MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xov1plusxeqvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xov1plusxeqvd 13535
Description: A complex number 𝑋 is positive real iff 𝑋 / (1 + 𝑋) is in (0(,)1). Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xov1plusxeqvd.1 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
xov1plusxeqvd.2 (𝜑𝑋 ≠ -1)
Assertion
Ref Expression
xov1plusxeqvd (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem xov1plusxeqvd
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
21rpred 13075 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
3 1rp 13036 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
54, 1rpaddcld 13090 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ+)
62, 5rerpdivcld 13106 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
75rprecred 13086 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
8 1red 11260 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
9 0red 11262 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
108, 2readdcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
118, 1ltaddrpd 13108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑋))
12 recgt1i 12163 . . . . . . . 8 (((1 + 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 + 𝑋)) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
1413simprd 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
15 1m0e1 12385 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
1614, 15breqtrrdi 5190 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
177, 8, 9, 16ltsub13d 11867 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
18 1cnd 11254 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19 xov1plusxeqvd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2018, 19addcld 11278 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
2118negcld 11605 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22 xov1plusxeqvd.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≠ -1)
2318, 19, 21, 22addneintrd 11466 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ (1 + -1))
24 1pneg1e0 12383 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + -1) = 0)
2623, 25neeqtrd 3008 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ 0)
2720, 18, 20, 26divsubdird 12080 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))))
2818, 19pncan2d 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
2928oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (𝑋 / (1 + 𝑋)))
3020, 26dividd 12039 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) = 1)
3130oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3227, 29, 313eqtr3d 2783 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3332adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3417, 33breqtrrd 5176 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
35 1m1e0 12336 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
3613simpld 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
3735, 36eqbrtrid 5183 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − 1) < (1 / (1 + 𝑋)))
388, 8, 7, 37ltsub23d 11866 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − (1 / (1 + 𝑋))) < 1)
3933, 38eqbrtrd 5170 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
40 0xr 11306 . . . 4 0 ∈ ℝ*
41 1xr 11318 . . . 4 1 ∈ ℝ*
42 elioo2 13425 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)))
4340, 41, 42mp2an 692 . . 3 ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
446, 34, 39, 43syl3anbrc 1342 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
4528adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
4620adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
4726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ≠ 0)
4846, 47recrecd 12038 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) = (1 + 𝑋))
4920, 19, 20, 26divsubdird 12080 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5018, 19pncand 11619 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 𝑋) = 1)
5150oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (1 / (1 + 𝑋)))
5230oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5349, 51, 523eqtr3d 2783 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5453adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
55 1red 11260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
5756, 43sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
5857simp1d 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
5955, 58resubcld 11689 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
6054, 59eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
61 0red 11262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
6257simp3d 1143 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
6362, 15breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
6458, 55, 61, 63ltsub13d 11867 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
6564, 54breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
6660, 65elrpd 13072 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ+)
6766rprecred 13086 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
6848, 67eqeltrrd 2840 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
6968, 55resubcld 11689 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
7045, 69eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
71 1p0e1 12388 . . . . 5 (1 + 0) = 1
7257simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
7335, 72eqbrtrid 5183 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − 1) < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
7455, 55, 58, 73ltsub23d 11866 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) < 1)
7554, 74eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
7666reclt1d 13088 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + 𝑋)) < 1 ↔ 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋)))))
7775, 76mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋))))
7877, 48breqtrd 5174 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 + 𝑋))
7971, 78eqbrtrid 5183 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 0) < (1 + 𝑋))
8061, 70, 55ltadd2d 11415 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑋 ↔ (1 + 0) < (1 + 𝑋)))
8179, 80mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑋)
8270, 81elrpd 13072 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
8344, 82impbida 801 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  +crp 13032  (,)cioo 13384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-rp 13033  df-ioo 13388
This theorem is referenced by:  angpieqvdlem  26886
  Copyright terms: Public domain W3C validator