Theorem cardom 10067

Description: The set of natural numbers is a cardinal number. Theorem 18.11 of [Monk1] p. 133. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
cardom	⊢ (card‘ω) = ω

Proof of Theorem cardom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9647	. . . 4 ⊢ ω ∈ On
2		oncardid 10037	. . . 4 ⊢ (ω ∈ On → (card‘ω) ≈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (card‘ω) ≈ ω
4		nnsdom 9655	. . . 4 ⊢ ((card‘ω) ∈ ω → (card‘ω) ≺ ω)
5		sdomnen 9008	. . . 4 ⊢ ((card‘ω) ≺ ω → ¬ (card‘ω) ≈ ω)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((card‘ω) ∈ ω → ¬ (card‘ω) ≈ ω)
7	3, 6	mt2 203	. 2 ⊢ ¬ (card‘ω) ∈ ω
8		cardonle 10038	. . . 4 ⊢ (ω ∈ On → (card‘ω) ⊆ ω)
9	1, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (card‘ω) ⊆ ω
10		cardon 10025	. . . 4 ⊢ (card‘ω) ∈ On
11	10, 1	onsseli 6485	. . 3 ⊢ ((card‘ω) ⊆ ω ↔ ((card‘ω) ∈ ω ∨ (card‘ω) = ω))
12	9, 11	mpbi 233	. 2 ⊢ ((card‘ω) ∈ ω ∨ (card‘ω) = ω)
13	7, 12	mtpor 1802	1 ⊢ (card‘ω) = ω

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  ωcom 7877   ≈ cen 8970   ≺ csdm 8972  cardccrd 10016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8476  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020

This theorem is used by:  infxpidm2  10096  alephcard  10149  infenaleph  10170  alephval2  10657  pwfseqlem5  10748