Theorem cnpf2 23418

Description: A continuous function at point 𝑃 is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnpf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnpf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	cnpf 23415	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
4		toponuni 23082	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	feq2d 6689	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶𝑌))
6		toponuni 23082	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = ∪ 𝐾)
7	6	feq3d 6690	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → (𝐹:∪ 𝐽⟶𝑌 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾))
8	5, 7	sylan9bb 518	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾))
9	3, 8	imbitrrid 249	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐹:𝑋⟶𝑌))
10	9	3impia 1134	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142  ∪ cuni 4871  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  TopOnctopon 23078   CnP ccnp 23393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-map 8824  df-top 23062  df-topon 23079  df-cnp 23396

This theorem is used by:  iscnp4  23431  1stccnp  23630  txcnp  23788  ptcnplem  23789  ptcnp  23790  cnpflf2  24168  cnpflf  24169  flfcnp  24172  flfcnp2  24175  cnpfcf  24209  ghmcnp  24283  metcnpi3  24714  limcvallem  26041  cnplimc  26057  limccnp  26061  limccnp2  26062  ftc1lem3  26208