MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnpi3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcnpi3 24275
Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at 𝑃. A variation of metcnpi2 24274 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcnpi3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
2 metcn.4 . . 3 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
31, 2metcnpi2 24274 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴))
4 rphalfcl 13005 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
54ad2antrl 724 . . 3 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴))) β†’ (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
6 simplll 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
7 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
8 simplrl 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ))
9 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
109cnprcl 22969 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
121mopnuni 24167 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
136, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1411, 13eleqtrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
15 xmetcl 24057 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝐢𝑃) ∈ ℝ*)
166, 7, 14, 15syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦𝐢𝑃) ∈ ℝ*)
174ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
1817rpxrd 13021 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*)
19 rpxr 12987 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
2019ad2antrl 724 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
21 rphalflt 13007 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ (𝑧 / 2) < 𝑧)
2221ad2antrl 724 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 / 2) < 𝑧)
23 xrlelttr 13139 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐢𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) β†’ (𝑦𝐢𝑃) < 𝑧))
2423expcomd 415 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐢𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧 / 2) < 𝑧 β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ (𝑦𝐢𝑃) < 𝑧)))
2524imp 405 . . . . . . . 8 ((((𝑦𝐢𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ (𝑦𝐢𝑃) < 𝑧))
2616, 18, 20, 22, 25syl31anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ (𝑦𝐢𝑃) < 𝑧))
27 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
281mopntopon 24165 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
302mopntopon 24165 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
32 cnpf2 22974 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3329, 31, 8, 32syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3433, 7ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
3533, 14ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
36 xmetcl 24057 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ*)
3727, 34, 35, 36syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ*)
38 simplrr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
3938rpxrd 13021 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
40 xrltle 13132 . . . . . . . 8 ((((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
4137, 39, 40syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
4226, 41imim12d 81 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴) β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴)))
4342anassrs 466 . . . . 5 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴) β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴)))
4443ralimdva 3165 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴)))
4544impr 453 . . 3 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
46 breq2 5151 . . . 4 (π‘₯ = (𝑧 / 2) β†’ ((𝑦𝐢𝑃) ≀ π‘₯ ↔ (𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2)))
4746rspceaimv 3616 . . 3 (((𝑧 / 2) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ (𝑧 / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
485, 45, 47syl2anc 582 . 2 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
493, 48rexlimddv 3159 1 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) ≀ π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12978  βˆžMetcxmet 21129  MetOpencmopn 21134  TopOnctopon 22632   CnP ccnp 22949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cnp 22952
This theorem is referenced by:  blocnilem  30324
  Copyright terms: Public domain W3C validator