Theorem cnpf2 23198

Description: A continuous function at point 𝑃 is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnpf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnpf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	cnpf 23195	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
4		toponuni 22862	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	feq2d 6647	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶𝑌))
6		toponuni 22862	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = ∪ 𝐾)
7	6	feq3d 6648	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → (𝐹:∪ 𝐽⟶𝑌 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾))
8	5, 7	sylan9bb 509	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾))
9	3, 8	imbitrrid 246	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐹:𝑋⟶𝑌))
10	9	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4864  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  TopOnctopon 22858   CnP ccnp 23173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8769  df-top 22842  df-topon 22859  df-cnp 23176

This theorem is referenced by:  iscnp4  23211  1stccnp  23410  txcnp  23568  ptcnplem  23569  ptcnp  23570  cnpflf2  23948  cnpflf  23949  flfcnp  23952  flfcnp2  23955  cnpfcf  23989  ghmcnp  24063  metcnpi3  24494  limcvallem  25832  cnplimc  25848  limccnp  25852  limccnp2  25853  ftc1lem3  26005