Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme21at Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme21at 37506
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 29-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme21.l = (le‘𝐾)
cdleme21.j = (join‘𝐾)
cdleme21.m = (meet‘𝐾)
cdleme21.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme21.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme21.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme21at ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑇𝑧)

Proof of Theorem cdleme21at
StepHypRef Expression
1 cdleme21.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 cdleme21.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 cdleme21.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
4 cdleme21.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdleme21.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdleme21.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6cdleme21c 37505 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑈 (𝑆 𝑧))
873adant2r 1176 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑈 (𝑆 𝑧))
9 simp2r 1197 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑈 (𝑆 𝑇))
10 oveq2 7138 . . . . 5 (𝑇 = 𝑧 → (𝑆 𝑇) = (𝑆 𝑧))
1110breq2d 5051 . . . 4 (𝑇 = 𝑧 → (𝑈 (𝑆 𝑇) ↔ 𝑈 (𝑆 𝑧)))
129, 11syl5ibcom 248 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝑇 = 𝑧𝑈 (𝑆 𝑧)))
1312necon3bd 3021 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (¬ 𝑈 (𝑆 𝑧) → 𝑇𝑧))
148, 13mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑇𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  lecple 16551  joincjn 17533  meetcmee 17534  Atomscatm 36441  HLchlt 36528  LHypclh 37162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-oposet 36354  df-ol 36356  df-oml 36357  df-covers 36444  df-ats 36445  df-atl 36476  df-cvlat 36500  df-hlat 36529  df-lhyp 37166
This theorem is referenced by:  cdleme21e  37509
  Copyright terms: Public domain W3C validator