Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem53 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem53 41313
Description: The limit of 𝐹(𝑠) at (𝑋 + 𝐷) is the limit of 𝐹(𝑋 + 𝑠) at 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem53.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem53.2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem53.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.g 𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
fourierdlem53.xps ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
fourierdlem53.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.sned ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐷)
fourierdlem53.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝑋 + 𝐷)))
fourierdlem53.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem53 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠)   𝐺(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem53
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem53.xps . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
2 fourierdlem53.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 fourierdlem53.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
42, 3fssresd 6323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℝ)
54fdmd 6302 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝐹𝐵) = 𝐵)
65eqcomd 2784 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = dom (𝐹𝐵))
76adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐵 = dom (𝐹𝐵))
81, 7eleqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ dom (𝐹𝐵))
9 fourierdlem53.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
109recnd 10407 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1110adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℂ)
12 fourierdlem53.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1312sselda 3821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
1413recnd 10407 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15 fourierdlem53.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1615adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17 fourierdlem53.sned . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐷)
1811, 14, 16, 17addneintrd 10585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ≠ (𝑋 + 𝐷))
1918neneqd 2974 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷))
209adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
2120, 13readdcld 10408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
22 elsng 4412 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2419, 23mtbird 317 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)})
258, 24eldifd 3803 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
2625ralrimiva 3148 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑠𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
27 eqid 2778 . . . . 5 (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
2827rnmptss 6658 . . . 4 (∀𝑠𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}) → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
2926, 28syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
30 eqid 2778 . . . 4 (𝑠𝐴𝑋) = (𝑠𝐴𝑋)
31 eqid 2778 . . . 4 (𝑠𝐴𝑠) = (𝑠𝐴𝑠)
32 ax-resscn 10331 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3312, 32syl6ss 3833 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3430, 33, 10, 15constlimc 40774 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((𝑠𝐴𝑋) lim 𝐷))
3533, 31, 15idlimc 40776 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑠𝐴𝑠) lim 𝐷))
3630, 31, 27, 11, 14, 34, 35addlimc 40798 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝐷) ∈ ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) lim 𝐷))
37 fourierdlem53.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝑋 + 𝐷)))
3829, 36, 37limccog 40770 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) lim 𝐷))
39 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → 𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
4027elrnmpt 5620 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) → (𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ↔ ∃𝑠𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠)))
4140adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → (𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ↔ ∃𝑠𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠)))
4239, 41mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → ∃𝑠𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠))
43 nfv 1957 . . . . . . . . . 10 𝑠𝜑
44 nfmpt1 4984 . . . . . . . . . . . 12 𝑠(𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
4544nfrn 5616 . . . . . . . . . . 11 𝑠ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
4645nfcri 2929 . . . . . . . . . 10 𝑠 𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
4743, 46nfan 1946 . . . . . . . . 9 𝑠(𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
48 nfv 1957 . . . . . . . . 9 𝑠 𝑦𝐵
49 simp3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴𝑦 = (𝑋 + 𝑠)) → 𝑦 = (𝑋 + 𝑠))
5013adant3 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴𝑦 = (𝑋 + 𝑠)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
5149, 50eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴𝑦 = (𝑋 + 𝑠)) → 𝑦𝐵)
52513exp 1109 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠𝐴 → (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → 𝑦𝐵)))
5352adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → (𝑠𝐴 → (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → 𝑦𝐵)))
5447, 48, 53rexlimd 3208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → (∃𝑠𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → 𝑦𝐵))
5542, 54mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → 𝑦𝐵)
5655ralrimiva 3148 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))𝑦𝐵)
57 dfss3 3810 . . . . . 6 (ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))𝑦𝐵)
5856, 57sylibr 226 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵)
59 cores 5894 . . . . 5 (ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
6058, 59syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
6121, 27fmptd 6650 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ)
62 fcompt 6667 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
632, 61, 62syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
64 fourierdlem53.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
6564a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
66 oveq2 6932 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
6766fveq2d 6452 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
6867cbvmptv 4987 . . . . . 6 (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
6968a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
70 eqidd 2779 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
7166adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑠 = 𝑥) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
72 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
739adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
7412sselda 3821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
7573, 74readdcld 10408 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
7670, 71, 72, 75fvmptd 6550 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥) = (𝑋 + 𝑥))
7776eqcomd 2784 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑋 + 𝑥) = ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))
7877fveq2d 6452 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥)))
7978mpteq2dva 4981 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
8065, 69, 793eqtrrd 2819 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))) = 𝐺)
8160, 63, 803eqtrd 2818 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = 𝐺)
8281oveq1d 6939 . 2 (𝜑 → (((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) lim 𝐷) = (𝐺 lim 𝐷))
8338, 82eleqtrd 2861 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  cdif 3789  wss 3792  {csn 4398  cmpt 4967  dom cdm 5357  ran crn 5358  cres 5359  ccom 5361  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273   + caddc 10277   lim climc 24067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-fz 12648  df-seq 13124  df-exp 13183  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-rest 16473  df-topn 16474  df-topgen 16494  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cnp 21444  df-xms 22537  df-ms 22538  df-limc 24071
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  41334  fourierdlem75  41335  fourierdlem76  41336  fourierdlem84  41344
  Copyright terms: Public domain W3C validator