Theorem cardsucnn 9962

Description: The cardinality of the successor of a finite ordinal (natural number). This theorem does not hold for infinite ordinals; see cardsucinf 9961. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cardsucnn	⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘suc 𝐴) = suc (card‘𝐴))

Proof of Theorem cardsucnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 7863	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
2		cardnn 9940	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → (card‘suc 𝐴) = suc 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘suc 𝐴) = suc 𝐴)
4		cardnn 9940	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
5		suceq 6419	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → suc (card‘𝐴) = suc 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc (card‘𝐴) = suc 𝐴)
7	3, 6	eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘suc 𝐴) = suc (card‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  suc csuc 6355  ‘cfv 6532  ωcom 7838  cardccrd 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-om 7839  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916

This theorem is referenced by: (None)