Theorem cardom 10038

Description: The set of natural numbers is a cardinal number. Theorem 18.11 of [Monk1] p. 133. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
cardom	⊢ (card‘ω) = ω

Proof of Theorem cardom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9625	. . . 4 ⊢ ω ∈ On
2		oncardid 10008	. . . 4 ⊢ (ω ∈ On → (card‘ω) ≈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (card‘ω) ≈ ω
4		nnsdom 9633	. . . 4 ⊢ ((card‘ω) ∈ ω → (card‘ω) ≺ ω)
5		sdomnen 8986	. . . 4 ⊢ ((card‘ω) ≺ ω → ¬ (card‘ω) ≈ ω)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((card‘ω) ∈ ω → ¬ (card‘ω) ≈ ω)
7	3, 6	mt2 203	. 2 ⊢ ¬ (card‘ω) ∈ ω
8		cardonle 10009	. . . 4 ⊢ (ω ∈ On → (card‘ω) ⊆ ω)
9	1, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (card‘ω) ⊆ ω
10		cardon 9996	. . . 4 ⊢ (card‘ω) ∈ On
11	10, 1	onsseli 6474	. . 3 ⊢ ((card‘ω) ⊆ ω ↔ ((card‘ω) ∈ ω ∨ (card‘ω) = ω))
12	9, 11	mpbi 233	. 2 ⊢ ((card‘ω) ∈ ω ∨ (card‘ω) = ω)
13	7, 12	mtpor 1803	1 ⊢ (card‘ω) = ω

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  Oncon0 6351  ‘cfv 6527  ωcom 7860   ≈ cen 8948   ≺ csdm 8950  cardccrd 9987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-om 7861  df-1o 8454  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991

This theorem is used by:  infxpidm2  10067  alephcard  10120  infenaleph  10141  alephval2  10628  pwfseqlem5  10719