, 19	pncan2d 11498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
29	28	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (𝑋 / (1 + 𝑋)))
30	20, 26	dividd 11920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) = 1)
31	30	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
32	27, 29, 31	3eqtr3d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
33	32	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
34	17, 33	breqtrrd 5100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
35		1m1e0 12244	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
36	13	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
37	35, 36	eqbrtrid 5107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − 1) < (1 / (1 + 𝑋)))
38	8, 8, 7, 37	ltsub23d 11746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − (1 / (1 + 𝑋))) < 1)
39	33, 38	eqbrtrd 5094	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
40		0xr 11183	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
41		1xr 11195	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
42		elioo2 13330	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)))
43	40, 41, 42	mp2an 698	. . 3 ⊢ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
44	6, 34, 39, 43	syl3anbrc 1350	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
45	28	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
46	20	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
47	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ≠ 0)
48	46, 47	recrecd 11919	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) = (1 + 𝑋))
49	20, 19, 20, 26	divsubdird 11961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
50	18, 19	pncand 11497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 𝑋) = 1)
51	50	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (1 / (1 + 𝑋)))
52	30	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
53	49, 51, 52	3eqtr3d 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
54	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
55		1red 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
56	43	bilani 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
57	56	simp1d 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
58	55, 57	resubcld 11569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
59	54, 58	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
60		0red 11138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
61	56	simp3d 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
62	61, 15	breqtrrdi 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
63	57, 55, 60, 62	ltsub13d 11747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
64	63, 54	breqtrrd 5100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
65	59, 64	elrpd 12974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ+)
66	65	rprecred 12988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
67	48, 66	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
68	67, 55	resubcld 11569	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
69	45, 68	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
70		1p0e1 12291	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
71	56	simp2d 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
72	35, 71	eqbrtrid 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − 1) < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
73	55, 55, 57, 72	ltsub23d 11746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) < 1)
74	54, 73	eqbrtrd 5094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
75	65	reclt1d 12990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + 𝑋)) < 1 ↔ 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋)))))
76	74, 75	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋))))
77	76, 48	breqtrd 5098	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 + 𝑋))
78	70, 77	eqbrtrid 5107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 0) < (1 + 𝑋))
79	60, 69, 55	ltadd2d 11293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑋 ↔ (1 + 0) < (1 + 𝑋)))
80	78, 79	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑋)
81	69, 80	elrpd 12974	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
82	44, 81	impbida 806	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-rp 12934  df-ioo 13293

This theorem is referenced by:  angpieqvdlem  26810