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Theorem clsconn 23327
Description: The closure of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
clsconn ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn)

Proof of Theorem clsconn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 1212 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
2 simpll1 1210 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 simpll2 1211 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
4 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
5 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
6 simprl1 1216 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ…)
7 n0 4342 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
86, 7sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
92adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 topontop 22808 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
123adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
13 toponuni 22809 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
149, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1512, 14sseqtrd 4018 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
1716elin2d 4195 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
184adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
1916elin1d 4194 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ π‘₯)
20 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2120clsndisj 22972 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
2211, 15, 17, 18, 19, 21syl32anc 1376 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
238, 22exlimddv 1931 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
24 simprl2 1217 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ…)
25 n0 4342 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
2624, 25sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
272adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2827, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
293adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
3027, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3129, 30sseqtrd 4018 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
3332elin2d 4195 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
345adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
3532elin1d 4194 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑦)
3620clsndisj 22972 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
3728, 31, 33, 34, 35, 36syl32anc 1376 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
3826, 37exlimddv 1931 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
39 simprl3 1218 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
402, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
423, 41sseqtrd 4018 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
4320sscls 22953 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
4440, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
4544sscond 4137 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐴))
4639, 45sstrd 3988 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐴))
47 ssv 4002 . . . . . . . . . 10 𝑋 βŠ† V
48 ssdif 4135 . . . . . . . . . 10 (𝑋 βŠ† V β†’ (𝑋 βˆ– 𝐴) βŠ† (V βˆ– 𝐴))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑋 βˆ– 𝐴) βŠ† (V βˆ– 𝐴)
5046, 49sstrdi 3990 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (V βˆ– 𝐴))
51 disj2 4453 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ… ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (V βˆ– 𝐴))
5250, 51sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…)
53 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
5444, 53sstrd 3988 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ 𝐴 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
552, 3, 4, 5, 23, 38, 52, 54nconnsubb 23320 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))) β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
5655expr 456 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn))
571, 56mt2d 136 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ ((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
5857ex 412 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
5958ralrimivva 3196 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
60 simp1 1134 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6113sseq2d 4010 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽))
6261biimpa 476 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
6320clsss3 22956 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† βˆͺ 𝐽)
6410, 62, 63syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† βˆͺ 𝐽)
6513adantr 480 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6664, 65sseqtrrd 4019 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝑋)
67663adant3 1130 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝑋)
68 connsub 23318 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
6960, 67, 68syl2anc 583 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ ((𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))) β†’ Β¬ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
7059, 69mpbird 257 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057  Vcvv 3470   βˆ– cdif 3942   βˆͺ cun 3943   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318  βˆͺ cuni 4903  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   β†Ύt crest 17395  Topctop 22788  TopOnctopon 22805  clsccl 22915  Conncconn 23308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-en 8958  df-fin 8961  df-fi 9428  df-rest 17397  df-topgen 17418  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-conn 23309
This theorem is referenced by:  conncompcld  23331
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