Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem53 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem53 45174
Description: The limit of 𝐹(𝑠) at (𝑋 + 𝐷) is the limit of 𝐹(𝑋 + 𝑠) at 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem53.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem53.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem53.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
fourierdlem53.g 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
fourierdlem53.xps ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐡)
fourierdlem53.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
fourierdlem53.sned ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 β‰  𝐷)
fourierdlem53.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ (𝑋 + 𝐷)))
fourierdlem53.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem53 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑠)   𝐺(𝑠)
Proof of Theorem fourierdlem53
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem53.xps . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐡)
2 fourierdlem53.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3 fourierdlem53.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
42, 3fssresd 6758 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„)
54fdmd 6728 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) = 𝐡)
65eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = dom (𝐹 β†Ύ 𝐡))
76adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = dom (𝐹 β†Ύ 𝐡))
81, 7eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐡))
9 fourierdlem53.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
109recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
12 fourierdlem53.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1312sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1413recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
15 fourierdlem53.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
17 fourierdlem53.sned . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 β‰  𝐷)
1811, 14, 16, 17addneintrd 11426 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) β‰  (𝑋 + 𝐷))
1918neneqd 2944 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷))
209adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2120, 13readdcld 11248 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
22 elsng 4642 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ β†’ ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2419, 23mtbird 325 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)})
258, 24eldifd 3959 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆ– {(𝑋 + 𝐷)}))
2625ralrimiva 3145 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆ– {(𝑋 + 𝐷)}))
27 eqid 2731 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
2827rnmptss 7124 . . . 4 (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆ– {(𝑋 + 𝐷)}) β†’ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) βŠ† (dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆ– {(𝑋 + 𝐷)}))
2926, 28syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) βŠ† (dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆ– {(𝑋 + 𝐷)}))
30 eqid 2731 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
31 eqid 2731 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
32 ax-resscn 11171 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
3312, 32sstrdi 3994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3430, 33, 10, 15constlimc 44639 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) limβ„‚ 𝐷))
3533, 31, 15idlimc 44641 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) limβ„‚ 𝐷))
3630, 31, 27, 11, 14, 34, 35addlimc 44663 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐷) ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) limβ„‚ 𝐷))
37 fourierdlem53.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ (𝑋 + 𝐷)))
3829, 36, 37limccog 44635 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ 𝐷))
39 nfv 1916 . . . . . 6 β„²π‘ πœ‘
4039, 27, 1rnmptssd 44194 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) βŠ† 𝐡)
41 cores 6248 . . . . 5 (ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) βŠ† 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
4240, 41syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
4321, 27fmptd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):π΄βŸΆβ„)
44 fcompt 7133 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):π΄βŸΆβ„) β†’ (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯))))
452, 43, 44syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯))))
46 fourierdlem53.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
4746a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))))
48 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑠 = π‘₯ β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + π‘₯))
4948fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑠 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))
5049cbvmptv 5261 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))
5150a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))))
52 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
5348adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = π‘₯) β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + π‘₯))
54 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
559adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5612sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5755, 56readdcld 11248 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘₯) ∈ ℝ)
5852, 53, 54, 57fvmptd 7005 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯) = (𝑋 + π‘₯))
5958eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘₯) = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯))
6059fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) = (πΉβ€˜((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯)))
6160mpteq2dva 5248 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯))))
6247, 51, 613eqtrrd 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯))) = 𝐺)
6342, 45, 623eqtrd 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = 𝐺)
6463oveq1d 7427 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ 𝐷) = (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
6538, 64eleqtrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113   + caddc 11117   limβ„‚ climc 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cnp 22953  df-xms 24047  df-ms 24048  df-limc 25616
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  45195  fourierdlem75  45196  fourierdlem76  45197  fourierdlem84  45205
  Copyright terms: Public domain W3C validator