Theorem fourierdlem53 47168

Description: The limit of 𝐹(𝑠) at (𝑋 + 𝐷) is the limit of 𝐹(𝑋 + 𝑠) at 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem53.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem53.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem53.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
fourierdlem53.xps	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
fourierdlem53.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.sned	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 𝐷)
fourierdlem53.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝑋 + 𝐷)))
fourierdlem53.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem53	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠)   𝐺(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem53

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem53.xps	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
2		fourierdlem53.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		fourierdlem53.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
4	2, 3	fssresd 6749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
5	4	fdmd 6720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ 𝐵) = 𝐵)
6	5	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = dom (𝐹 ↾ 𝐵))
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐵 = dom (𝐹 ↾ 𝐵))
8	1, 7	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵))
9		fourierdlem53.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℂ)
12		fourierdlem53.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15		fourierdlem53.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17		fourierdlem53.sned	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 𝐷)
18	11, 14, 16, 17	addneintrd 11517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ≠ (𝑋 + 𝐷))
19	18	neneqd 2961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷))
20	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
21	20, 13	readdcld 11338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
22		elsng 4598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
24	19, 23	mtbird 328	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)})
25	8, 24	eldifd 3910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
26	25	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
27		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
28	27	rnmptss 7123	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}) → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
29	26, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
30		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
31		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
32		ax-resscn 11257	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
33	12, 32	sstrdi 3943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
34	30, 33, 10, 15	constlimc 46635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) limℂ 𝐷))
35	33, 31, 15	idlimc 46637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) limℂ 𝐷))
36	30, 31, 27, 11, 14, 34, 35	addlimc 46657	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐷) ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) limℂ 𝐷))
37		fourierdlem53.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝑋 + 𝐷)))
38	29, 36, 37	limccog 46631	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limℂ 𝐷))
39		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
40	39, 27, 1	rnmptssd 7124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵)
41		cores 6250	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
42	40, 41	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
43	21, 27	fmptd 7114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ)
44		fcompt 7134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
45	2, 43, 44	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
46		fourierdlem53.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
47	46	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
48		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
49	48	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
50	49	cbvmptv 5209	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
52		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
53	48	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 𝑥) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
54		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
55	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
56	12	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	55, 56	readdcld 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
58	52, 53, 54, 57	fvmptd 7001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥) = (𝑋 + 𝑥))
59	58	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑥) = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))
60	59	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥)))
61	60	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
62	47, 51, 61	3eqtrrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))) = 𝐺)
63	42, 45, 62	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = 𝐺)
64	63	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limℂ 𝐷) = (𝐺 limℂ 𝐷))
65	38, 64	eleqtrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199   + caddc 11203   lim_ℂ climc 26182

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-rest 17593  df-topn 17594  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cnp 23546  df-xms 24639  df-ms 24640  df-limc 26186

This theorem is used by:  fourierdlem74  47189  fourierdlem75  47190  fourierdlem76  47191  fourierdlem84  47199