MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnplimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnplimc 25937
Description: A function is continuous at 𝐵 iff its limit at 𝐵 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimc.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
cnplimc.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimc ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))

Proof of Theorem cnplimc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimc.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
2 cnplimc.k . . . . . . 7 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 24819 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
5 resttopon 23185 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
63, 4, 5sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
71, 6eqeltrid 2843 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
8 cnpf2 23274 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
983expia 1120 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
107, 3, 9sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
1110pm4.71rd 562 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))))
12 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵𝐴)
1413snssd 4814 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → {𝐵} ⊆ 𝐴)
15 ssequn2 4199 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
1614, 15sylib 218 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
1716feq2d 6723 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℂ))
1812, 17mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
1918feqmptd 6977 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)))
2016oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t 𝐴))
211, 20eqtr4id 2794 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})))
2221oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐽 CnP 𝐾) = ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
2322fveq1d 6909 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
2419, 23eleq12d 2833 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
25 eqid 2735 . . . . 5 (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
26 ifid 4571 . . . . . . 7 if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝑥), (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥)
27 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
2827adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
2928ifeq1da 4562 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝑥), (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝐵), (𝐹𝑥)))
3026, 29eqtr3id 2789 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝐵), (𝐹𝑥)))
3130mpteq2ia 5251 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝐵), (𝐹𝑥)))
32 simpll 767 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3332, 13sseldd 3996 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3425, 2, 31, 12, 32, 33ellimc 25923 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
3524, 34bitr4d 282 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
3635pm5.32da 579 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
3711, 36bitrd 279 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382  TopOnctopon 22932   CnP ccnp 23249   lim climc 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cnp 23252  df-xms 24346  df-ms 24347  df-limc 25916
This theorem is referenced by:  cnlimc  25938  dvcnp2  25970  dvcnp2OLD  25971  dvmulbr  25990  dvmulbrOLD  25991  dvcobr  25998  dvcobrOLD  25999  cncfiooicclem1  45849  jumpncnp  45854  dirkercncf  46063  fourierdlem32  46095  fourierdlem33  46096  fourierdlem62  46124  fouriercnp  46182
  Copyright terms: Public domain W3C validator