Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem53 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem53 43700
Description: The limit of 𝐹(𝑠) at (𝑋 + 𝐷) is the limit of 𝐹(𝑋 + 𝑠) at 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem53.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem53.2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem53.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.g 𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
fourierdlem53.xps ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
fourierdlem53.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.sned ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐷)
fourierdlem53.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝑋 + 𝐷)))
fourierdlem53.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem53 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠)   𝐺(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem53
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem53.xps . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
2 fourierdlem53.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 fourierdlem53.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
42, 3fssresd 6641 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℝ)
54fdmd 6611 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝐹𝐵) = 𝐵)
65eqcomd 2744 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = dom (𝐹𝐵))
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐵 = dom (𝐹𝐵))
81, 7eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ dom (𝐹𝐵))
9 fourierdlem53.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
109recnd 11003 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℂ)
12 fourierdlem53.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1312sselda 3921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
1413recnd 11003 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15 fourierdlem53.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17 fourierdlem53.sned . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐷)
1811, 14, 16, 17addneintrd 11182 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ≠ (𝑋 + 𝐷))
1918neneqd 2948 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷))
209adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
2120, 13readdcld 11004 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
22 elsng 4575 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2419, 23mtbird 325 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)})
258, 24eldifd 3898 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
2625ralrimiva 3103 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑠𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
27 eqid 2738 . . . . 5 (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
2827rnmptss 6996 . . . 4 (∀𝑠𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}) → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
2926, 28syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
30 eqid 2738 . . . 4 (𝑠𝐴𝑋) = (𝑠𝐴𝑋)
31 eqid 2738 . . . 4 (𝑠𝐴𝑠) = (𝑠𝐴𝑠)
32 ax-resscn 10928 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3312, 32sstrdi 3933 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3430, 33, 10, 15constlimc 43165 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((𝑠𝐴𝑋) lim 𝐷))
3533, 31, 15idlimc 43167 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑠𝐴𝑠) lim 𝐷))
3630, 31, 27, 11, 14, 34, 35addlimc 43189 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝐷) ∈ ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) lim 𝐷))
37 fourierdlem53.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝑋 + 𝐷)))
3829, 36, 37limccog 43161 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) lim 𝐷))
39 nfv 1917 . . . . . 6 𝑠𝜑
4039, 27, 1rnmptssd 42735 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵)
41 cores 6153 . . . . 5 (ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
4240, 41syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
4321, 27fmptd 6988 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ)
44 fcompt 7005 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
452, 43, 44syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
46 fourierdlem53.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
4746a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
48 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
4948fveq2d 6778 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
5049cbvmptv 5187 . . . . . 6 (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
52 eqidd 2739 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
5348adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑠 = 𝑥) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
54 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
559adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
5612sselda 3921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
5755, 56readdcld 11004 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
5852, 53, 54, 57fvmptd 6882 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥) = (𝑋 + 𝑥))
5958eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑋 + 𝑥) = ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))
6059fveq2d 6778 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥)))
6160mpteq2dva 5174 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
6247, 51, 613eqtrrd 2783 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))) = 𝐺)
6342, 45, 623eqtrd 2782 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = 𝐺)
6463oveq1d 7290 . 2 (𝜑 → (((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) lim 𝐷) = (𝐺 lim 𝐷))
6538, 64eleqtrd 2841 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3884  wss 3887  {csn 4561  cmpt 5157  dom cdm 5589  ran crn 5590  cres 5591  ccom 5593  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870   + caddc 10874   lim climc 25026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cnp 22379  df-xms 23473  df-ms 23474  df-limc 25030
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  43721  fourierdlem75  43722  fourierdlem76  43723  fourierdlem84  43731
  Copyright terms: Public domain W3C validator