Theorem fourierdlem53 46987

Description: The limit of 𝐹(𝑠) at (𝑋 + 𝐷) is the limit of 𝐹(𝑋 + 𝑠) at 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem53.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem53.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem53.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
fourierdlem53.xps	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
fourierdlem53.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.sned	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 𝐷)
fourierdlem53.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝑋 + 𝐷)))
fourierdlem53.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem53	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠)   𝐺(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem53

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem53.xps	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
2		fourierdlem53.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		fourierdlem53.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
4	2, 3	fssresd 6742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
5	4	fdmd 6713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ 𝐵) = 𝐵)
6	5	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = dom (𝐹 ↾ 𝐵))
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐵 = dom (𝐹 ↾ 𝐵))
8	1, 7	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵))
9		fourierdlem53.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℂ)
12		fourierdlem53.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15		fourierdlem53.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17		fourierdlem53.sned	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 𝐷)
18	11, 14, 16, 17	addneintrd 11441	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ≠ (𝑋 + 𝐷))
19	18	neneqd 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷))
20	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
21	20, 13	readdcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
22		elsng 4598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
24	19, 23	mtbird 328	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)})
25	8, 24	eldifd 3910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
26	25	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
27		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
28	27	rnmptss 7116	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}) → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
29	26, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
30		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
31		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
32		ax-resscn 11181	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
33	12, 32	sstrdi 3943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
34	30, 33, 10, 15	constlimc 46454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) limℂ 𝐷))
35	33, 31, 15	idlimc 46456	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) limℂ 𝐷))
36	30, 31, 27, 11, 14, 34, 35	addlimc 46476	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐷) ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) limℂ 𝐷))
37		fourierdlem53.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝑋 + 𝐷)))
38	29, 36, 37	limccog 46450	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limℂ 𝐷))
39		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
40	39, 27, 1	rnmptssd 7117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵)
41		cores 6245	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
42	40, 41	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
43	21, 27	fmptd 7107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ)
44		fcompt 7127	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
45	2, 43, 44	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
46		fourierdlem53.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
47	46	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
48		oveq2 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
49	48	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
50	49	cbvmptv 5209	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
52		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
53	48	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 𝑥) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
54		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
55	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
56	12	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	55, 56	readdcld 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
58	52, 53, 54, 57	fvmptd 6994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥) = (𝑋 + 𝑥))
59	58	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑥) = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))
60	59	fveq2d 6882	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥)))
61	60	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
62	47, 51, 61	3eqtrrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))) = 𝐺)
63	42, 45, 62	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = 𝐺)
64	63	oveq1d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limℂ 𝐷) = (𝐺 limℂ 𝐷))
65	38, 64	eleqtrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123   + caddc 11127   lim_ℂ climc 26089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-rest 17507  df-topn 17508  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cnp 23453  df-xms 24546  df-ms 24547  df-limc 26093

This theorem is used by:  fourierdlem74  47008  fourierdlem75  47009  fourierdlem76  47010  fourierdlem84  47018