MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsconn 23278
Description: The closure of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
clsconn ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn)

Proof of Theorem clsconn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 1211 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
2 simpll1 1209 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 simpll2 1210 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
4 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
5 simplrr 775 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
6 simprl1 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ…)
7 n0 4339 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
86, 7sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
92adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 topontop 22759 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
123adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
13 toponuni 22760 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
149, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1512, 14sseqtrd 4015 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
1716elin2d 4192 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
184adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
1916elin1d 4191 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ π‘₯)
20 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2120clsndisj 22923 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
2211, 15, 17, 18, 19, 21syl32anc 1375 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
238, 22exlimddv 1930 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
24 simprl2 1216 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ…)
25 n0 4339 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
2624, 25sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
272adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2827, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
293adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
3027, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3129, 30sseqtrd 4015 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
3332elin2d 4192 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
345adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
3532elin1d 4191 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑦)
3620clsndisj 22923 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
3728, 31, 33, 34, 35, 36syl32anc 1375 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
3826, 37exlimddv 1930 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
39 simprl3 1217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
402, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
423, 41sseqtrd 4015 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
4320sscls 22904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
4440, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
4544sscond 4134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐴))
4639, 45sstrd 3985 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐴))
47 ssv 3999 . . . . . . . . . 10 𝑋 βŠ† V
48 ssdif 4132 . . . . . . . . . 10 (𝑋 βŠ† V β†’ (𝑋 βˆ– 𝐴) βŠ† (V βˆ– 𝐴))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑋 βˆ– 𝐴) βŠ† (V βˆ– 𝐴)
5046, 49sstrdi 3987 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (V βˆ– 𝐴))
51 disj2 4450 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ… ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (V βˆ– 𝐴))
5250, 51sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…)
53 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
5444, 53sstrd 3985 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
552, 3, 4, 5, 23, 38, 52, 54nconnsubb 23271 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
5655expr 456 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn))
571, 56mt2d 136 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
5857ex 412 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
5958ralrimivva 3192 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
60 simp1 1133 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6113sseq2d 4007 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽))
6261biimpa 476 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
6320clsss3 22907 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† βˆͺ 𝐽)
6410, 62, 63syl2an2r 682 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† βˆͺ 𝐽)
6513adantr 480 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6664, 65sseqtrrd 4016 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝑋)
67663adant3 1129 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝑋)
68 connsub 23269 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
6960, 67, 68syl2anc 583 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ ((𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
7059, 69mpbird 257 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3938   βˆͺ cun 3939   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  βˆͺ cuni 4900  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   β†Ύt crest 17371  Topctop 22739  TopOnctopon 22756  clsccl 22866  Conncconn 23259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-en 8937  df-fin 8940  df-fi 9403  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-conn 23260
This theorem is referenced by:  conncompcld  23282
  Copyright terms: Public domain W3C validator