Theorem xov1plusxeqvd 13175

Description: A complex number 𝑋 is positive real iff 𝑋 / (1 + 𝑋) is in (0(,)1). Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xov1plusxeqvd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
xov1plusxeqvd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ -1)

Assertion

Ref	Expression
xov1plusxeqvd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem xov1plusxeqvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
3		1rp 12679	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
5	4, 1	rpaddcld 12732	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ+)
6	2, 5	rerpdivcld 12748	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
7	5	rprecred 12728	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
8		1red 10923	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
9		0red 10925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
10	8, 2	readdcld 10951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
11	8, 1	ltaddrpd 12750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑋))
12		recgt1i 11818	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 + 𝑋)) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
13	10, 11, 12	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
14	13	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
15		1m0e1 12040	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
16	14, 15	breqtrrdi 5117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
17	7, 8, 9, 16	ltsub13d 11527	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
18		1cnd 10917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19		xov1plusxeqvd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	18, 19	addcld 10941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
21	18	negcld 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22		xov1plusxeqvd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ -1)
23	18, 19, 21, 22	addneintrd 11128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ (1 + -1))
24		1pneg1e0 12038	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + -1) = 0)
26	23, 25	neeqtrd 3011	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ 0)
27	20, 18, 20, 26	divsubdird 11736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))))
28	18, 19	pncan2d 11280	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
29	28	oveq1d 7275	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (𝑋 / (1 + 𝑋)))
30	20, 26	dividd 11695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) = 1)
31	30	oveq1d 7275	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
32	27, 29, 31	3eqtr3d 2785	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
34	17, 33	breqtrrd 5103	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
35		1m1e0 11991	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
36	13	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
37	35, 36	eqbrtrid 5110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − 1) < (1 / (1 + 𝑋)))
38	8, 8, 7, 37	ltsub23d 11526	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − (1 / (1 + 𝑋))) < 1)
39	33, 38	eqbrtrd 5097	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
40		0xr 10969	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
41		1xr 10981	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
42		elioo2 13065	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)))
43	40, 41, 42	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
44	6, 34, 39, 43	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
45	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
46	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
47	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ≠ 0)
48	46, 47	recrecd 11694	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) = (1 + 𝑋))
49	20, 19, 20, 26	divsubdird 11736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
50	18, 19	pncand 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 𝑋) = 1)
51	50	oveq1d 7275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (1 / (1 + 𝑋)))
52	30	oveq1d 7275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
53	49, 51, 52	3eqtr3d 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
55		1red 10923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
56		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
57	56, 43	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
58	57	simp1d 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
59	55, 58	resubcld 11349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
60	54, 59	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
61		0red 10925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
62	57	simp3d 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
63	62, 15	breqtrrdi 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
64	58, 55, 61, 63	ltsub13d 11527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
65	64, 54	breqtrrd 5103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
66	60, 65	elrpd 12714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ+)
67	66	rprecred 12728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
68	48, 67	eqeltrrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
69	68, 55	resubcld 11349	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
70	45, 69	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
71		1p0e1 12043	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
72	57	simp2d 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
73	35, 72	eqbrtrid 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − 1) < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
74	55, 55, 58, 73	ltsub23d 11526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) < 1)
75	54, 74	eqbrtrd 5097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
76	66	reclt1d 12730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + 𝑋)) < 1 ↔ 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋)))))
77	75, 76	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋))))
78	77, 48	breqtrd 5101	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 + 𝑋))
79	71, 78	eqbrtrid 5110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 0) < (1 + 𝑋))
80	61, 70, 55	ltadd2d 11077	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑋 ↔ (1 + 0) < (1 + 𝑋)))
81	79, 80	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑋)
82	70, 81	elrpd 12714	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
83	44, 82	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5075  (class class class)co 7260  ℂcc 10816  ℝcr 10817  0cc0 10818  1c1 10819   + caddc 10821  ℝ^*cxr 10955   < clt 10956   − cmin 11151  -cneg 11152   / cdiv 11578  ℝ⁺crp 12675  (,)cioo 13024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5485  df-po 5499  df-so 5500  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-div 11579  df-rp 12676  df-ioo 13028

This theorem is referenced by:  angpieqvdlem  25921