MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnplimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnplimc 25922
Description: A function is continuous at 𝐵 iff its limit at 𝐵 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimc.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
cnplimc.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimc ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))

Proof of Theorem cnplimc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimc.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
2 cnplimc.k . . . . . . 7 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 24803 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
5 resttopon 23169 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
63, 4, 5sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
71, 6eqeltrid 2845 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
8 cnpf2 23258 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
983expia 1122 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
107, 3, 9sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
1110pm4.71rd 562 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))))
12 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵𝐴)
1413snssd 4809 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → {𝐵} ⊆ 𝐴)
15 ssequn2 4189 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
1614, 15sylib 218 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
1716feq2d 6722 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℂ))
1812, 17mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
1918feqmptd 6977 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)))
2016oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t 𝐴))
211, 20eqtr4id 2796 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})))
2221oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐽 CnP 𝐾) = ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
2322fveq1d 6908 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
2419, 23eleq12d 2835 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
25 eqid 2737 . . . . 5 (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
26 ifid 4566 . . . . . . 7 if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝑥), (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥)
27 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
2827adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
2928ifeq1da 4557 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝑥), (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝐵), (𝐹𝑥)))
3026, 29eqtr3id 2791 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝐵), (𝐹𝑥)))
3130mpteq2ia 5245 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝐵), (𝐹𝑥)))
32 simpll 767 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3332, 13sseldd 3984 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3425, 2, 31, 12, 32, 33ellimc 25908 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
3524, 34bitr4d 282 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
3635pm5.32da 579 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
3711, 36bitrd 279 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cun 3949  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364  TopOnctopon 22916   CnP ccnp 23233   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901
This theorem is referenced by:  cnlimc  25923  dvcnp2  25955  dvcnp2OLD  25956  dvmulbr  25975  dvmulbrOLD  25976  dvcobr  25983  dvcobrOLD  25984  cncfiooicclem1  45908  jumpncnp  45913  dirkercncf  46122  fourierdlem32  46154  fourierdlem33  46155  fourierdlem62  46183  fouriercnp  46241
  Copyright terms: Public domain W3C validator