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Theorem clsconn 22804
Description: The closure of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
clsconn ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn)

Proof of Theorem clsconn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 1215 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
2 simpll1 1213 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 simpll2 1214 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
4 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
5 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
6 simprl1 1219 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ…)
7 n0 4310 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
86, 7sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
92adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 topontop 22285 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
123adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
13 toponuni 22286 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
149, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1512, 14sseqtrd 3988 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
16 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
1716elin2d 4163 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
184adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
1916elin1d 4162 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ π‘₯)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2120clsndisj 22449 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
2211, 15, 17, 18, 19, 21syl32anc 1379 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
238, 22exlimddv 1939 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
24 simprl2 1220 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ…)
25 n0 4310 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
2624, 25sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
272adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2827, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
293adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
3027, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3129, 30sseqtrd 3988 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
32 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
3332elin2d 4163 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
345adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
3532elin1d 4162 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑦)
3620clsndisj 22449 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
3728, 31, 33, 34, 35, 36syl32anc 1379 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
3826, 37exlimddv 1939 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
39 simprl3 1221 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
402, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
423, 41sseqtrd 3988 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
4320sscls 22430 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
4440, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
4544sscond 4105 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐴))
4639, 45sstrd 3958 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐴))
47 ssv 3972 . . . . . . . . . 10 𝑋 βŠ† V
48 ssdif 4103 . . . . . . . . . 10 (𝑋 βŠ† V β†’ (𝑋 βˆ– 𝐴) βŠ† (V βˆ– 𝐴))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑋 βˆ– 𝐴) βŠ† (V βˆ– 𝐴)
5046, 49sstrdi 3960 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (V βˆ– 𝐴))
51 disj2 4421 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ… ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (V βˆ– 𝐴))
5250, 51sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…)
53 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
5444, 53sstrd 3958 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
552, 3, 4, 5, 23, 38, 52, 54nconnsubb 22797 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
5655expr 458 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn))
571, 56mt2d 136 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
5857ex 414 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
5958ralrimivva 3194 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
60 simp1 1137 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6113sseq2d 3980 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽))
6261biimpa 478 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
6320clsss3 22433 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† βˆͺ 𝐽)
6410, 62, 63syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† βˆͺ 𝐽)
6513adantr 482 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6664, 65sseqtrrd 3989 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝑋)
67663adant3 1133 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝑋)
68 connsub 22795 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
6960, 67, 68syl2anc 585 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ ((𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
7059, 69mpbird 257 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βˆͺ cuni 4869  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   β†Ύt crest 17310  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  clsccl 22392  Conncconn 22785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-en 8890  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-conn 22786
This theorem is referenced by:  conncompcld  22808
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