Theorem xov1plusxeqvd 13555

Description: A complex number 𝑋 is positive real iff 𝑋 / (1 + 𝑋) is in (0(,)1). Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xov1plusxeqvd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
xov1plusxeqvd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ -1)

Assertion

Ref	Expression
xov1plusxeqvd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem xov1plusxeqvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13090	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
3		1rp 13050	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
5	4, 1	rpaddcld 13105	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ+)
6	2, 5	rerpdivcld 13121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
7	5	rprecred 13101	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
8		1red 11237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
9		0red 11239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
10	8, 2	readdcld 11266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
11	8, 1	ltaddrpd 13123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑋))
12		recgt1i 12140	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 + 𝑋)) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
14	13	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
15		1m0e1 12388	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
16	14, 15	breqtrrdi 5151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
17	7, 8, 9, 16	ltsub13d 11848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
18		1cnd 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19		xov1plusxeqvd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	18, 19	addcld 11256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
21	18	negcld 11584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22		xov1plusxeqvd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ -1)
23	18, 19, 21, 22	addneintrd 11445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ (1 + -1))
24		1pneg1e0 12386	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + -1) = 0)
26	23, 25	neeqtrd 3026	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ 0)
27	20, 18, 20, 26	divsubdird 12058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))))
28	18, 19	pncan2d 11599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
29	28	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (𝑋 / (1 + 𝑋)))
30	20, 26	dividd 12017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) = 1)
31	30	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
32	27, 29, 31	3eqtr3d 2805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
33	32	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
34	17, 33	breqtrrd 5137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
35		1m1e0 12341	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
36	13	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
37	35, 36	eqbrtrid 5144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − 1) < (1 / (1 + 𝑋)))
38	8, 8, 7, 37	ltsub23d 11847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − (1 / (1 + 𝑋))) < 1)
39	33, 38	eqbrtrd 5131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
40		0xr 11284	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
41		1xr 11296	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
42		elioo2 13443	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)))
43	40, 41, 42	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
44	6, 34, 39, 43	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
45	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
46	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
47	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ≠ 0)
48	46, 47	recrecd 12016	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) = (1 + 𝑋))
49	20, 19, 20, 26	divsubdird 12058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
50	18, 19	pncand 11598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 𝑋) = 1)
51	50	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (1 / (1 + 𝑋)))
52	30	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
53	49, 51, 52	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
54	53	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
55		1red 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
56	43	bilani 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
57	56	simp1d 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
58	55, 57	resubcld 11670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
59	54, 58	eqeltrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
60		0red 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
61	56	simp3d 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
62	61, 15	breqtrrdi 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
63	57, 55, 60, 62	ltsub13d 11848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
64	63, 54	breqtrrd 5137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
65	59, 64	elrpd 13087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ+)
66	65	rprecred 13101	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
67	48, 66	eqeltrrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
68	67, 55	resubcld 11670	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
69	45, 68	eqeltrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
70		1p0e1 12391	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
71	56	simp2d 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
72	35, 71	eqbrtrid 5144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − 1) < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
73	55, 55, 57, 72	ltsub23d 11847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) < 1)
74	54, 73	eqbrtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
75	65	reclt1d 13103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + 𝑋)) < 1 ↔ 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋)))))
76	74, 75	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋))))
77	76, 48	breqtrd 5135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 + 𝑋))
78	70, 77	eqbrtrid 5144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 0) < (1 + 𝑋))
79	60, 69, 55	ltadd2d 11394	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑋 ↔ (1 + 0) < (1 + 𝑋)))
80	78, 79	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑋)
81	69, 80	elrpd 13087	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
82	44, 81	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   − cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11899  ℝ⁺crp 13046  (,)cioo 13402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-rp 13047  df-ioo 13406

This theorem is used by:  angpieqvdlem  27073