Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem53 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem53 45360
Description: The limit of 𝐹(𝑠) at (𝑋 + 𝐷) is the limit of 𝐹(𝑋 + 𝑠) at 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem53.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem53.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem53.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
fourierdlem53.g 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
fourierdlem53.xps ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐡)
fourierdlem53.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
fourierdlem53.sned ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 β‰  𝐷)
fourierdlem53.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ (𝑋 + 𝐷)))
fourierdlem53.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem53 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑠)   𝐺(𝑠)
Proof of Theorem fourierdlem53
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem53.xps . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐡)
2 fourierdlem53.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3 fourierdlem53.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
42, 3fssresd 6748 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„)
54fdmd 6718 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) = 𝐡)
65eqcomd 2730 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = dom (𝐹 β†Ύ 𝐡))
76adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = dom (𝐹 β†Ύ 𝐡))
81, 7eleqtrd 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐡))
9 fourierdlem53.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
109recnd 11239 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
12 fourierdlem53.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1312sselda 3974 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1413recnd 11239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
15 fourierdlem53.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
17 fourierdlem53.sned . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 β‰  𝐷)
1811, 14, 16, 17addneintrd 11418 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) β‰  (𝑋 + 𝐷))
1918neneqd 2937 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷))
209adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2120, 13readdcld 11240 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
22 elsng 4634 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ β†’ ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2419, 23mtbird 325 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)})
258, 24eldifd 3951 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆ– {(𝑋 + 𝐷)}))
2625ralrimiva 3138 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆ– {(𝑋 + 𝐷)}))
27 eqid 2724 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
2827rnmptss 7114 . . . 4 (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆ– {(𝑋 + 𝐷)}) β†’ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) βŠ† (dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆ– {(𝑋 + 𝐷)}))
2926, 28syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) βŠ† (dom (𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆ– {(𝑋 + 𝐷)}))
30 eqid 2724 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
31 eqid 2724 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
32 ax-resscn 11163 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
3312, 32sstrdi 3986 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3430, 33, 10, 15constlimc 44825 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) limβ„‚ 𝐷))
3533, 31, 15idlimc 44827 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) limβ„‚ 𝐷))
3630, 31, 27, 11, 14, 34, 35addlimc 44849 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐷) ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) limβ„‚ 𝐷))
37 fourierdlem53.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ (𝑋 + 𝐷)))
3829, 36, 37limccog 44821 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ 𝐷))
39 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘ πœ‘
4039, 27, 1rnmptssd 44380 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) βŠ† 𝐡)
41 cores 6238 . . . . 5 (ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) βŠ† 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
4240, 41syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
4321, 27fmptd 7105 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):π΄βŸΆβ„)
44 fcompt 7123 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):π΄βŸΆβ„) β†’ (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯))))
452, 43, 44syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯))))
46 fourierdlem53.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
4746a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))))
48 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑠 = π‘₯ β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + π‘₯))
4948fveq2d 6885 . . . . . . 7 (𝑠 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))
5049cbvmptv 5251 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))
5150a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))))
52 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
5348adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = π‘₯) β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + π‘₯))
54 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
559adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5612sselda 3974 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5755, 56readdcld 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘₯) ∈ ℝ)
5852, 53, 54, 57fvmptd 6995 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯) = (𝑋 + π‘₯))
5958eqcomd 2730 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘₯) = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯))
6059fveq2d 6885 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) = (πΉβ€˜((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯)))
6160mpteq2dva 5238 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯))))
6247, 51, 613eqtrrd 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))β€˜π‘₯))) = 𝐺)
6342, 45, 623eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = 𝐺)
6463oveq1d 7416 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ 𝐷) = (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
6538, 64eleqtrd 2827 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  {csn 4620   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  β„cr 11105   + caddc 11109   limβ„‚ climc 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cnp 23054  df-xms 24148  df-ms 24149  df-limc 25717
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  45381  fourierdlem75  45382  fourierdlem76  45383  fourierdlem84  45391
  Copyright terms: Public domain W3C validator