Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem53 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem53 43682
Description: The limit of 𝐹(𝑠) at (𝑋 + 𝐷) is the limit of 𝐹(𝑋 + 𝑠) at 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem53.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem53.2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem53.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.g 𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
fourierdlem53.xps ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
fourierdlem53.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.sned ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐷)
fourierdlem53.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝑋 + 𝐷)))
fourierdlem53.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem53 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠)   𝐺(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem53
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem53.xps . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
2 fourierdlem53.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 fourierdlem53.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
42, 3fssresd 6639 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℝ)
54fdmd 6609 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝐹𝐵) = 𝐵)
65eqcomd 2746 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = dom (𝐹𝐵))
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐵 = dom (𝐹𝐵))
81, 7eleqtrd 2843 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ dom (𝐹𝐵))
9 fourierdlem53.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
109recnd 11014 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℂ)
12 fourierdlem53.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1312sselda 3926 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
1413recnd 11014 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15 fourierdlem53.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17 fourierdlem53.sned . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐷)
1811, 14, 16, 17addneintrd 11193 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ≠ (𝑋 + 𝐷))
1918neneqd 2950 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷))
209adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
2120, 13readdcld 11015 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
22 elsng 4581 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2419, 23mtbird 325 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)})
258, 24eldifd 3903 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
2625ralrimiva 3110 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑠𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
27 eqid 2740 . . . . 5 (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
2827rnmptss 6993 . . . 4 (∀𝑠𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}) → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
2926, 28syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
30 eqid 2740 . . . 4 (𝑠𝐴𝑋) = (𝑠𝐴𝑋)
31 eqid 2740 . . . 4 (𝑠𝐴𝑠) = (𝑠𝐴𝑠)
32 ax-resscn 10939 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3312, 32sstrdi 3938 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3430, 33, 10, 15constlimc 43147 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((𝑠𝐴𝑋) lim 𝐷))
3533, 31, 15idlimc 43149 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑠𝐴𝑠) lim 𝐷))
3630, 31, 27, 11, 14, 34, 35addlimc 43171 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝐷) ∈ ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) lim 𝐷))
37 fourierdlem53.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝑋 + 𝐷)))
3829, 36, 37limccog 43143 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) lim 𝐷))
39 nfv 1921 . . . . . 6 𝑠𝜑
4039, 27, 1rnmptssd 42717 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵)
41 cores 6152 . . . . 5 (ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
4240, 41syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
4321, 27fmptd 6985 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ)
44 fcompt 7002 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
452, 43, 44syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
46 fourierdlem53.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
4746a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
48 oveq2 7280 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
4948fveq2d 6775 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
5049cbvmptv 5192 . . . . . 6 (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
52 eqidd 2741 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
5348adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑠 = 𝑥) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
54 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
559adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
5612sselda 3926 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
5755, 56readdcld 11015 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
5852, 53, 54, 57fvmptd 6879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥) = (𝑋 + 𝑥))
5958eqcomd 2746 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑋 + 𝑥) = ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))
6059fveq2d 6775 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥)))
6160mpteq2dva 5179 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
6247, 51, 613eqtrrd 2785 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))) = 𝐺)
6342, 45, 623eqtrd 2784 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = 𝐺)
6463oveq1d 7287 . 2 (𝜑 → (((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) lim 𝐷) = (𝐺 lim 𝐷))
6538, 64eleqtrd 2843 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wral 3066  cdif 3889  wss 3892  {csn 4567  cmpt 5162  dom cdm 5590  ran crn 5591  cres 5592  ccom 5594  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7272  cc 10880  cr 10881   + caddc 10885   lim climc 25037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-fz 13251  df-seq 13733  df-exp 13794  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-struct 16859  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-starv 16988  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ds 16995  df-unif 16996  df-rest 17144  df-topn 17145  df-topgen 17165  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-met 20602  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-cnfld 20609  df-top 22054  df-topon 22071  df-topsp 22093  df-bases 22107  df-cnp 22390  df-xms 23484  df-ms 23485  df-limc 25041
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  43703  fourierdlem75  43704  fourierdlem76  43705  fourierdlem84  43713
  Copyright terms: Public domain W3C validator