Theorem cnmpt2mulr 24173

Description: Continuity of ring multiplication; analogue of cnmpt22f 23665 which cannot be used directly because ._r is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
cnmpt1mulr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
cnmpt1mulr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
cnmpt1mulr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt2mulr.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmpt2mulr.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2mulr.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2mulr	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   · (𝑥,𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2mulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		mulrcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
3	1, 2	mgptopn 20127	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
4		cnmpt1mulr.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 20123	. 2 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6		cnmpt1mulr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
7	1	trgtmd 24155	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
9		cnmpt1mulr.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		cnmpt2mulr.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
11		cnmpt2mulr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
12		cnmpt2mulr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
13	3, 5, 8, 9, 10, 11, 12	cnmpt2plusg 24078	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  ._rcmulr 17219  TopOpenctopn 17382  mulGrpcmgp 20119  TopOnctopon 22900   Cn ccn 23214   ×_t ctx 23550  TopMndctmd 24060  TopRingctrg 24146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-tset 17237  df-rest 17383  df-topn 17384  df-topgen 17404  df-plusf 18605  df-mgp 20120  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cn 23217  df-tx 23552  df-tmd 24062  df-trg 24150

This theorem is referenced by:  dvrcn  24174