MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnplimc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnplimc 25766
Description: A function is continuous at 𝐡 iff its limit at 𝐡 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimc.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cnplimc.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimc ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
Proof of Theorem cnplimc
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimc.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐴)
2 cnplimc.k . . . . . . 7 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
32cnfldtopon 24649 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
5 resttopon 23015 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
63, 4, 5sylancr 586 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
71, 6eqeltrid 2831 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄))
8 cnpf2 23104 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
983expia 1118 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚))
107, 3, 9sylancl 585 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚))
1110pm4.71rd 562 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅))))
12 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
13 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
1413snssd 4807 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ {𝐡} βŠ† 𝐴)
15 ssequn2 4178 . . . . . . . . 9 ({𝐡} βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = 𝐴)
1614, 15sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = 𝐴)
1716feq2d 6696 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹:(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚ ↔ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚))
1812, 17mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹:(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
1918feqmptd 6953 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2016oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
211, 20eqtr4id 2785 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2221oveq1d 7419 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐽 CnP 𝐾) = ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾))
2322fveq1d 6886 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) = (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
2419, 23eleq12d 2821 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
25 eqid 2726 . . . . 5 (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
26 ifid 4563 . . . . . . 7 if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)
27 fveq2 6884 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
2827adantl 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
2928ifeq1da 4554 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π‘₯)))
3026, 29eqtr3id 2780 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π‘₯)))
3130mpteq2ia 5244 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π‘₯)))
32 simpll 764 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3332, 13sseldd 3978 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3425, 2, 31, 12, 32, 33ellimc 25752 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
3524, 34bitr4d 282 . . 3 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
3635pm5.32da 578 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
3711, 36bitrd 279 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  β„‚fldccnfld 21235  TopOnctopon 22762   CnP ccnp 23079   limβ„‚ climc 25741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cnp 23082  df-xms 24176  df-ms 24177  df-limc 25745
This theorem is referenced by:  cnlimc  25767  dvcnp2  25799  dvcnp2OLD  25800  dvmulbr  25819  dvmulbrOLD  25820  dvcobr  25827  dvcobrOLD  25828  cncfiooicclem1  45163  jumpncnp  45168  dirkercncf  45377  fourierdlem32  45409  fourierdlem33  45410  fourierdlem62  45438  fouriercnp  45496
  Copyright terms: Public domain W3C validator