MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnplimc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnplimc 25395
Description: A function is continuous at 𝐡 iff its limit at 𝐡 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimc.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cnplimc.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimc ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
Proof of Theorem cnplimc
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimc.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐴)
2 cnplimc.k . . . . . . 7 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
32cnfldtopon 24290 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
5 resttopon 22656 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
63, 4, 5sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
71, 6eqeltrid 2837 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄))
8 cnpf2 22745 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
983expia 1121 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚))
107, 3, 9sylancl 586 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚))
1110pm4.71rd 563 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅))))
12 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
13 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
1413snssd 4811 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ {𝐡} βŠ† 𝐴)
15 ssequn2 4182 . . . . . . . . 9 ({𝐡} βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = 𝐴)
1614, 15sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = 𝐴)
1716feq2d 6700 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹:(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚ ↔ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚))
1812, 17mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹:(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
1918feqmptd 6957 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2016oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
211, 20eqtr4id 2791 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2221oveq1d 7420 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐽 CnP 𝐾) = ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾))
2322fveq1d 6890 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) = (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
2419, 23eleq12d 2827 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
25 eqid 2732 . . . . 5 (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
26 ifid 4567 . . . . . . 7 if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)
27 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
2827adantl 482 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
2928ifeq1da 4558 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π‘₯)))
3026, 29eqtr3id 2786 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π‘₯)))
3130mpteq2ia 5250 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π‘₯)))
32 simpll 765 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3332, 13sseldd 3982 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3425, 2, 31, 12, 32, 33ellimc 25381 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
3524, 34bitr4d 281 . . 3 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
3635pm5.32da 579 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
3711, 36bitrd 278 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104   β†Ύt crest 17362  TopOpenctopn 17363  β„‚fldccnfld 20936  TopOnctopon 22403   CnP ccnp 22720   limβ„‚ climc 25370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cnp 22723  df-xms 23817  df-ms 23818  df-limc 25374
This theorem is referenced by:  cnlimc  25396  dvcnp2  25428  dvmulbr  25447  dvcobr  25454  gg-dvcnp2  35162  gg-dvmulbr  35163  gg-dvcobr  35164  cncfiooicclem1  44595  jumpncnp  44600  dirkercncf  44809  fourierdlem32  44841  fourierdlem33  44842  fourierdlem62  44870  fouriercnp  44928
  Copyright terms: Public domain W3C validator