Theorem fourierdlem53 46931

Description: The limit of 𝐹(𝑠) at (𝑋 + 𝐷) is the limit of 𝐹(𝑋 + 𝑠) at 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem53.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem53.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem53.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
fourierdlem53.xps	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
fourierdlem53.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.sned	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 𝐷)
fourierdlem53.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝑋 + 𝐷)))
fourierdlem53.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem53	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠)   𝐺(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem53

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem53.xps	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
2		fourierdlem53.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		fourierdlem53.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
4	2, 3	fssresd 6749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
5	4	fdmd 6720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ 𝐵) = 𝐵)
6	5	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = dom (𝐹 ↾ 𝐵))
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐵 = dom (𝐹 ↾ 𝐵))
8	1, 7	eleqtrd 2867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵))
9		fourierdlem53.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℂ)
12		fourierdlem53.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	sselda 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15		fourierdlem53.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17		fourierdlem53.sned	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 𝐷)
18	11, 14, 16, 17	addneintrd 11432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ≠ (𝑋 + 𝐷))
19	18	neneqd 2965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷))
20	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
21	20, 13	readdcld 11253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
22		elsng 4605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
24	19, 23	mtbird 328	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)})
25	8, 24	eldifd 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
26	25	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
27		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
28	27	rnmptss 7122	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}) → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
29	26, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
30		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
31		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
32		ax-resscn 11172	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
33	12, 32	sstrdi 3950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
34	30, 33, 10, 15	constlimc 46398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) limℂ 𝐷))
35	33, 31, 15	idlimc 46400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) limℂ 𝐷))
36	30, 31, 27, 11, 14, 34, 35	addlimc 46420	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐷) ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) limℂ 𝐷))
37		fourierdlem53.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝑋 + 𝐷)))
38	29, 36, 37	limccog 46394	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limℂ 𝐷))
39		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
40	39, 27, 1	rnmptssd 7123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵)
41		cores 6252	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
42	40, 41	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
43	21, 27	fmptd 7113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ)
44		fcompt 7133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
45	2, 43, 44	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
46		fourierdlem53.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
47	46	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
48		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
49	48	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
50	49	cbvmptv 5217	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
52		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
53	48	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 𝑥) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
54		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
55	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
56	12	sselda 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	55, 56	readdcld 11253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
58	52, 53, 54, 57	fvmptd 7001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥) = (𝑋 + 𝑥))
59	58	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑥) = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))
60	59	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥)))
61	60	mpteq2dva 5206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
62	47, 51, 61	3eqtrrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))) = 𝐺)
63	42, 45, 62	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = 𝐺)
64	63	oveq1d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limℂ 𝐷) = (𝐺 limℂ 𝐷))
65	38, 64	eleqtrd 2867	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ran crn 5664   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114   + caddc 11118   lim_ℂ climc 26072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-rest 17497  df-topn 17498  df-topgen 17518  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cnp 23435  df-xms 24528  df-ms 24529  df-limc 26076

This theorem is used by:  fourierdlem74  46952  fourierdlem75  46953  fourierdlem76  46954  fourierdlem84  46962