Theorem fourierdlem53 46517

Description: The limit of 𝐹(𝑠) at (𝑋 + 𝐷) is the limit of 𝐹(𝑋 + 𝑠) at 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem53.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem53.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem53.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
fourierdlem53.xps	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
fourierdlem53.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.sned	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 𝐷)
fourierdlem53.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝑋 + 𝐷)))
fourierdlem53.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem53	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠)   𝐺(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem53

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem53.xps	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
2		fourierdlem53.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		fourierdlem53.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
4	2, 3	fssresd 6709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
5	4	fdmd 6680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ 𝐵) = 𝐵)
6	5	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = dom (𝐹 ↾ 𝐵))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐵 = dom (𝐹 ↾ 𝐵))
8	1, 7	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵))
9		fourierdlem53.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℂ)
12		fourierdlem53.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	sselda 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15		fourierdlem53.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17		fourierdlem53.sned	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 𝐷)
18	11, 14, 16, 17	addneintrd 11352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ≠ (𝑋 + 𝐷))
19	18	neneqd 2938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷))
20	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
21	20, 13	readdcld 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
22		elsng 4596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
24	19, 23	mtbird 325	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)})
25	8, 24	eldifd 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
26	25	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
27		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
28	27	rnmptss 7077	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}) → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
29	26, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
30		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
31		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
32		ax-resscn 11095	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
33	12, 32	sstrdi 3948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
34	30, 33, 10, 15	constlimc 45984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) limℂ 𝐷))
35	33, 31, 15	idlimc 45986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) limℂ 𝐷))
36	30, 31, 27, 11, 14, 34, 35	addlimc 46006	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐷) ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) limℂ 𝐷))
37		fourierdlem53.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝑋 + 𝐷)))
38	29, 36, 37	limccog 45980	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limℂ 𝐷))
39		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
40	39, 27, 1	rnmptssd 7078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵)
41		cores 6215	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
42	40, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
43	21, 27	fmptd 7068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ)
44		fcompt 7088	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
45	2, 43, 44	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
46		fourierdlem53.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
47	46	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
48		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
49	48	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
50	49	cbvmptv 5204	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
52		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
53	48	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 𝑥) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
54		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
55	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
56	12	sselda 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	55, 56	readdcld 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
58	52, 53, 54, 57	fvmptd 6957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥) = (𝑋 + 𝑥))
59	58	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑥) = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))
60	59	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥)))
61	60	mpteq2dva 5193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
62	47, 51, 61	3eqtrrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))) = 𝐺)
63	42, 45, 62	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = 𝐺)
64	63	oveq1d 7383	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limℂ 𝐷) = (𝐺 limℂ 𝐷))
65	38, 64	eleqtrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ran crn 5633   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041   lim_ℂ climc 25831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-rest 17354  df-topn 17355  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cnp 23184  df-xms 24276  df-ms 24277  df-limc 25835

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  46538  fourierdlem75  46539  fourierdlem76  46540  fourierdlem84  46548