Theorem lhpat2 40421

Description: Create an atom under a co-atom. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpat2.r	⊢ 𝑅 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lhpat2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpat2.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
2		lhpat.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lhpat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		lhpat.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		lhpat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		lhpat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	lhpat 40419	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
8	1, 7	eqeltrid 2841	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  lecple 17196  joincjn 18246  meetcmee 18247  Atomscatm 39639  HLchlt 39726  LHypclh 40360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-lhyp 40364

This theorem is referenced by:  lhpat3  40422  4atexlemu  40440  4atexlemv  40441  cdleme0a  40587  cdleme0dN  40592  cdleme0e  40593  cdleme02N  40598  cdleme0ex1N  40599  cdleme0moN  40601  cdleme3b  40605  cdleme3c  40606  cdleme3g  40610  cdleme3h  40611  cdleme3  40613  cdleme7aa  40618  cdleme7c  40621  cdleme7d  40622  cdleme7e  40623  cdleme7ga  40624  cdleme7  40625  cdleme9a  40627  cdleme16aN  40635  cdleme11a  40636  cdleme11c  40637  cdleme12  40647  cdleme16b  40655  cdleme16c  40656  cdleme16d  40657  cdleme20h  40692  cdleme20j  40694  cdleme20l2  40697  cdlemeg46rgv  40904  cdlemeg46req  40905