MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnpi3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcnpi3 24054
Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at 𝑃. A variation of metcnpi2 24053 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcnpi3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
2 metcn.4 . . 3 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
31, 2metcnpi2 24053 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴))
4 rphalfcl 13000 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
54ad2antrl 726 . . 3 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴))) β†’ (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
6 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
7 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
8 simplrl 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ))
9 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
109cnprcl 22748 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
121mopnuni 23946 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
136, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1411, 13eleqtrrd 2836 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
15 xmetcl 23836 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝐢𝑃) ∈ ℝ*)
166, 7, 14, 15syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦𝐢𝑃) ∈ ℝ*)
174ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
1817rpxrd 13016 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*)
19 rpxr 12982 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
2019ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
21 rphalflt 13002 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ (𝑧 / 2) < 𝑧)
2221ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 / 2) < 𝑧)
23 xrlelttr 13134 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐢𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) β†’ (𝑦𝐢𝑃) < 𝑧))
2423expcomd 417 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐢𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧 / 2) < 𝑧 β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ (𝑦𝐢𝑃) < 𝑧)))
2524imp 407 . . . . . . . 8 ((((𝑦𝐢𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ (𝑦𝐢𝑃) < 𝑧))
2616, 18, 20, 22, 25syl31anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ (𝑦𝐢𝑃) < 𝑧))
27 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
281mopntopon 23944 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
302mopntopon 23944 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
32 cnpf2 22753 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3329, 31, 8, 32syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3433, 7ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
3533, 14ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
36 xmetcl 23836 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ*)
3727, 34, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ*)
38 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
3938rpxrd 13016 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
40 xrltle 13127 . . . . . . . 8 ((((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
4226, 41imim12d 81 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴) β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴)))
4342anassrs 468 . . . . 5 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴) β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴)))
4443ralimdva 3167 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴)))
4544impr 455 . . 3 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
46 breq2 5152 . . . 4 (π‘₯ = (𝑧 / 2) β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ π‘₯ ↔ (𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2)))
4746rspceaimv 3617 . . 3 (((𝑧 / 2) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
485, 45, 47syl2anc 584 . 2 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
493, 48rexlimddv 3161 1 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  2c2 12266  β„+crp 12973  βˆžMetcxmet 20928  MetOpencmopn 20933  TopOnctopon 22411   CnP ccnp 22728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cnp 22731
This theorem is referenced by:  blocnilem  30052
  Copyright terms: Public domain W3C validator