Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme8 38260
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 2nd paragraph on p. 114. 𝐶 represents s1. In their notation, we prove p s1 = p s. (Contributed by NM, 9-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme8.l = (le‘𝐾)
cdleme8.j = (join‘𝐾)
cdleme8.m = (meet‘𝐾)
cdleme8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme8.4 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝐶) = (𝑃 𝑆))

Proof of Theorem cdleme8
StepHypRef Expression
1 cdleme8.4 . . 3 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
21oveq2i 7282 . 2 (𝑃 𝐶) = (𝑃 ((𝑃 𝑆) 𝑊))
3 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp2l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑃𝐴)
53hllatd 37374 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
6 eqid 2740 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme8.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 37299 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
94, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
106, 7atbase 37299 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11103ad2ant3 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
12 cdleme8.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
136, 12latjcl 18155 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
145, 9, 11, 13syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
15 simp1r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑊𝐻)
16 cdleme8.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
176, 16lhpbase 38008 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1815, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
19 cdleme8.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
206, 19, 12latlej1 18164 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 (𝑃 𝑆))
215, 9, 11, 20syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑆))
22 cdleme8.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
236, 19, 12, 22, 7atmod3i1 37874 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑆)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (𝑃 𝑊)))
243, 4, 14, 18, 21, 23syl131anc 1382 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (𝑃 𝑊)))
25 eqid 2740 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2619, 12, 25, 7, 16lhpjat2 38031 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
27263adant3 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
2827oveq2d 7287 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → ((𝑃 𝑆) (𝑃 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)))
29 hlol 37371 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
303, 29syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
316, 22, 25olm11 37237 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑆))
3230, 14, 31syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑆))
3324, 28, 323eqtrd 2784 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) 𝑊)) = (𝑃 𝑆))
342, 33eqtrid 2792 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝐶) = (𝑃 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  lecple 16967  joincjn 18027  meetcmee 18028  1.cp1 18140  Latclat 18147  OLcol 37184  Atomscatm 37273  HLchlt 37360  LHypclh 37994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-covers 37276  df-ats 37277  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-psubsp 37513  df-pmap 37514  df-padd 37806  df-lhyp 37998
This theorem is referenced by:  cdleme8tN  38265  cdleme15a  38284  cdleme17b  38297  cdlemg3a  38607
  Copyright terms: Public domain W3C validator