Theorem metcnpi3 24686

Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at 𝑃. A variation of metcnpi2 24685 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metcnpi3	⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2		metcn.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
3	1, 2	metcnpi2 24685	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))
4		rphalfcl 13048	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
5	4	ad2antrl 740	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
6		simplll 786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		simprr 784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
8		simplrl 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
9		eqid 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	cnprcl 23385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
11	8, 10	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
12	1	mopnuni 24581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
13	6, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
14	11, 13	eleqtrrd 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
15		xmetcl 24471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
16	6, 7, 14, 15	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
17	4	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
18	17	rpxrd 13064	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ*)
19		rpxr 13029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ*)
20	19	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
21		rphalflt 13050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) < 𝑧)
22	21	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) < 𝑧)
23		xrlelttr 13184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
24	23	expcomd 421	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑧 / 2) < 𝑧 → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧)))
25	24	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
26	16, 18, 20, 22, 25	syl31anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
27		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
28	1	mopntopon 24579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29	6, 28	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
30	2	mopntopon 24579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
31	27, 30	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
32		cnpf2 23390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
33	29, 31, 8, 32	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
34	33, 7	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
35	33, 14	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌)
36		xmetcl 24471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ*)
37	27, 34, 35, 36	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ*)
38		simplrr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39	38	rpxrd 13064	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40		xrltle 13177	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
41	37, 39, 40	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
42	26, 41	imim12d 82	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
43	42	anassrs 472	. . . . 5 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
44	43	ralimdva 3184	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
45	44	impr 459	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
46		breq2 5118	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑧 / 2) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 ↔ (𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2)))
47	46	rspceaimv 3595	. . 3 ⊢ (((𝑧 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
48	5, 45, 47	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
49	3, 48	rexlimddv 3179	1 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086  ∃wrex 3096  ∪ cuni 4877   class class class wbr 5114  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11245   < clt 11246   ≤ cle 11247   / cdiv 11874  2c2 12298  ℝ⁺crp 13019  ∞Metcxmet 21490  MetOpencmopn 21495  TopOnctopon 23050   CnP ccnp 23365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-topgen 17499  df-psmet 21497  df-xmet 21498  df-bl 21500  df-mopn 21501  df-top 23034  df-topon 23051  df-bases 23086  df-cnp 23368

This theorem is referenced by:  blocnilem  31126