Theorem cardom 10017

Description: The set of natural numbers is a cardinal number. Theorem 18.11 of [Monk1] p. 133. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
cardom	⊢ (card‘ω) = ω

Proof of Theorem cardom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9677	. . . 4 ⊢ ω ∈ On
2		oncardid 9987	. . . 4 ⊢ (ω ∈ On → (card‘ω) ≈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (card‘ω) ≈ ω
4		nnsdom 9685	. . . 4 ⊢ ((card‘ω) ∈ ω → (card‘ω) ≺ ω)
5		sdomnen 9008	. . . 4 ⊢ ((card‘ω) ≺ ω → ¬ (card‘ω) ≈ ω)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((card‘ω) ∈ ω → ¬ (card‘ω) ≈ ω)
7	3, 6	mt2 199	. 2 ⊢ ¬ (card‘ω) ∈ ω
8		cardonle 9988	. . . 4 ⊢ (ω ∈ On → (card‘ω) ⊆ ω)
9	1, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (card‘ω) ⊆ ω
10		cardon 9975	. . . 4 ⊢ (card‘ω) ∈ On
11	10, 1	onsseli 6495	. . 3 ⊢ ((card‘ω) ⊆ ω ↔ ((card‘ω) ∈ ω ∨ (card‘ω) = ω))
12	9, 11	mpbi 229	. 2 ⊢ ((card‘ω) ∈ ω ∨ (card‘ω) = ω)
13	7, 12	mtpor 1764	1 ⊢ (card‘ω) = ω

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5152  Oncon0 6374  ‘cfv 6553  ωcom 7876   ≈ cen 8967   ≺ csdm 8969  cardccrd 9966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1o 8493  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970

This theorem is referenced by:  infxpidm2  10048  alephcard  10101  infenaleph  10122  alephval2  10603  pwfseqlem5  10694