MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnplimc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnplimc 25836
Description: A function is continuous at 𝐡 iff its limit at 𝐡 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimc.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cnplimc.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimc ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
Proof of Theorem cnplimc
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimc.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐴)
2 cnplimc.k . . . . . . 7 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
32cnfldtopon 24719 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
5 resttopon 23085 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
63, 4, 5sylancr 585 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
71, 6eqeltrid 2833 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄))
8 cnpf2 23174 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
983expia 1118 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚))
107, 3, 9sylancl 584 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚))
1110pm4.71rd 561 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅))))
12 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
13 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
1413snssd 4817 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ {𝐡} βŠ† 𝐴)
15 ssequn2 4185 . . . . . . . . 9 ({𝐡} βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = 𝐴)
1614, 15sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = 𝐴)
1716feq2d 6713 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹:(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚ ↔ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚))
1812, 17mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹:(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
1918feqmptd 6972 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2016oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
211, 20eqtr4id 2787 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2221oveq1d 7441 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐽 CnP 𝐾) = ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾))
2322fveq1d 6904 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) = (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
2419, 23eleq12d 2823 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
25 eqid 2728 . . . . 5 (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
26 ifid 4572 . . . . . . 7 if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)
27 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
2827adantl 480 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
2928ifeq1da 4563 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π‘₯)))
3026, 29eqtr3id 2782 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π‘₯)))
3130mpteq2ia 5255 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π‘₯)))
32 simpll 765 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3332, 13sseldd 3983 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3425, 2, 31, 12, 32, 33ellimc 25822 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
3524, 34bitr4d 281 . . 3 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
3635pm5.32da 577 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
3711, 36bitrd 278 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  {csn 4632   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410  β„‚fldccnfld 21286  TopOnctopon 22832   CnP ccnp 23149   limβ„‚ climc 25811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cnp 23152  df-xms 24246  df-ms 24247  df-limc 25815
This theorem is referenced by:  cnlimc  25837  dvcnp2  25869  dvcnp2OLD  25870  dvmulbr  25889  dvmulbrOLD  25890  dvcobr  25897  dvcobrOLD  25898  cncfiooicclem1  45310  jumpncnp  45315  dirkercncf  45524  fourierdlem32  45556  fourierdlem33  45557  fourierdlem62  45585  fouriercnp  45643
  Copyright terms: Public domain W3C validator