Theorem xov1plusxeqvd 13524

Description: A complex number 𝑋 is positive real iff 𝑋 / (1 + 𝑋) is in (0(,)1). Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xov1plusxeqvd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
xov1plusxeqvd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ -1)

Assertion

Ref	Expression
xov1plusxeqvd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem xov1plusxeqvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
3		1rp 13019	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
5	4, 1	rpaddcld 13074	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ+)
6	2, 5	rerpdivcld 13090	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
7	5	rprecred 13070	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
8		1red 11208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
9		0red 11210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
10	8, 2	readdcld 11237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
11	8, 1	ltaddrpd 13092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑋))
12		recgt1i 12111	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 + 𝑋)) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
13	10, 11, 12	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
14	13	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
15		1m0e1 12359	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
16	14, 15	breqtrrdi 5157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
17	7, 8, 9, 16	ltsub13d 11819	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
18		1cnd 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19		xov1plusxeqvd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	18, 19	addcld 11227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
21	18	negcld 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22		xov1plusxeqvd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ -1)
23	18, 19, 21, 22	addneintrd 11416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ (1 + -1))
24		1pneg1e0 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + -1) = 0)
26	23, 25	neeqtrd 3033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ 0)
27	20, 18, 20, 26	divsubdird 12029	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))))
28	18, 19	pncan2d 11570	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
29	28	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (𝑋 / (1 + 𝑋)))
30	20, 26	dividd 11988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) = 1)
31	30	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
32	27, 29, 31	3eqtr3d 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
33	32	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
34	17, 33	breqtrrd 5143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
35		1m1e0 12312	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
36	13	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
37	35, 36	eqbrtrid 5150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − 1) < (1 / (1 + 𝑋)))
38	8, 8, 7, 37	ltsub23d 11818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − (1 / (1 + 𝑋))) < 1)
39	33, 38	eqbrtrd 5137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
40		0xr 11255	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
41		1xr 11267	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
42		elioo2 13412	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)))
43	40, 41, 42	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
44	6, 34, 39, 43	syl3anbrc 1360	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
45	28	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
46	20	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
47	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ≠ 0)
48	46, 47	recrecd 11987	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) = (1 + 𝑋))
49	20, 19, 20, 26	divsubdird 12029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
50	18, 19	pncand 11569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 𝑋) = 1)
51	50	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (1 / (1 + 𝑋)))
52	30	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
53	49, 51, 52	3eqtr3d 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
54	53	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
55		1red 11208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
56	43	bilani 509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
57	56	simp1d 1158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
58	55, 57	resubcld 11641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
59	54, 58	eqeltrd 2869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
60		0red 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
61	56	simp3d 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
62	61, 15	breqtrrdi 5157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
63	57, 55, 60, 62	ltsub13d 11819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
64	63, 54	breqtrrd 5143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
65	59, 64	elrpd 13056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ+)
66	65	rprecred 13070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
67	48, 66	eqeltrrd 2870	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
68	67, 55	resubcld 11641	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
69	45, 68	eqeltrrd 2870	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
70		1p0e1 12362	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
71	56	simp2d 1159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
72	35, 71	eqbrtrid 5150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − 1) < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
73	55, 55, 57, 72	ltsub23d 11818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) < 1)
74	54, 73	eqbrtrd 5137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
75	65	reclt1d 13072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + 𝑋)) < 1 ↔ 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋)))))
76	74, 75	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋))))
77	76, 48	breqtrd 5141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 + 𝑋))
78	70, 77	eqbrtrid 5150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 0) < (1 + 𝑋))
79	60, 69, 55	ltadd2d 11365	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑋 ↔ (1 + 0) < (1 + 𝑋)))
80	78, 79	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑋)
81	69, 80	elrpd 13056	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
82	44, 81	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11870  ℝ⁺crp 13015  (,)cioo 13371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-rp 13016  df-ioo 13375

This theorem is referenced by:  angpieqvdlem  26958