Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme8.4 |
. . 3
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ π) |
2 | 1 | oveq2i 7369 |
. 2
β’ (π β¨ πΆ) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) |
3 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
4 | | simp2l 1200 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β π β π΄) |
5 | 3 | hllatd 37829 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β πΎ β Lat) |
6 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdleme8.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 6, 7 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
9 | 4, 8 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β π β (BaseβπΎ)) |
10 | 6, 7 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
11 | 10 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β π β (BaseβπΎ)) |
12 | | cdleme8.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
13 | 6, 12 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
14 | 5, 9, 11, 13 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
15 | | simp1r 1199 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β π β π») |
16 | | cdleme8.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
17 | 6, 16 | lhpbase 38464 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
18 | 15, 17 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β π β (BaseβπΎ)) |
19 | | cdleme8.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
20 | 6, 19, 12 | latlej1 18338 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β π β€ (π β¨ π)) |
21 | 5, 9, 11, 20 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
22 | | cdleme8.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
23 | 6, 19, 12, 22, 7 | atmod3i1 38330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
24 | 3, 4, 14, 18, 21, 23 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
25 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
26 | 19, 12, 25, 7, 16 | lhpjat2 38487 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
27 | 26 | 3adant3 1133 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
28 | 27 | oveq2d 7374 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (1.βπΎ))) |
29 | | hlol 37826 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
30 | 3, 29 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β πΎ β OL) |
31 | 6, 22, 25 | olm11 37692 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π)) |
32 | 30, 14, 31 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β ((π β¨ π) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π)) |
33 | 24, 28, 32 | 3eqtrd 2781 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = (π β¨ π)) |
34 | 2, 33 | eqtrid 2789 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β (π β¨ πΆ) = (π β¨ π)) |