MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2mulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt2mulr 24042
Description: Continuity of ring multiplication; analogue of cnmpt22f 23534 which cannot be used directly because .r is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulrcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
cnmpt1mulr.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
cnmpt1mulr.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
cnmpt1mulr.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt2mulr.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt2mulr.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2mulr.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2mulr (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 Β· 𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   Β· (π‘₯,𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2mulr
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
2 mulrcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
31, 2mgptopn 20051 . 2 𝐽 = (TopOpenβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
4 cnmpt1mulr.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
51, 4mgpplusg 20043 . 2 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
6 cnmpt1mulr.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
71trgtmd 24024 . . 3 (𝑅 ∈ TopRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ TopMnd)
86, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ TopMnd)
9 cnmpt1mulr.k . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 cnmpt2mulr.l . 2 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
11 cnmpt2mulr.a . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
12 cnmpt2mulr.b . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
133, 5, 8, 9, 10, 11, 12cnmpt2plusg 23947 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 Β· 𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  .rcmulr 17207  TopOpenctopn 17376  mulGrpcmgp 20039  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083   Γ—t ctx 23419  TopMndctmd 23929  TopRingctrg 24015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-plusf 18572  df-mgp 20040  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-tx 23421  df-tmd 23931  df-trg 24019
This theorem is referenced by:  dvrcn  24043
  Copyright terms: Public domain W3C validator