Theorem metcnpi3 24580

Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at 𝑃. A variation of metcnpi2 24579 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metcnpi3	⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2		metcn.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
3	1, 2	metcnpi2 24579	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))
4		rphalfcl 13084	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
5	4	ad2antrl 727	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
6		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
8		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
9		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	cnprcl 23274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
12	1	mopnuni 24472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
13	6, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
14	11, 13	eleqtrrd 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
15		xmetcl 24362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
16	6, 7, 14, 15	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
17	4	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
18	17	rpxrd 13100	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ*)
19		rpxr 13066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ*)
20	19	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
21		rphalflt 13086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) < 𝑧)
22	21	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) < 𝑧)
23		xrlelttr 13218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
24	23	expcomd 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑧 / 2) < 𝑧 → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧)))
25	24	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
26	16, 18, 20, 22, 25	syl31anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
27		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
28	1	mopntopon 24470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29	6, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
30	2	mopntopon 24470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
32		cnpf2 23279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
33	29, 31, 8, 32	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
34	33, 7	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
35	33, 14	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌)
36		xmetcl 24362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ*)
37	27, 34, 35, 36	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ*)
38		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39	38	rpxrd 13100	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40		xrltle 13211	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
41	37, 39, 40	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
42	26, 41	imim12d 81	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
43	42	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
44	43	ralimdva 3173	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
45	44	impr 454	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
46		breq2 5170	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑧 / 2) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 ↔ (𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2)))
47	46	rspceaimv 3641	. . 3 ⊢ (((𝑧 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
48	5, 45, 47	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
49	3, 48	rexlimddv 3167	1 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057  ∞Metcxmet 21372  MetOpencmopn 21377  TopOnctopon 22937   CnP ccnp 23254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cnp 23257

This theorem is referenced by:  blocnilem  30836