Theorem lhpat2 40508

Description: Create an atom under a co-atom. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpat2.r	⊢ 𝑅 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lhpat2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpat2.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
2		lhpat.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lhpat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		lhpat.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		lhpat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		lhpat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	lhpat 40506	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
8	1, 7	eqeltrid 2841	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  lecple 17221  joincjn 18271  meetcmee 18272  Atomscatm 39726  HLchlt 39813  LHypclh 40447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-proset 18254  df-poset 18273  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18392  df-clat 18459  df-oposet 39639  df-ol 39641  df-oml 39642  df-covers 39729  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814  df-lhyp 40451

This theorem is referenced by:  lhpat3  40509  4atexlemu  40527  4atexlemv  40528  cdleme0a  40674  cdleme0dN  40679  cdleme0e  40680  cdleme02N  40685  cdleme0ex1N  40686  cdleme0moN  40688  cdleme3b  40692  cdleme3c  40693  cdleme3g  40697  cdleme3h  40698  cdleme3  40700  cdleme7aa  40705  cdleme7c  40708  cdleme7d  40709  cdleme7e  40710  cdleme7ga  40711  cdleme7  40712  cdleme9a  40714  cdleme16aN  40722  cdleme11a  40723  cdleme11c  40724  cdleme12  40734  cdleme16b  40742  cdleme16c  40743  cdleme16d  40744  cdleme20h  40779  cdleme20j  40781  cdleme20l2  40784  cdlemeg46rgv  40991  cdlemeg46req  40992