MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xov1plusxeqvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xov1plusxeqvd 12561
Description: A complex number 𝑋 is positive real iff 𝑋 / (1 + 𝑋) is in (0(,)1). Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xov1plusxeqvd.1 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
xov1plusxeqvd.2 (𝜑𝑋 ≠ -1)
Assertion
Ref Expression
xov1plusxeqvd (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem xov1plusxeqvd
StepHypRef Expression
1 simpr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
21rpred 12106 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
3 1rp 12070 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
54, 1rpaddcld 12121 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ+)
62, 5rerpdivcld 12137 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
75rprecred 12117 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
8 1red 10336 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
9 0red 10338 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
108, 2readdcld 10364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
118, 1ltaddrpd 12139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑋))
12 recgt1i 11215 . . . . . . . 8 (((1 + 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 + 𝑋)) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
1310, 11, 12syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
1413simprd 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
15 1m0e1 11441 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
1614, 15syl6breqr 4897 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
177, 8, 9, 16ltsub13d 10928 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
18 1cnd 10330 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19 xov1plusxeqvd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2018, 19addcld 10354 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
2118negcld 10674 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22 xov1plusxeqvd.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≠ -1)
2318, 19, 21, 22addneintrd 10538 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ (1 + -1))
24 1pneg1e0 11439 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + -1) = 0)
2623, 25neeqtrd 3058 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ 0)
2720, 18, 20, 26divsubdird 11135 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))))
2818, 19pncan2d 10689 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
2928oveq1d 6899 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (𝑋 / (1 + 𝑋)))
3020, 26dividd 11094 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) = 1)
3130oveq1d 6899 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3227, 29, 313eqtr3d 2859 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3332adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3417, 33breqtrrd 4883 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
35 1m1e0 11385 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
3613simpld 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
3735, 36syl5eqbr 4890 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − 1) < (1 / (1 + 𝑋)))
388, 8, 7, 37ltsub23d 10927 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − (1 / (1 + 𝑋))) < 1)
3933, 38eqbrtrd 4877 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
40 0xr 10381 . . . 4 0 ∈ ℝ*
41 1re 10335 . . . . 5 1 ∈ ℝ
4241rexri 10392 . . . 4 1 ∈ ℝ*
43 elioo2 12454 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)))
4440, 42, 43mp2an 675 . . 3 ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
456, 34, 39, 44syl3anbrc 1436 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
4628adantr 468 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
4720adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
4826adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ≠ 0)
4947, 48recrecd 11093 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) = (1 + 𝑋))
5020, 19, 20, 26divsubdird 11135 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5118, 19pncand 10688 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 𝑋) = 1)
5251oveq1d 6899 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (1 / (1 + 𝑋)))
5330oveq1d 6899 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5450, 52, 533eqtr3d 2859 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5554adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
56 1red 10336 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
57 simpr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
5857, 44sylib 209 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
5958simp1d 1165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
6056, 59resubcld 10753 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
6155, 60eqeltrd 2896 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
62 0red 10338 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
6358simp3d 1167 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
6463, 15syl6breqr 4897 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
6559, 56, 62, 64ltsub13d 10928 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
6665, 55breqtrrd 4883 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
6761, 66elrpd 12103 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ+)
6867rprecred 12117 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
6949, 68eqeltrrd 2897 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
7069, 56resubcld 10753 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
7146, 70eqeltrrd 2897 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
72 1p0e1 11444 . . . . 5 (1 + 0) = 1
7358simp2d 1166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
7435, 73syl5eqbr 4890 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − 1) < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
7556, 56, 59, 74ltsub23d 10927 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) < 1)
7655, 75eqbrtrd 4877 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
7767reclt1d 12119 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + 𝑋)) < 1 ↔ 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋)))))
7876, 77mpbid 223 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋))))
7978, 49breqtrd 4881 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 + 𝑋))
8072, 79syl5eqbr 4890 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 0) < (1 + 𝑋))
8162, 71, 56ltadd2d 10488 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑋 ↔ (1 + 0) < (1 + 𝑋)))
8280, 81mpbird 248 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑋)
8371, 82elrpd 12103 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
8445, 83impbida 826 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989   class class class wbr 4855  (class class class)co 6884  cc 10229  cr 10230  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234  *cxr 10368   < clt 10369  cmin 10561  -cneg 10562   / cdiv 10979  +crp 12066  (,)cioo 12413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-po 5245  df-so 5246  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-rp 12067  df-ioo 12417
This theorem is referenced by:  angpieqvdlem  24792
  Copyright terms: Public domain W3C validator