MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpf2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnpf2 23074
Description: A continuous function at point 𝑃 is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpf2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Proof of Theorem cnpf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 eqid 2731 . . . 4 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
31, 2cnpf 23071 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
4 toponuni 22736 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
54feq2d 6703 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ↔ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ))
6 toponuni 22736 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
76feq3d 6704 . . . 4 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾))
85, 7sylan9bb 509 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾))
93, 8imbitrrid 245 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
1093impia 1116 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105  βˆͺ cuni 4908  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  TopOnctopon 22732   CnP ccnp 23049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8828  df-top 22716  df-topon 22733  df-cnp 23052
This theorem is referenced by:  iscnp4  23087  1stccnp  23286  txcnp  23444  ptcnplem  23445  ptcnp  23446  cnpflf2  23824  cnpflf  23825  flfcnp  23828  flfcnp2  23831  cnpfcf  23865  ghmcnp  23939  metcnpi3  24375  limcvallem  25720  cnplimc  25736  limccnp  25740  limccnp2  25741  ftc1lem3  25893
  Copyright terms: Public domain W3C validator