MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xov1plusxeqvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xov1plusxeqvd 13472
Description: A complex number 𝑋 is positive real iff 𝑋 / (1 + 𝑋) is in (0(,)1). Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xov1plusxeqvd.1 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
xov1plusxeqvd.2 (𝜑𝑋 ≠ -1)
Assertion
Ref Expression
xov1plusxeqvd (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem xov1plusxeqvd
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
21rpred 13013 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
3 1rp 12975 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
54, 1rpaddcld 13028 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ+)
62, 5rerpdivcld 13044 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
75rprecred 13024 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
8 1red 11212 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
9 0red 11214 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
108, 2readdcld 11240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
118, 1ltaddrpd 13046 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑋))
12 recgt1i 12108 . . . . . . . 8 (((1 + 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 + 𝑋)) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
1310, 11, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
1413simprd 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
15 1m0e1 12330 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
1614, 15breqtrrdi 5180 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
177, 8, 9, 16ltsub13d 11817 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
18 1cnd 11206 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19 xov1plusxeqvd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2018, 19addcld 11230 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
2118negcld 11555 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22 xov1plusxeqvd.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≠ -1)
2318, 19, 21, 22addneintrd 11418 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ (1 + -1))
24 1pneg1e0 12328 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + -1) = 0)
2623, 25neeqtrd 3002 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ 0)
2720, 18, 20, 26divsubdird 12026 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))))
2818, 19pncan2d 11570 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
2928oveq1d 7416 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (𝑋 / (1 + 𝑋)))
3020, 26dividd 11985 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) = 1)
3130oveq1d 7416 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3227, 29, 313eqtr3d 2772 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3332adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3417, 33breqtrrd 5166 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
35 1m1e0 12281 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
3613simpld 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
3735, 36eqbrtrid 5173 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − 1) < (1 / (1 + 𝑋)))
388, 8, 7, 37ltsub23d 11816 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − (1 / (1 + 𝑋))) < 1)
3933, 38eqbrtrd 5160 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
40 0xr 11258 . . . 4 0 ∈ ℝ*
41 1xr 11270 . . . 4 1 ∈ ℝ*
42 elioo2 13362 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)))
4340, 41, 42mp2an 689 . . 3 ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
446, 34, 39, 43syl3anbrc 1340 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
4528adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
4620adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
4726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ≠ 0)
4846, 47recrecd 11984 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) = (1 + 𝑋))
4920, 19, 20, 26divsubdird 12026 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5018, 19pncand 11569 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 𝑋) = 1)
5150oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (1 / (1 + 𝑋)))
5230oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5349, 51, 523eqtr3d 2772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5453adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
55 1red 11212 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
5756, 43sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
5857simp1d 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
5955, 58resubcld 11639 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
6054, 59eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
61 0red 11214 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
6257simp3d 1141 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
6362, 15breqtrrdi 5180 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
6458, 55, 61, 63ltsub13d 11817 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
6564, 54breqtrrd 5166 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
6660, 65elrpd 13010 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ+)
6766rprecred 13024 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
6848, 67eqeltrrd 2826 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
6968, 55resubcld 11639 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
7045, 69eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
71 1p0e1 12333 . . . . 5 (1 + 0) = 1
7257simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
7335, 72eqbrtrid 5173 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − 1) < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
7455, 55, 58, 73ltsub23d 11816 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) < 1)
7554, 74eqbrtrd 5160 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
7666reclt1d 13026 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + 𝑋)) < 1 ↔ 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋)))))
7775, 76mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋))))
7877, 48breqtrd 5164 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 + 𝑋))
7971, 78eqbrtrid 5173 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 0) < (1 + 𝑋))
8061, 70, 55ltadd2d 11367 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑋 ↔ (1 + 0) < (1 + 𝑋)))
8179, 80mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑋)
8270, 81elrpd 13010 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
8344, 82impbida 798 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  *cxr 11244   < clt 11245  cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  +crp 12971  (,)cioo 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-rp 12972  df-ioo 13325
This theorem is referenced by:  angpieqvdlem  26676
  Copyright terms: Public domain W3C validator