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Theorem cdleme21ct 37584
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 29-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme21.l = (le‘𝐾)
cdleme21.j = (join‘𝐾)
cdleme21.m = (meet‘𝐾)
cdleme21.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme21.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme21.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme21ct ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑈 (𝑇 𝑧))

Proof of Theorem cdleme21ct
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp13 1202 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑄𝐴)
4 simp21l 1287 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑆𝐴)
5 simp231 1314 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑃𝑄)
6 simp232 1315 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
7 simp3ll 1241 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑧𝐴)
8 simp3r 1199 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))
9 cdleme21.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 cdleme21.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 cdleme21.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
12 cdleme21.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 cdleme21.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 cdleme21.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
159, 10, 11, 12, 13, 14cdleme21c 37582 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑈 (𝑆 𝑧))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15syl332anc 1398 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑈 (𝑆 𝑧))
17 simp233 1316 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑈 (𝑆 𝑇))
18 simp11l 1281 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝐾 ∈ HL)
19 hlcvl 36614 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝐾 ∈ CvLat)
21 simp11r 1282 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑊𝐻)
22 simp12l 1283 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑃𝐴)
23 simp12r 1284 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑃 𝑊)
249, 10, 11, 12, 13, 14cdleme0a 37466 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
2518, 21, 22, 23, 3, 5, 24syl222anc 1383 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑈𝐴)
26 simp22l 1289 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑇𝐴)
2718hllatd 36619 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
28 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2928, 10, 12hlatjcl 36622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3018, 22, 3, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3128, 13lhpbase 37253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3221, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3328, 9, 11latmle2 17678 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
3427, 30, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
3514, 34eqbrtrid 5077 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑈 𝑊)
36 simp21r 1288 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑆 𝑊)
37 nbrne2 5062 . . . . . . . . 9 ((𝑈 𝑊 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) → 𝑈𝑆)
3835, 36, 37syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑈𝑆)
39 simp22r 1290 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑇 𝑊)
40 nbrne2 5062 . . . . . . . . 9 ((𝑈 𝑊 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) → 𝑈𝑇)
4135, 39, 40syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑈𝑇)
429, 10, 12cvlatexch3 36593 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑈𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑇)) → (𝑈 (𝑆 𝑇) → (𝑈 𝑆) = (𝑈 𝑇)))
4320, 25, 4, 26, 38, 41, 42syl132anc 1385 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝑈 (𝑆 𝑇) → (𝑈 𝑆) = (𝑈 𝑇)))
4417, 43mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝑈 𝑆) = (𝑈 𝑇))
4544adantr 484 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) ∧ 𝑈 (𝑇 𝑧)) → (𝑈 𝑆) = (𝑈 𝑇))
46 simp3lr 1242 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑧 𝑊)
47 nbrne2 5062 . . . . . . . 8 ((𝑈 𝑊 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) → 𝑈𝑧)
4835, 46, 47syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑈𝑧)
499, 10, 12cvlatexch3 36593 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑈𝐴𝑇𝐴𝑧𝐴) ∧ (𝑈𝑇𝑈𝑧)) → (𝑈 (𝑇 𝑧) → (𝑈 𝑇) = (𝑈 𝑧)))
5020, 25, 26, 7, 41, 48, 49syl132anc 1385 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝑈 (𝑇 𝑧) → (𝑈 𝑇) = (𝑈 𝑧)))
5150imp 410 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) ∧ 𝑈 (𝑇 𝑧)) → (𝑈 𝑇) = (𝑈 𝑧))
5245, 51eqtrd 2857 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) ∧ 𝑈 (𝑇 𝑧)) → (𝑈 𝑆) = (𝑈 𝑧))
5352ex 416 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝑈 (𝑇 𝑧) → (𝑈 𝑆) = (𝑈 𝑧)))
549, 10, 12hlatlej2 36631 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑆𝐴) → 𝑆 (𝑈 𝑆))
5518, 25, 4, 54syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑆 (𝑈 𝑆))
56 breq2 5046 . . . 4 ((𝑈 𝑆) = (𝑈 𝑧) → (𝑆 (𝑈 𝑆) ↔ 𝑆 (𝑈 𝑧)))
5755, 56syl5ibcom 248 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ((𝑈 𝑆) = (𝑈 𝑧) → 𝑆 (𝑈 𝑧)))
589, 10, 12cdleme21a 37580 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑆𝑧)
5918, 22, 3, 4, 6, 7, 8, 58syl322anc 1395 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑆𝑧)
609, 10, 12cvlatexch2 36592 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑆𝐴𝑈𝐴𝑧𝐴) ∧ 𝑆𝑧) → (𝑆 (𝑈 𝑧) → 𝑈 (𝑆 𝑧)))
6120, 4, 25, 7, 59, 60syl131anc 1380 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝑆 (𝑈 𝑧) → 𝑈 (𝑆 𝑧)))
6253, 57, 613syld 60 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝑈 (𝑇 𝑧) → 𝑈 (𝑆 𝑧)))
6316, 62mtod 201 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑈 (𝑇 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  joincjn 17545  meetcmee 17546  Latclat 17646  Atomscatm 36518  CvLatclc 36520  HLchlt 36605  LHypclh 37239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36431  df-ol 36433  df-oml 36434  df-covers 36521  df-ats 36522  df-atl 36553  df-cvlat 36577  df-hlat 36606  df-lhyp 37243
This theorem is referenced by:  cdleme21e  37586
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